人教A高中数学必修四课件232平面向量的正交分解及坐标表示233平面向量的坐标运算2

1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算,1.平面向量的正交分解的定义 把一个向量分解为两个_的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与_轴、_轴 方向相同的两个_i，j作为基底.,互相垂直,x,y,单位向量,(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_.则有序数对_ 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).,xi+yj,(x，y),3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，则： a+b= _

2、 a-b= _； a= _. (2)重要结论：已知向量 的起点A(x1，y1)，终点B(x2， y2)，则 = _.,(x1+x2，y1+y2)；,(x1-x2，y1-y2),(x1，y1),(x2-x1，y2-y1),1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. () (2)向量的坐标就是向量终点的坐标.() (3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样. (),【解析】(1)错误.由于向量可以平移，无论向量在何位置，它的坐标不变.终点不同的两个向量的坐标可以相同. (2)错误.向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标. (3)

3、错误.两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=2i-3j，则向量用坐标表示a=. (2)若向量a=(3，5)，b=(-3，2)，则a+b=. (3)若点A(3，1)，点B(4，6)，用坐标表示向量 = .,【解析】(1)由于i，j是两个互相垂直的单位向量，则a=(2， -3). 答案：(2，-3) (2)a+b=(3，5)+(-3，2)=(0，7). 答案：(0，7) (3) =(4，6)-(3，1)=(1，5). 答案：(1，5),【要点探究】 知识点1 平

4、面向量的正交分解及坐标表示 1.对向量正交分解的认识 (1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例. (2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底.,2.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后，向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示.有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决.,3.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别： 意义 点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反

5、映的是向量的大小和方向，与位置无关；,表示形式 如点A(x，y)，向量a (x，y)当平面向量 平行移 动到 时，向量不变，即 (x，y),但 的 起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.,(2)联系： 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系. 把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标.,4.相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=bx1=x2且y1=y2.,【微思考】 (1)相等

6、向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一 定相同吗？ 提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是 相等向量的起点、终点的坐标可以不同. (2)以原点O为起点作向量 =a，点A的位置由谁确定？ 提示：由a唯一确定.,【即时练】 1.已知向量a=(-2，3)，b=(2，-3)，则下列结论正确的是() A.向量a的终点坐标为(-2，3) B.向量a的起点坐标为(-2，3) C.向量a与b互为相反向量 D.向量a与b关于原点对称,2.下列说法不正确的是() A.若将 =(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则点 N的坐标为(x0，y0) B. =(x0，y0)的相反向量的坐标

7、为(-x0，-y0) C.若直线MN与y轴垂直且 =(x0，y0)，则必有y0=0 D.若 =(x0，y0)是一个单位向量，则x0小于1,【解析】1.选C.因为a=(-2，3)，b=(2，-3).所以a+b=(-2，3) +(2，-3)=(0，0)=0，即a=-b. 2.选D.A正确，将 =(x0，y0)平移，其坐标不变，又因为起 点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，所以使起点M与坐标 原点O重合，则点N的坐标为(x0，y0).B正确， 的相反向量 为- ，其坐标为(-x0，-y0).C正确，因为直线MN与y轴垂 直，将 =(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则点N 落在x轴上，其坐

8、标为(x0，0)，所以y0=0.D错误，若 =(x0， y0)是一个单位向量，则-1x01.,知识点2 平面向量的坐标运算 1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等价于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).,2.实数与向量积的坐标 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，则a=(xi+yj)=xi+yj.从而a=(x，y).

9、这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,【知识拓展】向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算. 此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用. (2)字母表示下的几何运算. 此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面要注意 等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算. 此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向线段两个端 点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算.,【微思考】 (1)求向量 的坐标需要知道哪些量？ 提示：求向量 的坐标，需要知道点A和点B的坐标. (2)向量可以平移,平移前后它的坐标会发生变化吗？ 提示：向量确定以后,它的

10、坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变.,【即时练】 1.已知点A(1，-2)，点B(4,0)，则向量 =_. 2.已知a=(2,1)，b=(1,4)，则2a-3b=_. 【解析】1.由于点A(1，-2)，点B(4,0)，所以向量 =(4,0)-(1,-2)=(3,2). 答案：(3,2) 2.2a-3b=2(2,1)-3(1,4)=(4,2)-(-3,12)=(7，-10). 答案：(7，-10),【题型示范】 类型一 平面向量的坐标表示及运算 【典例1】 (1)已知 =(2,4)， =(2,6)，则 =( ) A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1) (2)

