电路学课件：第八章 线性动态电路的时域2006

1、第八章 线性动态电路的时域分析,（linear dynamic circuit time domain analysis）,稳态（steady state ） ：外施激励作用在电路上已经很久，只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也呈稳定规律变化。,暂态：(transient state) :电路的工作条件突然变更，如开关动作（switching ）故障（fault）参数的变化，稳态破,坏，电路的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。,研究电路的暂态可以确定电力系统的保护措施。避免电路的振荡可获得最优最快的控制特性。,电路从一个稳态到另一个稳态间的过

2、渡过程称为暂态。,线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。,第一节 动态电路的初始条件和初始状态,一、动态电路的微分方程,1）换路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的时刻或时间点称为初始瞬间（initial instant）记为t=t0,一般取t=0,把换路前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（ t= t0- ），把换路后的初始瞬间记为t=0+ （ t= t0+ ）,2）状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(

3、t)称为电路的状态。它们是确定电路响应的最少信息（数据），其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。,3）换路后电路方程：仍由KL及VRA可得微分方程。,uC(0- )，iL(0- ) 为换路前瞬间电路的状态，uC(0+ )，iL(0+ ) 为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。,以uc(t)为变量,一、动态电路的微分方程,以iL(t)为变量,二、换路定律：,对于线性电容，在任意时刻t其电压（电荷）与电流的关系为：,初始瞬间,换路定理：,一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：,电容上电荷和电压换路先后

4、不发生跃变。（通过电流为有限值时）,对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压的关系为：,初始瞬间,一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：,电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）,求得换路前电路稳态时的状态值 即uC(0 )、 iL(0 ) ，由换路定律可得电路的初始状态值uC(0+ ) ， iL(0+ )在t=0+时，将电容看作值为uC(0+ )的电压源，电感看作值为的电流源，独立源取t=0+的值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的各个电气量的初始值即初始条件。,初始值的确定：,二、换路定律,画出t= 0- 的电路图，求开关打开前 uC

5、 (0-), iL( 0-),例：图示电路,由换路定理，画出t=0+的电路图，,进一步可求各阶导数的初始值,动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：独立电源的输入（input)（外施激励源） 动态元件储能的释放即初始状态（state）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应（zero-input response）;初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应（zero-state response）。外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响应（complete response）,动态电路的响应:,第二节 一阶电路的零输入响应,一阶电路的定义：

6、换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（first order circuit）。,一、一阶RC电路的零输入响应：,电路换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：,在t=0时，开关突然由a打向b，电容通过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。,由KVL得：,是uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之,两边取积分：,方程变形为：,RC电路,任意一阶RC电路的零输入响应为：,一阶RC电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是

7、是按相同的指数规律衰减。,衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入响应的 实质。WR=WC,一阶RC电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态；,求时间常数：,求解电路换路后初始值；（第一节）,代入（*）式,二、一阶RL电路的零输入响应：,电路换路前电路已达稳态：,在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，此时电路已没有外施激励源

8、，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。,由KVL得：,是关于iL的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之,两边取积分：,方程变形为：,一阶RL电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。,衰减的指数规律仅由RL电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RL电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的 实质。WR=WL,

9、一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态；,求时间常数：,求解电路换路后初始值；（第一节）,代入（*）式。,线性一阶电路的零输入响应的要点：,一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比响应模式为（*） ：,时间常数决定于电路的结构和参数。,第三节 一阶电路的零状态响应,一、一阶RC电路的零状态响应：,开关闭合前电容器未充电即处于零状态：,开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：,一阶RC电路的零状态响应：,通解(general solution ):,特解(par

10、ticular solution)：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。,由电路知US是换路后电路重新达到稳态即t=+时电容电压。,一阶RC电路的零状态响应：,从上述过程可以看出：,一阶RC电路的零状态响应有以下特点：,电容上的电压（状态）由两部分组成：,方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量(forced component),方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量(force-free component )。起始值与外施激励源有关

11、。,a:稳态分量(steady stat component)：,b:暂态分量(transient component)：,电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为US。,一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50，与电阻电容数值无关。,二、RL电路的零状态响应：,开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：,开关闭合

12、后电源通过R、L形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,一阶RL电路的零状态响应有以下特点：,电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。,电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。,一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。,外施激励源为直流的一阶电路的零状态响应的步骤,求出换路后动态元件以

13、外的戴维南等效电路。,据状态变量的响应模式得：,将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。,三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：,特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态值，是与 外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之：,通解(暂态分量)：,(稳态分量在起始时刻的值),电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。,外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。,第四节 一阶

14、电路的全响应 三要素法,全响应为零输入响应和零状态响应之和。,三要素,零状态响应,零输入响应,稳态分量,暂态分量,任意一个全响应,三要素法求解一阶电路的全响应的步骤,画出换路前稳态电路，求状态值uc(0-) ，iL(0-) 。,据换路定律画出换路瞬间（0）时刻的暂态电路求初始值f(0+).,画出换路后电路重新达到稳态时电路，求f()，注意正弦稳态需用相量法。,求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间常数， RC, =L/R,代入三要素模式,例：图示电路原已处于稳态。若t =0时将开关S闭合，试求换路后2电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形 。,解：,（1）换路前稳态电路,（2）换路后0暂态

