高中数学圆锥曲线问题解题技巧.ppt

1、,=1+k2.,(k为双曲线渐近线的斜率.),(2004全国东北理科卷)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y = x，则该双曲线的离心率e=( ) A. 5 B. C. D.,=1+k2.,其中k为双曲线渐近线的斜率., e2=5/4.,将k2=e2-1代入上式, 整理得,9e4-9e2-4=0,e2=4/3.,4,即 ec 3a, e23,已知F1、F2为双曲线 (a 0, b 0)的焦点，过F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于P, 且PF1F230(如图), 求双曲线的渐近线方程.,x,y,o,P,F1,F2,|PF1|2|PF2|，,exP+a=2(exP-a)，,exP3a,k2=e

2、2-1=2.,A,由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,即 ex1-a=c, ex1+a= c,两式相减：2a=( -1)c,两边同除以a得 e=,因为|NF1|=exN-a=c,即exN+a= c,又|NF2|= |NF1|, 2exN=( +1)c,将xN=c/2代入即得.,要点提炼：设双曲线的离心率为e, 一条有较小倾斜角 的渐近线的斜率为k,则双曲线的如下性质在解题时十分有用： 过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长； arccos(1/e)； e2k21. 此外, 双曲线的焦半径公式：r1|ex0a|，r2|ex0a| 在处理涉及双曲线的焦半

3、径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.,设,设而不求,=1.,x2+y2=3, y =,平几知识的应用, c2y2=b2(c2-a2)=b4, y=b2/c, SF1MF2=b2.,SF1MF2=b2=2,设点M到 x 轴的距离为d,则 cd=S,d=,将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的不变量.,y2a(x-3),曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线的斜率 k=2ax0.,依题意,0k1,即 02ax01.,f (x)=2ax,F,P, y =2ax, y | =1

4、.,证明：点P处的切线斜率为1,证明：点P处的切线斜率为1,法一：由 y2=2px 2yy=2p,法二：由,y2=2px,PF= p,x=-,命题1 设抛物线y2=2px(p0)的通径为PQ，则抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为1和-1,且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.,y2=18x,y2=8(x-6),AB：x-y-1=0 求得|AB|=8 ；,取点M(1,2), MAB的面积为4, 点M到直线AB的距离为,由,得,双曲线通径端点处切线的斜率为e.,过椭圆 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：,过双曲线 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：,命题2 若PQ为焦点在x轴上

5、的圆锥曲线的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为e和-e，且切线通过相应准线与x轴的交点.,或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线的准线与x轴的交点，且斜率为e(或-e)的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.,作离心率为1/2的椭圆,|OF|c, |FA|b, |OA|a.,c|AB|2ab,|AB|,作离心率为2的双曲线,(2004湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m) (m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点. ( I ) 设点P分有向线段AB所成的比为，证明QP(QA-QB)； ( II ) 设直线AB的方程是 x-2y+

6、12=0，过A、B两点 的圆C与抛物线在点A处有 共同的切线，求圆C的方程.,x1=-x2, y1-m=-(y2-m).,即,光 的 反 射,基本原理:,()光的传播遵循“光行最速原理”;,()光的反射应满足：“入射角=反射角”;,由此推得,光 的 反 射,基本技巧:,入射线;,始点终点的对称点,反射线.,始点的对称点终点,(x-2)2+(y-2)2=1,始点的对称点终点 -反射线；,终点的对称点始点 -入射线.,P(-3,1),F(-c,0),解法一：,依题意, 入射线方程为,令y=-2, 得M(- , -2);,令y=0, 得N(- ,0).,F(-1,0), a2=3,P(-3,1),F

7、(-c,0),解法二：,点F关于直线y=-2的对称点为Q(-c,-4 ).,c=1, a2=3,依题意, kPQ=- ,Q,要点提炼： 光反射的理论依据，是物理学中的光行最速原理；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的对称性，这就是“通法”. 只有把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.,(),()分析：,由题设，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，,即|xQ|=2|xQ+m|，,即xQ=-2m 或 xQ=- m.,(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0,令x=-2m ，得k=0；,令x=- m ，得k=2 .,() 由对称性，我们只须研究如

8、图的情况.,( 1 ) 当yB=-4yA时，,yA=1,m = .,令x=0，得y1=,( 2 ) 当yB=-9yA时，同理可得y2=, m,设|AB|=2c, 则A(-c,0), C( , yC), 又设E(x0, y0),得 x0+c=( -x0),x0=,|EC|= (exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),因为|EC|=|AC|-|AE|,所以-ex0-a=2a+e( +x0), t = , -2et-2=4+e(e+2t), 2e(+1)t= -(e2+4+2), 将代入,两边同乘以, e2(-2)= -(e2+4+2), e2=,因为,所以 7 e210,得,(20

9、04天津理科卷)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 ，相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. ()求椭圆的方程及离心率； ()若OPOQ=0，求直线 PQ的方程； ()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M. 证明：FM=-FQ.,e=,x y-3=0,()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M. 证明：FM=-FQ.,？,分析 设P(x1,y1), Q(x2,y2), 则M(x1,-y1). 又F(2,0), 由已知,x1-3=(x2-3), y1=y2.,=-(3-x2- , y2),-2:,将式代入上式，整理得：,x20,()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M. 证明：FM=-FQ.,？,还须证：M、F、Q 三点共线.,要点提炼