第三章简单随机抽样(抽样调查理论与方法-北京商学院,.ppt

1、1 简单随机抽样及实施方法,简单随机抽样就是从装有 N 张票子的盒子里随机无放回地摸取 n 张票子，它可以有两种摸取方法：,第三章 简单随机抽样,（1）从盒子中一次摸取 n 张票。这样摸取共有 种可能 性，每种可能的概率为 。抽到的样本称为简单随机样本。,（2）从盒子中随机摸取 1 张票，相应该票的单元入样后，票并不放回盒子，从余下的票中再随机摸取 1 张票，相应此票的单元也入样且票也不返回盒子；依此实施，直到第n个样本入样。,这两种方法都使用了随机的方法，而且样本并不重复，那么这两种方法是否都算是简单随机抽样呢？要检验一下这两种方法中每一单元的入样概率是否相等。只要验证第二种方法中总体的每

2、n 个单元一组的样本入样的可能性等于第 一种方法中的 即可。,利用条件概率即可得到验证。,也就是说，两种操作方法是等价的。都是简单随机抽样 但由于N、n一般都很大，第二种操作方案较方便。现在介绍 一下具体实施简单随机抽样的做法：,首先将N个总体元素编号为：1，2，N，每一单元对应 一个号码，若抽到某号，则相应单元入样。,（1）抽签法：实际上就是一个盒子模型，将编号为1N的 N个形状与质地完全相同的纸签放在盒子里，用上述两种方 法之一从盒子中摸出 n 张签。,（2）随机数法：设想N相当大，你会做那么多的签放在盒子 里以供抽取吗？随机数法用来解决这个困难。利用随机数表、 随机数骰子或计算机可以获得

3、随机数。,随机数表：本书最后附有随机数表，它应当被看成09数 字随机地横竖排列，我们可以随机地从某行某列的数字开始 如果需要一至二位数字，则从该数字开始从左向右接连地截 取，该行不够则换下一行开始；如果需要三位或三位以上数 字，则从开头数字开始向右取三位或三位以上的数从该数纵 向往下接连获取其它随机数，不够可另换列执行，直到取到 我们所需要的个数 n ，当然这中间应该去掉可能发生重复的 数以及超出N的数字。,利用计算机产生随机数：不少现成的统计软件都可提供此 类服务。但必须指出，这样产生的随机数一般不能保证其随 机性，称为“伪随机数”。因此，提倡前述方法产生随机数。,随机数骰子：随机数骰子是由

4、均质材料制成的正二十面体 面上标有09数字各两个。如图所示。通常用36个随机骰 子，视所需要的随机数的位数而定。骰子用不同的颜色染成 可事先规定好哪种颜色的骰子产生个位数，哪种颜色的骰子 产生十位数，依次下去。将所需骰子在盒内摇匀等稳定后揭 盖读取朝上面的数字，即获取一组随机数。所摇的骰子数 m 通常取决于总体单元个数N，满足 。记m个 骰子按约定颜色而确定的顺序读得随机数 ，若 ，则 此 即为一次合格的随机数；否则予以放弃，重新摇取，直 到取到n个合格的随机数为止。,2 总体平均数与总和的估计,设总体元素为 ， 为来 自该总体的简单随机样本，有时也记样本为 为 中的某个组合。在后者的表示中

5、随机性体现在下标 上。样本 是总体 的一个有代表性的剖面。,总体平均数 的估计为：,总体总和的估计自然为：,由于这两个估计之间仅差一个常数因子N，因而只要重点研 究 的估计量 的若干性质即可。 是样本平均数，由于样 本的随机性，样本平均值也是随机变量， 理论上的平均值,即数学期望为：,其中 表示对 中所有组合 求和,对于 中的每个元素，比如 ，它与其它元 素构成样本的可能次数显然为 ，因此 ，乃至 在 中出现的次数均为 ，于是,即 是 的无偏估计。同样 也是总体总量 的无偏估计,例3.1 某班第一小组10人的数学考试成绩分别为： 100，95，92，88，83，75，71，62，60，50 平

6、均分为77.6。先从中任选3个为一组样本，其选法共有120种 每种选法都有概率1/120。以4组样本为例(100,95,92)，(100,83, 50)，(88,83,62)，(62,60,50)它们的样本平均数分别为95.67， 77.67，77.67，57.33。,从抽样调查的角度来看，我们希望抽到第二或第三组样 本，根据它们来估计总体平均数相当准确。而第一和第四组 样本的估计相当糟糕。但它们入样与第二第三组具有同样的 可能性，这是否与 的无偏性相矛盾呢？,其实并不相矛盾。我们关心的是，尽管每一组样本入样 的概率相同，像第二第三组这样的“良好”情况就大体而言是 否会多于像第一第四那样的“糟

