七数培优竞赛讲座第16讲 不等式(组)的应用

1、第十六讲 不等式（组）的应用 在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式(组)，运用不等式(组)的相关知识予以求解 不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题 列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是： 1弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； 2找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； 3列出不等式(组)；4解这个不等式(组)，求出解集并作答例题 【例1】 给出四个自然数a，b、c、d，其中每三个数

2、之和分别是180、197、208、222，则a，b、c、d中最大的数是 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 较繁的一般解法是解关于a，b、c、d的四元一次方程组由题意知a，b、c、d互不相等，不妨设abcb Bab Ca=b D与a和b的大小无关 (山东省竞赛题)思路点拨 把买卖的钱数作差比较，推导出a与b的关系注： 学习不等式 (1)基本简单 许多人非常不重视基本的东西，甚至轻视它，“基本”应该等于“重要”加上“简单” (2)懂会对“懂”有时只是浮面的，只是形式上的了解，还必须经过组织与整理，融会贯通，并从问题的演练中不断地发现自己不会的地方，才可以逐渐达到“真会”的地步在解一些涉及到多个变

3、元的数学问题时，题设条件并没有给出变元的大小顺序，若给它们假设一个大小顺序，并不影响命题的成立，则给问题的解决增加了一个可供使用的条件，从而降低问题的难度，这种方法叫排序法 【例3】已知是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a1的最大值 (北京市竞赛题) 思路点拨 设则a1+a2+a3+a7=159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含a1o的不等式，这里要用到整数的如下性质：设a、b为整数，若a1000a 即4x+3y2000， y100， 4x20003y1700， 又x是整数，x425 所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能赢利 注：充分利用“赢利”这一

4、不等关系，赢利即销售金颇大于成本，题目中并没有包含x、y的等量关系，但利用y100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求出x的取值范围 【例9】 (江苏省竞赛试题)货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车? 思路点拨 设共需n辆汽车，它们运走的重量依次为a1，a2，an则2ai3(I=1，2，n)，ala2an=102n103n，解得 车子数n应为整数， n=4或5，但4辆车子不够例如有13只箱子，每只重量为，而33，43，即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车学

5、力训练1若方程只有负数根，则a的取值范围是 2若方程组的解x、y都是正数，则m的取值范围是 (河南省中考题)3某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时，收集了如下信息： (1)生产该种化肥的工人数不能超过200人； (2)每个工人全年工作时数不得多于2100个； (3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋； (4)每生产一袋该化肥需要工时4个； (5)每袋该化肥需要原料20千克； (6)现库存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨 根据上述数据，确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是 (江苏徐州中考题) ：4设，则P、Q的大小关系是（ ）AP

6、Q BPbc，则的取值范围是 (江苏省竞赛题)11适合方程的正整数x的值是 12 设为自然数，且，又，则的最大值是 (安徽省竞赛题)13正五边形广场ABCDE的周长为2000m，甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿ABCDEA的方向行走，甲的速度为50mmIm，乙的速度为46mmin，则出发后经过 min，甲、乙第一次行走在同一条边上 (河北省竞赛题)14如果，那么( ) A(x+1)(x一1)0 B(x+1)(x一1)0 C(x+1)(x一1)0 D(x+1)(x一1)0 (山东省竞赛题)15小林拟将1，2，n这n个数输入电脑，求平均数当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了(n一1)个数

7、，平均数为35，假设这(n一1)个数输入无误，则漏输入的一个数为( ) A10 B53 C56 D67 (江苏省竞赛题)16已知0a一b1且1a+b4，则a的取值范围是( ) A1ao2 B2a3 ca Da (重庆市竞赛题)17某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：运输单位运输速度(千米时)运输费用(元千米)包装与装卸时间(时)包装与装卸费用(元)甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700解答下列问题：(1)若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离(精确

8、到个位)；(2)如果A、B两市的距离为S千米，且这批水果在包装与装卸及运输过程上损耗为300元时，那么要使果晶公司支付的总费用(包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和)最小，应选择哪家公司? (南通市中考题)18今有浓度为5、8、9的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制浓度为7的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市竞赛题)19某企业有员工300人生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元(m为大于零的常数)为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20，生产B种产品的员工

9、平均每人每年可创造利润154m万元(1)调配后企业生产A种产品的年利润为 万元，生产月种产品的年利润为 万元(用含rn的代数式表示)若设调配后企业全年的总利润为y万元，则y关于x的关系式为 ；(2)若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案?请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留3个有效数字)(3)企业决定将(2)中的年最大总利润(m2)继续投资开发新产品，现有六种产品可供选择(不得重复投资同一种产品)，各产品所需资金以及所获利润如下表：产品CDEFGH所需资金(万元)200348240288240500年利润(万元)508020604085如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品?请你写出两种投资方案 (江苏镇江市中考题)20一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，