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文档简介

1、2.2等差数列 第1课时等差数列,1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念并能运用.,1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于_,那么这个数列就叫做等差数列. (2)公差:这个_叫做等差数列的公差,通常用字母_表示. (3)通项公式:an=_. 2.等差中项 若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a,b的等差中项, 并且A=_.,同一个常数,常数,d,a1+(n-1)d,1.已知等差数列an的通项公式为an=2n-1,则它的公差为 () A.2B.-2C.3D.-

2、3 【解析】选A.d=an-an-1=(2n-1)-2(n-1)-1=2.,2.已知a=1,b=3,则a,b的等差中项为() A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.,3.已知等差数列an的通项公式为an=3-2n,则a1+a2=. 【解析】因为an=3-2n,所以a1=3-2=1, a2=3-22=-1,故a1+a2=0. 答案:0,4.等差数列1,-1,-3,-5,-89的项数为. 【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3. 由-2n+3=-89,得n=46. 答案:46,一、等差数列的概念 观察下列几个实例,探究以下问题 (1)2,4,6,8,1

3、0,12, (2)1,1,1,1,1,1, (3)1,3,5,7,9,11,,探究1:请观察(1)(3)中的数列,它们中的每个数列从第二项起每一项与前一项的差是否都相等? 提示:观察这三个实例可以看出,(1)(3)中的差都是2,(2)中的差是0.因此上述几个数列从第二项起每一项与前一项的差都相等.,探究2:在探究1的基础上,你能用数学符号表示它们之间的关系吗? 提示:可表示为an+1-an=d(d为常数,nN*). 探究3:根据等差数列的定义,思考是否所有的常数列都是等差数列? 提示:是,根据等差数列的特点知,所有的常数列都是等差数列.,【探究总结】理解等差数列定义时的三个注意点 (1)注意定

4、义中“从第2项起”这一前提条件.这一条件有两层意义,其一,第一项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;其二,必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.,(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求,它的含义也有两个,其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一个常数”这一点可理解为每一项与前面一项的差是常数且是同一个常数.,二、等差数列的通项公式及等差中项 结合等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,探究下列问题:,探究1:利用数列的通项公式如何建立数 列任意两项之间的关系. 提示:在等差数列an中,若m,

5、nN*, 则an=am+(n-m)d. 推导如下:因为对任意的m,nN*,在等差数列中, 有am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d, 由-得an-am=(n-m)d, 所以an=am+(n-m)d.,探究2:若A= ,则a,A,b是否成等差数列?若一个数列 任意相邻的三项具有这种关系,结果怎样? 提示:若A= ,则a+b=2A,A-a=b-A,则a,A,b成等差数 列,反之也成立. 若an+1= (an+an+2),则an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差 中项,由n的任意性可得,数列an是等差数列.,【探究总结】1.对等差数列通项公式的三点说明 (1)利用通项公式可以求

6、出首项与公差. (2)可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项. (3)若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数. 2.等差中项的注意点 (1)等差中项A= a,A,b成等差数列. (2)用等差中项:an+1= (an+an+2)可以证明一个数列为等差数 列.,【拓展延伸】用函数的观点理解等差数列的通项公式 (1)将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an= dn+a1-d,从函数角度来看,an=dn+(a1-d)是关于n的一次函 数(d0时)或常数函数(d=0时). (2)an=dn+(a1-d)的图象是一条射线上一些间距相等的点,其 中公差d是该射线所在直线的斜

7、率,从上面的变形公式可以知 道,d= (nm).,类型一等差数列的定义 1.给出下列数列,其中是等差数列的是. (1)0,-3,-6,-9,-12,. (2)1,-1,1,-1,1,-1,. (3)6,6,6,6,. (4)6,5,3,1,-1,-3,. 2.已知cn= 试判断数列cn是否为等差数列.,【解题指南】1.验证从第二项起,每一项与其前一项的差是否等于同一个常数. 2.分段函数要分别计算每一项与其前一项的差是否等于同一个常数.,【自主解答】1.(1)该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-3,所以是等差数列. (2)因为-1-1=-2,1-(-1)=2,不是同一个常数

8、,所以该数列不是等差数列. (3)该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数0,所以是等差数列.,(4)因为5-6=-1,而从第3项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2,所以该数列不是等差数列,但可以说从第2项起是一个等差数列. 答案:(1)(3),2.因为c2-c1=-1-1=-2, cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2). 所以cn+1-cn(n1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义.所以cn不是等差数列.,【规律总结】利用等差数列定义判定数列的步骤 (1)求第二项与第一项的差(常数). (2)验证以后每一项与其前一项的差等于同一个常数. (3)根据

9、等差数列的定义,判定该数列是否为等差数列.,【变式训练】给出下列数列,其中是等差数列的是. (1)1,2,4,6,8,. (2)0,0,0,0,. (3)3,6,9,12,. 【解析】(1)因为2-1=1,4-2=2,故该数列不是等差数列. (2)因为0-0=0-0=0,所以是等差数列. (3)因为6-3=9-6=12-9=3,所以是等差数列. 答案:(2)(3),类型二等差数列通项公式的应用 1.(2014重庆高考)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=() A.5B.8C.10D.14 2.(2015大连高二检测)已知等差数列an中,a1a2a3an且a3,a6为方程x2-

10、10 x+16=0的两个实根. (1)求此数列an的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由.,【解题指南】1.根据题设条件求出公差,进而可求出a7的值. 2.(1)由于数列an是等差数列,只要确定它的首项a1及公差d的值,将其代入通项公式中,即可得an. (2)268是否为该等差数列中的项,关键点是看an=268是否有正整数解.,【自主解答】1.选B.设公差为d,因为a1=2, 所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10, 解得d=1, 所以a7=a1+6d=2+6=8. 2.(1)因为 即 解得 故an=-2+2(n-1)=2n-4.,(2)2

11、68是此数列中的项.令an=2n-4=268得2n=272, 故n=136. 因此268是此数列中的136项.,【规律总结】求等差数列通项公式的四个步骤,【变式训练】已知等差数列an中,a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项. 【解析】设该等差数列的公差为d,则有a10=a1+9d=29,a21=a1+20d=62,解得a1=2,d=3. 所以an=2+(n-1)3=3n-1. 令an=3n-1=91,得n= N*. 所以91不是此数列中的项.,类型三等差中项的简单应用 1.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为() A.1B.2C.3D.4 2.已知a,b,c成等差数列,

12、那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?,【解题指南】1.由根与系数的关系得两根之和,进而求其等差中项. 2.已知a,b,c成等差数列,由等差中项的定义,可知a+c=2b,然后要证a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列,可考虑等差中项的定义、性质及条件a+c=2b.,【自主解答】1.选C.设方程x2-6x+1=0的两根为x1,x2, 则x1+x2=6.所以其等差中项为 2.因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b, 又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a) =a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b) =a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0, 所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a), 所以a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.,【规律总结】 1.等差中项的两个注意点 (1)唯一性:任意两个常数存在唯一的等差中项. (2)任意性:等差数列中不连续的三项,如ak-s,ak,ak+s中, ak是ak-s与ak+s的等差中项,因为其下标k-s,k,k+s成等差数列. 提醒:等差数列中项的下标成等差数列,相应项也成等差数列.

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