7、糕”情况呢？如果肯定的话， 那么就能指望在一次随机抽样中发生的估计误差较小。该问 题的解决将由下一节的讨论给出。,3 估计量的方差及其估计,下面求 的无偏估计 的方差,其中 表示对 中所有组合 求和,（或 ）,(3.6),对随机有放回抽样，由于各次抽取是相互独立的，由概率论 的知识可以求得，此时：,（或 ）,(3.7),比较(3.6)式与(3.7)式，发现同样用样本平均数来估计总体平 均数，它们都是无偏估计，但随机无放回时的方差小于随机 有放回时的方差。 的方差表示新盒子的离散程度，也就是 表示了 取值范围的大小，方差小表明 取值远离中心 的 可能性较小，这样随机的一组样本得到 的实现值距 很

8、近 的可能性就较大，这正是我们所期望的。因此，在实际抽样 中我们采用无放回抽样方式。,(3.6)式中的因子(Nn)/(N1)，称为随机无放回的校正 系数，它是对随机有放回情况的校正。,如果 N 相当的大，则总体可视为无限总体，由(3.7)式，,即为 的方差，这是无限总体情况样本平均数的方差。,而有限总体的 的方差为：,因此称 1f 为有限总体校正系数，其中f=n/N，称为抽样比,抽样比就是样本所占总体的比例。 f 越大，越接近 1，则样 本越接近总体， 与 的随机误差就越小；当 f=1 时，抽样 变成全面普查，此时误差消失。,一般情况下 f 比较小，由于 N 是固定的，也就意味着 n 相当小，

9、此时(3.6)式告诉我们 的方差将随着 n 的减少而增 大，此时 1f 在 1 附近，对 的影响不大。事实上， 抽取样本越少，抽样误差越大。,当然，影响 的方差的另一个重要因素是 或 。设 想，当 相当大时，原盒子中的数据相当地分散，从一个很 分散的盒子中随机取一样本来代替总体，你不可能指望误差 很小。,对于 的方差，n 的影响是可以由人们主观控制的，只 要多花费一些，多抽取一些就能适当降低误差，当然这只能 控制在一定范围内。,可见实际抽样调查中用 估计 所产生的随机误差，也 即 的方差，主要受到样本容量 n 的影响，因子1f 的影响 几乎可以忽略。,的影响是客观存在的，盒子中数据越分散，总体

10、就变 得越难捉摸。实际上， 本身就是一个待估参数，必须对 的大小给出估计，不估计 就无法评价 所产生的误差可能 有多大。,设 为来自总体的样本，既然它是总体的 一个缩影，那么这些值的离散程度应该反映了盒子的离散程 度，因此采用统计量（样本方差）：,来估计 。为了研究统计量 的性质，将 改写为：,用 作为 的估计，利用正态近似理论可以建立 的置信区间,当N，n，Nn 相当大时， 的分布近似可用正 态曲线表示，由于,所以,取置信水平为 （ ）,注意到标准正态曲线关于0点的对称性，我们有,其中 是标准正态曲线的 分位点，任何一本概率 统计的书上都提供有标准正态分布表以供查取分位点。,这样， 的 置信

11、区间为：,其中 为未知参数，用其无偏估计 来代替，则得置信区间,或,例3.2 某镇有3250名职工，为调查该镇职工收入情况，用简单 随机抽样方式从中抽取30名，调查结果如教材53页表31。 试估计该镇职工的平均月收入 ，并求置信水平为95的近 似置信区间。,解：,N3250，n30,查标准正态分布表得分位点：,于是该镇职工月平均收入的估计值为672.23元，它的95近 似置信区间为：,本节主要介绍了 估计 的随机误差以及置信区间的估 计，对于总体总和的情况，从平均数的情况很容易导出有关 结果。,4 百分数的估计及其误差,在介绍盒子模型时已经指出，对于总体中具有某种特性的单元所占比例的抽样调查，

