函数的对称性(2)

1、.函数的对称性一、有关对称性的常用结论1、轴对称(1)f (x) = f ( x)函数 yf (x) 图象关于 y 轴对称；(2)函数 yf ( x) 图象关于 xa 对称f (ax)f (ax)f ( x) f (2 ax)f (x)f (2 ax) ；（ 3）若函数 yf ( x) 定义域为 r ，且满足条件 f (a x)f (bx) ，则函数 yf ( x) 的图象关于直线 xab2对称。2、中心对称（ 1） f (x) = f ( x)函数 yf ( x) 图象关于原点对称； .（ 2）函数 yf ( x) 图象关于 (a,0)对称f (ax)f (a x)f ( x)f (2 a

2、x)f (x)f (2a x) ；（ 3）函数 yf ( x) 图象关于 (a,b) 成中心对称f ( ax)f (ax)2bf ( 2ax)f (x) 2b（ 4）若函数 yf ( x) 定义域为 r ，且满足条件f (ax)f (bx)c （ a,b, c 为常数），则函数 yf ( x) 的图象关于点( ab , c ) 对称。22二、练习题（一）选择题1. 已知定义域为r的函数 f (x)（8， ）f ( x8) 为偶函数， 则（）在上为减函数， 且函数 ya f (6)f (7)b.f (6)f (9)c.f (7)f (9)d.f (7)f (10)2设函数 yf (x) 定义在实

3、数集r 上，则函数 yf (x1) 与 yf (1x) 的图象关于（）对称。a. 直线 y0b.直线 x 0c.直线 y1d.直线 x13.（中山市09 年高三统考） 偶函数 f ( x) ( xr) 满足： f (4)f (1) 0 ，且在区间 0,3 与 3,)上分别递减和递增，则不等式xf ( x) 0的解集为（）a (,4)( 4,) ；b ( 4,1)(1,4)c (,4)(1,0)；d (,4)(1,0)(1,4)4. 若函数 f ( x)x2bxc对一切实数都有 f (2x)f ( 2x) ，则（）a.f (2)f (1)f ( 4)b.f (1)f (2)f (4).c.f (

4、2)f (4)f (1)d.f (4)f (2)f (1)5函数 yf ( x) 在(0，2) 上是增函数， 函数 yf ( x 2)是偶函数， 则下列结论中正确的是（）a.f (1)f ( 5)f ( 7 )b.f ( 7)f (1)f ( 5 )2222c. f (7)f (5)f (1)d.f (5)f (7)f (1)22226. 设函数 f ( x) ( xa) 3 对任意实数 x 都有 f( 2 x)f (2 x), 则 f (3)f ( 3)( )a. 124b. 124c.56d.567. 函数 f ( x) 的定义域为 r ，且满足 f (12 - x)f ( x) , 方程

5、 f ( x)0 有 n 个实数根，这 n 个实数根的和为1992，那么 n 为（）a. 996b. 498c. 332d. 1168. 设 yf ( x) 是定义 在实数集 r 上 的函数，且满足f (- x)f ( x) 与 f (4 - x)f ( x)， 若当x 0,2时， f ( x)x 21, 则当 x 6, 4时，f (x)（）a.x 21b.(x 2) 21c.(x 4)21d.( x 2) 219.(2009全国卷 ) 函数 f (x) 的定义域为 r ，若f ( x1) 与 f ( x - 1) 都是奇函数，则 ()af (x) 是偶函数b f ( x) 是奇函数c f (

6、 x)f (x2)d f ( x3) 是奇函数10.(2009 四川高考 ) 已知函数 f (x) 是定义在实数集r 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 xf (x 1)(1 x) f ( x) ，则 f ( f ( 5) 的值是 ()125a 0b. 2c 1d. 211.设 f ( x) 是定义在实数集 r 上的函数， 且满足 f (10 - x) f (10x) 与 f (20 - x)f (20x) ，则 f ( x) 是（）a. 偶函数，又是周期函数，b.偶函数，但不是周期函数c. 奇函数，又是周期函数，d.奇函数，但不是周期函数( 二 ) 填空题12.函数 yf ( x1)

7、 为偶函数，则函数f ( x) 的图像的对称轴方程为13.函数 yf ( x2) 为奇函数，则函数y f ( x) 的图像的对称中心为14. （ 09 年深圳九校联考）已知f ( x) 是定义域为 r 的奇函数，若当 x(0,) 时， f (x) lg x ，则满足 f ( x)0 的 x 的取值范围是15.已知 函 数 yf ( x) 是 r 上 的偶 函 数 ， 对 于 x r 都有 f ( x6)f ( x) f (3) 成 立 ， 且f ( 4)2 ，当 x1 , x2 0,3 ，且 x1f ( x1 )f (x2 )x2 时，都有x20 . 则给出下列命题：x1. f (2008)2

8、 ；函数 yf ( x) 图像的一条对称轴为x6 ；函数 yf ( x) 在 9, 6 上为减函数；方程f ( x)0 在 9,9 上有 4 个根其中所有正确命题的序号为_（三）解答题16.设 f (x)x 21, 求 f (x1) 关于直线 x2 对称的曲线方程。17已知函数f ( x1) 的图象，通过怎样的变换可以得到函数f (x2) 的图象。18已知实系数多项式函数f ( x) 满足 f (1x)f (3x) , 并且方程f ( x)0 有四个根，求这四个根之和。19设 f (x)x 21, 若 g( x) 的图象与yf (x2) 的图象关于点(1,1) 对称，求 g (x) .参考答案

9、（一）选择题1 4、ddda5 8、 bacc9、解 : qf ( x1) 与 f (x1)都是奇函数，f ( x1)f ( x 1), f ( x1)f ( x 1) ，函数 f ( x) 关于点 (1,0) ，及点 (1,0)对称，函数f ( x) 是周期 t21( 1)4 的周期函数.f ( x 3)f ( x 1 4)f (x 1)f ( x 1)f ( x 1 4)f ( x 3) ，f (x3)f (x3) ，即 f ( x3)是奇函数。故选d10、解：若 x 0，则有 f ( x1)1x f (x) 取 x1，1x2则有 f (1 )11f ( 1 )f ( 1)f (1 ) 由

10、此得 f ( 1 )f (1)2022122222135 11于是 f ( 5 )f ( 31)2 f ( 3 )5 f ( 3)5 f ( 11)2 f ( 1) 5 f ( 1 ) 022323232312222故选 a11、 t4 ab4 201040f (x)f (x40)f 10(30x)f 10(30x)f ( x20)f ( x 20 40)f ( x20)f (20 x)f 10(10x)f 10(10x)f ( x)所以为奇函数。故选c( 二 ) 填空题12、 x113、 (2,0)14、画出草图可知x(1,0)(1,)15、在 f ( x6)f ( x)f (3)中令 x3得f ( 3) 0 ，f (3)f ( 3) 0故 f ( x6)f ( x) ,t6 ,f (2008)f (334 64)f (4)f (4)2结合函数草图可知都正确。（三）解答题16、解： yx 210x 2617、解： yf ( x1)右移1个单位y f ( x)关于 y轴对称y f ( x).