初三数学技巧点的轨迹含答案

1、最新资料推荐一、点的轨迹1.（ 2016 青海西宁）如图，点A 的坐标为（ 0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角ABC ，使 BAC=90 ，设点 B 的横坐标为x，点 C 的纵坐标为y，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是（）A BCD【分析】 根据题意作出合适的辅助线，可以先证明 ADC 和 AOB 的关系，即可建立y 与 x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的【解答】 解：作 AD x 轴，作 CD AD 于点 D，若右图所示，由已知可得， OB=x ，OA=1 ， AOB=90 ， BAC=90 ， AB=AC ，点 C 的纵坐标是 y， AD

2、 x 轴， DAO+ AOD=180 ， DAO=90 ， OAB+ BAD= BAD+ DAC=90 ， OAB= DAC ，在 OAB 和 DAC 中， OAB DAC （ AAS ）， OB=CD ， CD=x ， 点 C 到 x 轴的距离为y，点 D 到 x 轴的距离等于点A 到 x 的距离 1， y=x+1 （x 0）故选： A2.（ 2016 四川眉山）如图，已知点A 是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边三角形ABC ，点 C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k 的值是【

3、分析】 根据反比例函数的性质得出OA=OB ，连接 OC，过点 A 作 AE y 轴，垂足为E，过点 C 作 CF y 轴，垂足为 F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA ，求出 OFC AEO ，相似比，求出面积比，求出 OFC 的面积，即可得出答案【解答】 解：双曲线的图象关于原点对称，点A 与点 B 关于原点对称，OA=OB ，- 1 -最新资料推荐连接 OC，如图所示， ABC 是等边三角形， OA=OB ， OC AB BAC=60 ， tan OAC=， OC=OA ，过点 A 作 AE y 轴，垂足为E，过点 C 作 CF y 轴，垂足为F， AE OE， CFOF

4、， OC OA ， AEO= OFC， AOE=90 FOC= OCF， OFC AEO ，相似比，面积比，点 A 在第一象限， 设点 A 坐标为（a，b），点 A 在双曲线上， S AEO =ab=， SOFC=FC?OF=，设点 C 坐标为（ x， y），点 C 在双曲线上， k=xy ，点 C 在第四象限，FC=x ， OF= y FC?OF=x ?（ y） = xy= ，故答案为：33.如图，正方形 ABCD 的边长为 8，动点 P、 Q 在正方形 ABCD 的边上运动，且 PQ=8.若点 P 从点 A 出发，沿 A B C D 的线路，向 D 点运动，求点 P 从 A 到 D 的运动

5、过程中， PQ 的中点 O 所经过的路径的长。依题意画出图形，如图所示此时在 Rt APQ 中， O 为 PQ 的中点，所以AO=PQ=4所以点 O 在以 A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上PQ 的中点 O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示：所以 PQ 的中点 O 所经过的路径的长为： 2 4=6 ；4.（ 2014 年山东烟台）在正方形ABCD 中，动点E，F 分别从 D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ， CB上移动（1）如图，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的

6、位置关系，并说明理由；（ 2）如图，当E，F 分别移动到边DC， CB 的延长线上时，连接AE 和 DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答 “是 ”或 “否”，不需证明）（ 3）如图，当E，F 分别在边CD，BC 的延长线上移动时，连接AE，DF ，（ 1）中的结论还成立吗？请说明理由；（ 4）如图，当E，F 分别在边DC，CB 上移动时，连接AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图若AD =2，试求出线段CP 的最小值- 2 -最新资料推荐【解答】 解：（ 1） AE=DF ，AE DF 理由：四边形ABCD 是正方形，

7、AD =DC ， ADC = C=90 DE=CF ， ADE DCF AE =DF ， DAE = CDF ，由于 CDF + ADF =90， DAE+ ADF =90 AE DF ；（ 2）是；（3）成立理由：由（ 1）同理可证 AE=DF ， DAE = CDF 延长 FD 交 AE 于点 G，则 CDF + ADG =90， ADG+ DAE =90 AE DF ；（ 4）如图：由于点 P 在运动中保持 APD =90，点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，设 AD 的中点为 O，连接 OC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，在 Rt ODC 中， OC=， CP =OC O