12、可建立01盒子模型。即 个 具有某种特性的单元相应的票上全标上 1，其余全标上 0。,是未知数。盒子中1所占的比例是待估参数： 。,由于该参数恰为01盒子的平均数，在简单随机抽样理论中 自然地采用 这个无偏估计。为与参数记号相配，记：,由第二章第七节的讨论可知，盒子的方差为：,因此：,其中PQ为未知参数的乘积，只有对 进行估计才有可能 获得P 的置信区间。尽管P，Q各有它们的无偏估计 但它们的乘积并非PQ的无偏估计。这里需要借助于 的无偏 估计 ，并且容易计算得：,这样可得 的无偏估计为：,（或写为 ）,其实当 N 比较大时，样本中 1 的个数服从二项分布，因此当 n 不是很大时，近似置信区间

13、(3.26)会发生一定差错，应当考 虑必要的修正。p 的修正置信区间为：,(3.26),(3.27),例3.4 某地区有30587人，为调查其中吸烟者所占比例而从中 随机无放回抽取2000人进行访问，得知其中烟民785人。试估 计该地区吸烟者比例，并给出吸烟比例的置信水平为90的 近似置信区间。,解：,N30587，n2000,置信水平为90，则 ，查表得,又,故置近似信区间为,(37.52，40.98),5 样本容量 n 的确定,抽样调查理论中，样本容量 n 的确定具有实实在在的意 义。 n 过大，违背抽样调查的宗旨， n 过小，则抽样误差偏 大，无法作出精确的估计。,一般情况，总费用是固定

14、的，在固定的费用下尽量提高 精度或在必需的精度下使费用尽可能减少，是我们确定 n 的 基本原则。下面主要研究简单随机抽样下如何确定 n 。,设选取 n 个样本，访问每个单元所需的平均费用为 ， 另外除了样本调查所需的费用以外，还需要一笔基本费用， 例如办公费、设计问卷的费用等，用 表示。这样总费用为,我们 主要考虑 n 与精度的关系：,精度要求主要涉及到估计的方差（或相应的标准差），或估计量与参数的绝对误差或相对误差。若记 为基于简单随机样本 的关于参数 的估计量。 是一个随机变量，要使此绝对误差控制在一定数之内，只能以概率加以描述，假设置信水平为 ，那么：,同样，若以相对误差 r 作为标准,

15、则有,假设 n 相当大时， 可以利用正态近似，我们有,再利用正态近似的手段，得:,这里我们定义：,我们称之为统计量 的变异系数，它在抽样调查中也是一个 比较重要的量，尤其是在评价统计量的精度时常常用到。,将(3.31)式中的 取为 为例， ，如 果调查时 有一定要求，那么由(3.31)式以及额定的 ，只要 已知，我们完全可以求得 n 的值。,如果 是未知的，我们可以先作少量抽样以估计 ， 然后再确定 n ，当然这个确定的 n 比少量抽样的容量通常 要大。,如果问题是估计总体的具有某种特征的子总体所占的 百分数 P ，那么,代入(3.31)式，并解得：,(3.35),由于 P 未知，仍然必须事先

16、利用少量抽样加以估计。但在实 际操作中，当 时，PQ很接近P=0.5时的最大值，,以P=0.5代入，此时,得到 n 约为,如果调查对 有一定要求，自然也能得到 n 的大约数值。,(3.36),以(3.36)式确定 n ，建立在 P 不大不小的基础之上。这 种信息有时在抽样之前事先感觉得到。有时事先也可能感觉 P相当小（或Q相当小）。例如，要估计流水线上生产一批 精密元件的废品率，此时废品率往往很小，P0.1是最起码 的。对此废品率的抽样调查所需的 n 就不能用(3.36)式了。,这种场合下如何确定 n 呢？一个可供选择的方法就是逆 抽样。思路很简单，我们事先估计 P 很小，此时确定的 n 次

17、抽样中必须含有废品，否则很难估计 P 。于是逆抽样方法建 议我们事先确定一个大于 1 的整数 m ，从总体中随机逐次抽 取样本，直到出现第 m 个“废品”（或具有某种特征的单元） 为止。此时，我们实际抽取的样本容量 n 是一个随机变量， 我们使用：,来估计 P。逆抽样的特点是 n 为随机变量，与P及m有相当的 关系， 的精度就与 m 有密切的关系。我们的问题是根据调 查的需要去确定事先指定的“废品”数 m 。,(3.37),一般地，由于欲估计的 P 相当小，因此可以认为 Q 几乎 为 1 。运用概率论知识可求得 的变异系数的一个上界：,如果对 有一定要求（这实际上就是精度要求），那么 可以求得 m 的大致值。,例如 ，那么,，那么,理论上 是 P 的无偏估计，因此当 P 很小时，由(3.37) 可知，n 应相当大。,本章习题解答,