11、(2014怀化高一检测)已知O是坐标原点，点A在第一象 限， xOA=60，求向量 的坐标.,【解题探究】1.题(1)中向量 与向量 ， 两向量有什 么关系？ 2.题(2)中 的坐标与A点的坐标有什么关系? 【探究提示】1. 2.因为向量 的起点在原点,所以其坐标与点A的坐标相同.,【自主解答】(1)选D.因为 =(2(2),64)= (4,2)，所以 =(2,1). (2)设点A(x,y)，则x y 即 所以,【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的

12、坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,【变式训练】(2014北京高考)已知向量a=(2,4)，b=(-1,1)， 则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).,【补偿训练】1.(2014萍乡高一检测)已知A(x,2),B(5,y 2)，若 =(4,6)，则x,y的值为( ) A.x=9,y=-2 B.x=1,y=10 C.x=1,y=10 D.x=-1,y=10 【解析】选B. =(5x,y22)=(4,6)，所以x=1,y=10. 【误区警示】由于没有把握好向量 的

13、坐标与点A和点B的坐 标的关系，本题易发生 =(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9, y=-2的错误.,2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(2,1)求 的坐标 【解析】因为 =(2,1)(3,7)=(5,6)， 所以,类型二 坐标形式下相等向量的运算 【典例2】 (1)(2014烟台高一检测)若向量a(x+3,x23x4)与 相等，已知A(1,2),B(3,2)，则x的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4 (2)已知M(2,1),N(0,5)，且点P在MN的延长线上,|MP|=2|PN|, 则P点坐标为( ),(3

14、)(2014合肥高一检测)已知平面上三点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平 行四边形的四个顶点.,【解题探究】1.题(1)中由a与 相等，这两向量的坐标有什 么关系? 2.题(2)中由点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，会得到怎样的 相等向量？ 3.题(3)中的四点有可能会构成哪几种平行四边形，需要分情 况讨论吗？,【探究提示】1.相等向量的坐标对应相等. 2.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，所以 3.需分不同的情况讨论，有可能构成的平行四边形为ABCD；平行四边形ACDB；平行四边形ACBD.,【自主解答】(1)选

15、A.因为 =(3,2)(1,2)=(2,0)， =a，所以 解得x=1. (2)选A.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，所以 又 =(0,5)(2,1)=(2,6)，所以 =(4,12)，故点 P的坐标为(2,11).,(3)当平行四边形为ABCD时，设D(x,y)，由 =(1,2), =(3x,4y)且 得D(2,2).当平行四边形为ACDB时， 设D(x,y)，由 =(1,2), =(x3,y4)且 得 D(4,6).当平行四边形为ACBD时，设D(x,y)，由 =(5,3), =(1x,3y)及 得x=6,y=0，故D(6,0). 故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(-

16、6，0).,【延伸探究】若题(1)中将A，B两点的坐标改为“A(x,2)， B(11,2)”，又如何求解呢？ 【解析】选C.因为 =(11,2)-(x,2)=(11x,0)， =a，所 以 解得x=4.,【方法技巧】坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.,【变式训练】已知点A(1,5)，若向量 与向量a(2,3)同 向，且 3a，求点B的坐标. 【解析】设B(x,y)，则 =(x+1,y5)， 又 3a=(6,9)，所以 解得 故B(5,14).,【易错误区】混淆向量的坐标与点的坐标而致错 【典例】(2014宿州高一检测)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10), 点P在第三象限,则的取值范围为 _.,【解析】设P(x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x-2, y-3). 又因为 =(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3) =(3,1)+ (5,7)=(3+5,1+7), 所以(x-2,y-3)=(3+5,1+7), 即 解得 因为点P在第三象限,所以 解得1. 答案：1,【常见误区】,【防范措施】 1.明确向量坐标与点的坐标的区别 当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量坐标与其终点的坐标相同.如在处容易错认为点P的坐标出错. 2.向量的坐标