15、电路,（3）换路后稳态电路,（4）三要素,第五节 一阶电路的阶跃响应和冲激响应,一、单位阶跃函数（unit step function）：,t=0时换路的过程可表示,具有“裁剪”的作用，称其为闸门函数。,将分段函数写成封闭形式,二、单位冲激函数（unit impule function）,三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系,采样性或筛分性：,四、一阶电路的阶跃响应：,阶跃响应：零初始状态电路，在单位阶跃电压（电流）的激励下所引起的响应。,任意零状态响应是单位阶跃响应的线性函数,五、一阶电路的冲激响应：零初始状态电路在单位冲激函数激励下所引起的响应。,当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生跃变

16、：,在冲激激励下,电容电压发生跃变,即在换路瞬间,电容短路，电压跃变到1/C,t0以后电路的输入为零,所以电路的冲激响应相当于uc(0+)=1/C所引起的零输入响应。,单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线性电路的特性则单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。,第六节 线性二阶动态电路的分析,二阶电路：换路后，电路含有两个独立的线性储能元件。独立性是指：两个电容不构成纯电容回路（含电压源），两个电感不构成纯电感割集（含电流源）。其电路方程是二阶常系数微分方程，称为二阶电路（second order circuit） 。,以uc(t)为变量,一、二阶电路的零输入响应：,若外施激励为零，由动态电

17、路的初始状态引起的响应则为二阶电路的零输入响应。,物理过程定性分析：,若,则,时,当,释放电场能,储存磁场能,释放磁场能,消耗电能,特征方程：,特征根,微分方程为,定量分析,一、二阶电路的零输入响应：,具体解的情况：,将初始条件代入,具体解的情况,电容始终在放电；电感开始储存磁场能，到达最大后释放；电阻始终耗能。,电容开始充电，储存电场能到最大后放电；电感开始释放磁场能，后储存磁场能到达最大后释放；电阻始终耗能。,具体解的情况,电感、电容的能量的变化过程介于上述两种情况之间。,电路中的电阻值较大，电容和电感能量释放时很快北电阻耗尽，整个过渡过程非振荡完成。电路这一非振荡衰减过程称为过阻尼(ov

18、er-damped)工作状态。,具体解的情况,电路接近振荡衰减的过程称为临界阻尼(critically-damped)工作状态。,电路中电阻较小，L、C周期性的交换能量，呈振荡衰减的变化趋势。称为欠阻尼(under-damped)工作状态,具体解的情况,无阻尼等幅振荡（no-damped oscillation）,二、任意的二阶电路的零输入响应的求解：,列写微分方程（最好以状态量为变量）,一般的二阶电路,将动态元件用独立源替代，电路变为电阻电路，求解其它电气量,三、二阶电路的零状态响应：,其解由两部分组成：,（1）通解,三、二阶电路的零状态响应：,（2）特解：与微分方程常数项形式相同。,（3）

19、完全解：,（4）,五、二阶电路的全响应：,（1）叠加法：分别按前述方法求出零输入响应和零状态响应，合成。,（2）直接列写方程法：照求解零状态响应方法，只是确定系数稍有不同。,对任意电路,第七节 状态方程,动态电路的分析关键是对状态变量的分析,一、状态方程和输出方程：,二阶电路以一个状态量为变量则列写的是一个二阶微分方程;以两个状态量(uc,iL)为变量则列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组,节点,回路,又有,一阶线性微分方程组：,上式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励源之间的关系方程，称为状态方程（state equation）。,输出方程,二、状态变量的选取,网络的状态变量的个数就是

20、电路的独立动态元件的个数。也就是一阶微分方程组中方程的个数。通常称为网络的复杂性的阶或网络的阶。,电路中含有纯电容回路时，据KVL：回路中必然有一个电容电压能被其它电容电压表示（不独立）；含有纯电感割集时，据KCL：割集中必然有一个电感电流能被被其它电感电流表示（不独立）。不独立的电容电压电感电流不能作为网络的状态变量。, 对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为nCL，纯电容回路数(与电压源并联的电容数)为nC，纯电感割集数（与电流源串联的电感数）为nL，则独立变量数为：,不含有纯电容回路和纯电感割集的网络称为常态网络(proper network)，常态网络中所有的电容电压和电感电流都是独立的，一般选取所有的状态量为变量。,三、状态方程的列写：,对只含一个电容的节点（割集）列写KCL方程；,对只含一个电感的回路列写KVL方程；,通过其它的KVL和KCL方程消去非状态变量,例：列写图示电路的状态方程：,解（1）选择节点列KCL方程,（2）选择回路1列写KVL方程,（3）选择回路2列写KVL方程消去非状态变量,代入（1）（2）两步整理后得：,直观列写法,写成标准形式：