小河打水、最短距离类型题精编

1、小河打水问题整理& 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？【数学模型】已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且ACCB最小。作法：1、作点A关于直线l的对称点A；2、连结AB交l于点C。点C就是所求的点。证明略构建“对称模型”实现转化1. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且ACBD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）米。A750B1000C1500D20002. 在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）

2、、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MPMQ取最小值时，点M的横坐标x=_。3. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？4. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？5. 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？6. 已知点P、Q分别为AB、AC上的点，在BC边上求作一点R，使PQR周长最小。（写出画图方法，并说明理由）7. 如图，ABC中，AB=AC，过点A

3、的直线MNBC，点P是MN上的任意点，试说明PB+PC2AB。8.（2006苏州）台球是一项高雅的体育运动其中包含了许多物理学、几何学知识。图是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H并作出E球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图，现以D为原点，建立直角坐标系，记A（0，4），C（8，0），E（4，3），F（7，1），求E球按刚才方式运行到F球的路线长度（忽略球的太小）9. 先阅读下文，再回答问题：你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，

4、如图，四边形ABCD是一矩形的球桌台面，有两个球位于P、Q两点上，先找出P点关于CD的对称点P，连接PQ交CD于M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。请回答：如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击呢？（画出图形)10. 如图，CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？你还有其他方法使A碰到台边反弹后再击中白球B吗？11.如图是一台球桌，欲使球A先撞击球桌的某一边反弹后，再进入4号洞，你有几种撞击方法，画出图形即可。如果反弹后，任意进入其中一个洞，那么你共有多少种撞击方法。12. 小新所

5、在的班级去农村学农，劳动之余数学老师让同学们做一个游戏，如图，在河岸边放一排水桶，要求同学从A处出发，先去取水桶，然后去河边打水，再把水送到B处的水缸中。要求同学们找出路程最短的路线。同学们七嘴八舌地争论，没有得出统一的意见。请你帮他们出出主意，究竟怎样走才能使所走的路程最短？13. 如图，已知AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。14. 如图，M是AOB内部一点。（1）分别作出点M关于OA、OB的对称点，M1、M2。连接M1M2，交OA于点P，交OB于Q；（2）若M1M2=10cm，求MNQ的周长。（3）在OA、OB上任取点P、

6、Q，连接MP、PQ、MQ，得到MPQ。比较MPQ与MPQ的周长，你得到什么结论？15. 如图，C是AOB内一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点，若C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C24.5cm，则CDE的周长为（）A4.5cmB6.5cmC5.5cmD无法求16. 如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD18cm，则PMN的周长为_17. 如图，点P在AOB内部，且AOB度数为45，OP=2cm，在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。18. 已知，如图DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC

7、于E，且AC5，BC8，则AEC的周长为_19. 如图，在ABC中，ABBC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC10，AC6，求ACE的周长。20. 已知：如图，点P在AOB内，且点P与M关于OA对称，PM交OA于Q，点P与N关于OB对称，PN交OB于R，连接MN、OP、OM、ON，若MN10cm，OP6cm，求OMN与PEF的周长。21. 已知，如图，在ABC中，ABAC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC8，ABE的周长为14，求AB的长22. 如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC5cm，BC4cm，则BDC的周长为_23. 如图，A

8、、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？24. 如图，A、B两村欲在河边建一抽水站，已知A村到河边的距离是100m，B村到河边的距离是300m，且CD的长为300m，若辅设水管的费用是每米100元，问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低？在图上画出水站的位置P，并求出辅设水管的最低费用。25. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在

9、的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知AB25km，CA15km，DB10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?26. 如图，铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA15km，CB10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？27.（2008年咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5）关于直

10、线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，3）、E（1，4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标28.（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_时，AC + BC的值最小（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小

11、值为_cm。29.（2009陕西）如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_30. 如图，在正方形ABCD中，点M在CD上，在AC上确定点N，使DNMN最小。31.（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_cm。32. 在正方形ABCD中，E在BC上，BE2，CE1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_。如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为_。33.

12、如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。 （1）如图1，等腰RtABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 ；（2）几何拓展：如图2，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0x4）的最小值。34. 如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O，点D为BC边的中点，连长为2cm，在BD上找点P，使DP+CP之和最小。35.（2009年抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形

13、，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C3D36.（2009荆门）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标37.（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM。（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值

14、最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为1时，求正方形的边长.38.（2010淮安）（1）观察发现如题图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小做法如下：作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点就是所求的点P。再如题图2，在等边ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用如题图3，已知O的直径CD为4，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并

15、求BP+AP的最小值 （3）拓展延伸如题图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法39. 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这

16、一点；如果不存在，请简要说明理由。40.（2008河北）在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，ABakm（a1）现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图131是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1PBBA（km）（其中BPl于点P）；图132是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2PAPB（km）（其中点A与点A关于l对称，AB与l交于点P）观察计算（1）在方案一中，d1_km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图133所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2_km（用含a的式子表示）探索归纳：