数学北师大版九年级下册二次函数图象与性质顶点式（二）.ppt

1、二次函数的 图象和性质5,包头市第四十三中学 刘军,y=ax2,当h0时,向右平移h个单位,当h0时,向左平移 个单位,y=a(x-h)2,y=ax2,当c0时,向上平移c个单位,当c0时,向下平移 个单位,上下平移规律,左右平移规律,二次函数的性质:,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,上加下减,左加右减,实战演练： 1. 如图，请找出下列函数所对应的图象： 1). 图象为 2). 图象为 3). 图象为 4). 图象为,2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 得到的. 它的对称轴是 , 顶点坐标是 ,在x0时.y值随x的增大而 ； 与x

2、轴有 交点。,Y轴,沿Y轴向上平移5个单位,（0，5）,增大,无,3、对于二次函数y=-x2+2,其开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。它是 由 的图像 得到的。,练一练,4.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。,5、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，h= 。,0,2,2,0,2,2,0,2,2,y,x,o,1,回忆温习画法,1.抛物线 与抛物线 有什么关系?,向左平移1个单位,讨论,向右平移1个单位,即:,2.它们的位置由什么决定的？,它们的位置是由h决定的。,例题,例.画出函

3、数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴。,解: 先列表,再描点 后连线.,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,解: 先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,讨论,抛物线 的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1, 1).,抛物线 的开口方向、对称轴、顶点?,向左平移1个单位,向下平移1个单位,向左平移1个单位,向下平移1个单位,平移方法1:,平移方法2:,二次函数图像平移,直线x=1,(2)抛物线 有什么关系?,向下平移一个单位,向左平移一个单位,向下平移 一个单位,向左平移一个单位,我思考，我进步,在同一坐标系中

4、作出二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,2,3.,4.,5,-1,y,1,y=3x2,y=3(x-1)2+2,y=3(x-1)2,二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以y=3x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到,顶点坐标是（1，2）,开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2

5、,会是什么样?,本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:,(1)a的符号决定抛物线的开口方向,(2)对称轴是直线x=h,(3)顶点坐标是(h,k),开口向上,开口向上,开口向上,直线X=0,直线X=h,直线X=h,(0,k),(h,0),(h,k),y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x - h )2,y = a( x - h )2 + k,上下平移 |k|个单位,左右平移 |h|个单位,上下平移 |k|个单位,左右平移 |h|个单位,结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。,各种形式的二次函数

6、的关系口诀:“左加右减,上加下减”,向上,y轴,(0,0),向上,直线x=1,(1,0),向上,直线x=1,(1,1),y=2x2,y=2(x1)2,y=2(x1)2+1,上,画出函数 的图像,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口 方向,增减性,最值,（-2，2）,（2，-3）,直线x=-2,直线x=2,向上,向下,当x=-2时, 最小值为2,当x=2时, 最大值为-3,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位

7、置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,y最小值=k.,当x=h时, y最小值=k,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,练习一,向上,( 1 , 2 ),向下,向下,( 3 , 7),( 2 , 6 ),向上,直线x=3,直线x=1,

8、直线x=3,直线x=2,(3, 5 ),y=3(x1)22,y = 4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是（ ） 3.如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2,重点把握,向右平移1个单位，向上平移3个单位,向左平移1个单位，向下平移3个单位,4.抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( ) Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-5,5.如何平移：,练习二：,1、把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向右平

9、移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_的图像。 2、抛物线y=2（x + 1）2向右平移3个单位长度后，顶点坐标是 ，对称轴是。 3、抛物线y=-3x2向左平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（ ）。 A. y=-3(x-2)2-5 B. y=-3(x+2)2-5 C. y=-3(x+2)2+5 D. y=-3(x-2)2+5 4、若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第 象限。 A.一 B.二 C.三 D.四,y=3(x-3)2-2,（2，0）,直线x=2,C,B,小结: 本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论

10、,分析归纳出 的性质:,(1)a的符号决定抛物线的开口方向,(2)对称轴是直线x=h,(3)顶点坐标是(h,k),开口向上,开口向上,开口向上,直线X=0,直线X=h,直线X=h,(0,k),(h,0),(h,k),归纳,一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(xh)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.,向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2+k,向左(

11、右)平移|h|个单位,平移方法:,各种形式的二次函数的关系口诀:“左加右减,上加下减”,再见,再见,例题,C(3,0),B(1，3),例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0), 0=a(31)23,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23 (0 x3),当x=0时,y=2.25,答:水管长应为2.25m.,1.,2.,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,(2)都是轴对称图形.,(3)都有最(大或小)值.,(4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴(x=0).,3.联系: y