8、P=5（2016 南充） 已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点， 若点 M 在 AB 上，且满足 PBC PAM ，延长 BP 交 AD 于点 N，连结 CM （ 1）如图一，若点 M 在线段 AB 上，求证： AP BN ； AM=AN ；（ 2） 如图二，在点 P 运动过程中，满足 PBC PAM 的点 M 在 AB 的延长线上时， AP BN 和 AM=AN是否成立？（不需说明理由） 是否存在满足条件的点 P，使得 PC=1？请说明理由2【解答】（ 1）证明：如图一中，四边形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD ， DAB= ABC= BCD= D=90

9、， PBC PAM ， PAM= PBC，=， PBC+ PBA=90 PAM+ PBA=90 ， APB=90 ， AP BN ，- 3 -最新资料推荐 ABP= ABN ， APB= BAN=90 BAP BNA ， =，=， AB=BC AN=AM （ 2）解： 仍然成立， AP BN 和 AM=AN 理由如图二中，四边形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD， DAB= ABC= BCD= D=90 ， PBC PAM ， PAM= PBC，=， PBC+ PBA=90 ， PAM+ PBA=90 ， APB=90 ， AP BN ， ABP= ABN ， APB= BAN=90

10、 BAP BNA ， =，= ， AB=BC ， AN=AM 这样的点 P 不存在理由：假设PC=1， 如图三中，以点C 为圆心为半径画圆，以 AB 为直径画圆，2CO= 1+，两个圆外离，APB 90，这与 AP PB 矛盾，假设不可能成立，满足 PC=的点 P 不存在6如图， E， F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE DF .连结 CF 交 BD 于点 G，连结 BE 交 AG 于点 H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是解： 如解图，在正方形ABCD 中， AB AD CD ， BAD CDA ， ADG CDG .AB CD，在 ABE 和 DCF 中

11、，BAD CDA， ABE DCF (SAS) 1 2.AE DF ，AD CD，在 ADG 和 CDG 中， ADG CDG ， ADG CDG(SAS) 2 3. 1 3.DGDG ， BAH 3 BAD 90， 1 BAH 90. AHB 180 90 90.取 AB 的中点 O，连结 OH， OD，则 OH AO 1AB 1.2在 RtAOD 中， OD AO2 AD2 12 22 5，根据三角形的三边关系，OH DH OD ，当 O， D， H 三点共线时， DH 的长度最小，最小值 OD OH 5 1.7（ 2016 福建三明）如图， ABC 和 ADE 是有公共顶点的等腰直角三角

12、形，BAC = DAE = 90 ，点 P 为射线BD ，CE 的交点 .（1）求证： BD=CE；（ 2）若 AB=2，AD =1，把 ADE 绕点 A 旋转，- 4 -最新资料推荐当 EAC= 90 时，求 PB 的长；直接写出旋转过程中线段PB 长的最小值与最大值. (1) 证明： ABC 和 ADE 是等腰直角三角形，BAC=DAE = 90 ， AB=AC， AD=AE. DAB= 90BAEEAC . ADB AEC. BD =CE.(2) 解：当点E 在 AB 上时， BE =AB - AE=1. EAC= 90 ， CE=AE 2AC25 .D同 (1) 可证 ADB AEC.

13、 DBA= ECA. PEB=AEC，AP PEB AEC . PBBE . PB1.ACCE25 PB25.5当点 E 在 BA 延长线上时， BE=3. EAC = 90，EBC CE= AE2AC25 .同(1) 可证 ADB AEC.E DBA =ECA. BEP= CEA，A PEB AEC . PBBE . PB3. PB6 5.PDACCE255256 5 .BC综上， PB或55(3) PB 长的最小值是31，最大值是3 1 .8.若点 A 的坐标为（ m， 1-2m），则点 A 不在第象限。9.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为线段 AB 上一点，点 M 为边 AD

14、 的中点， EM 的延长线与 CD 的延长线交于点 F，MG EF，交 CD 于 N，交 BC 的延长线于 G，点 P 是 MG 的中点连接 EG、FG下列结论：当点 E 为边AB 的中点时， S EFG=5 ； MG=EF ；当 AE=3 时， FG=25 ；若点 E 从点 A 运动到点 B，则此过程中点P 移动的距离为2其中正确的结论的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个- 5 -最新资料推荐解：过 M 作 MQ BC 于 Q，四边形 ABCD 是正方形， AB=2 ， A= B=90 ， A= B= BQM=90 ，四边形 ABQM 数矩形， MQ=AB=2 ， E

15、、 M 分别为 AB 、 AD 中点， AE=AM=1 ， AM=MD ，由勾股定理得： EM= 12+12= 2，四边形 ABCD 是正方形， A= ADF=90 ， AB CD ， AEM= DFM ，在 AEM 和 DFM 中 A= MDF AEM= DFMAM=DM AEM DFM （AAS ）， EM=MF= 2， EF=2 2，四边形 ABQM 是矩形， AMQ=90 ， EMG=90 ， AME+ EMQ=90 ， EMQ+ QMG=90 ， AME= QMG ，在 AME 和 QGM 中， A= MQG=90 ， AME= QMG ， AME QMG ， AE/AM=QG/MQ

16、=11， MQ=QG=2 ，在 Rt MQG 中，由勾股定理得：MG=2 2， S EFG=1/2EF MG=1 22 2 2=4，错误；过 E 作 EW CD 于 W ， MQ BC，四边形 ABCD 是正方形， EW=AD=MQ=AB ， MHE=90 ， EMG=90 ， MEG+ EMH=90 ， EMH+ GMH=90 ， MEH= QMG ，在 FEW 和 GMQ 中 FEW= GMQEW=MQ EWF= MQG=90 ， FEW GMQ（ ASA ）， EF=MG ，正确； A=90 ， AM=1 ，AE= 3，由勾股定理得： EM=2=FM ， MG=EF=2+2=4 ，在 R

17、t FMG 中，由勾股定理得： FG= FM2+MG2=2 5，正确；当 E 在 A 点时， P 为正方形中心当 E 运动到 B 点时， P 运动到 P， ABM MGB （已证）， AM/AB=BM/MG=1/2 ， P 为 MQ 的中点， P为 MG 中点， PP BC， MPP = MQG=90 = BMG ， MP P= MGB ， MPP BMG ， MP/PP =MB/MG=1/2 ， PP=2MP=2 ，正确；即正确的有 3 个故选 C10.(2014 咸宁 )如图 1，P（ m，n）是抛物线y= 1 上任意一点， l 是过点（ 0， 2）且与 x 轴平行的直线，过点P作直线 P

18、H l，垂足为H【探究】（ 1）填空：当m=0 时， OP=，PH=；当 m=4 时， OP=， PH=；【证明】（ 2）对任意m， n，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想- 6 -最新资料推荐【应用】（ 3）如图 2，已知线段AB=6 ，端点 A， B 在抛物线 y= 1 上滑动，求A ， B 两点到直线l 的距离之和的最小值解答：（ 1）解： OP=1， PH=1； OP=5，PH=5 如图 1，记 PH 与 x 轴交点为Q，当 m=0 时， P（0， 1）此时 OP=1， PH=1当 m=4 时， P（ 4， 3）此时 PQ=3， OQ=4 ， OP=5， PH=y P（

19、2） =3 （ 2）=5（ 2）猜想： OP=PH 证明：过点P 作 PQ x 轴于 Q， P 在二次函数y= 1 上，设 P（ m， 1），则 PQ=|1|， OQ=|m| ， OPQ 为直角三角形， OP=，PH=y P（ 2） =（ 1）（ 2） =， OP=PH （ 3）解：如图 2，连接 OA ，OB ，过点 A 作 AC l 于 C，过点 B 作 BD l 于 D ，此时 AC 即为 A 点到 l 的距离， BD 即为 B 点到 l 的距离则有 OB=BD ，OA=AC ，在 AOB 中， OB+OA AB ， BD+AC AB 当 AB 过 O 点时， OB+OA=AB ， BD

20、+AC=AB 综上所述， BD+AC AB ， AB=6 ， BD+AC 6，即 A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为611.（ 2016 大连）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+与 y 轴相交于点A ，点 B 与点 O 关于点 A 对称（ 1）填空：点B 的坐标是；（ 2）过点 B 的直线 y=kx+b （其中 k 0）与 x 轴相交于点 C，过点 C 作直线 l 平行于 y 轴， P 是直线 l 上一点，且 PB=PC ，求线段 PB 的长（用含 k 的式子表示），并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由；（ 3）在（ 2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标- 7 -最新资料推荐【分析】（ 1）由抛物线解析式可求得A 点坐标，再利用对称可求得B 点坐标；（ 2）可先用 k 表示出 C 点坐标，过 B 作 BD l 于点 D，条件可知 P 点在 x 轴上方，设P 点纵坐标为 y，可表示出PD 、