2015年杭州中考解决方案―全等三角形教师版

1、全等三角形中考一轮复习自检自查必考点一1、 全等三角形的性质：（1）对应边相等；（2）对应角相等；（3）周长相等，面积相等2、判定三角形全等的基本思路：例题精讲板块一：全等三角形的性质【例1】 如图，将一副七巧板拼成一只小动物，则AOB=135度解答：解：由图中可知AOB，由3个45的角组成，AOB=135度故填135【例2】 已知点A、B的坐标分别为：（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与ABO全等，写出三个符合条件的点P的坐标：（4，0）或（4，4）或（0，4）解答：解：如图，ABOABP，OA=AP1，点P1的坐标：（4，0）；OA=BP2，点P2的坐标：（0，4）；OA=

2、BP3，点P3的坐标：（4，4）故填：（4，0），（4，4），（0，4）【例3】 如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求A1E2A2+A4E2C4+A4E5C4的度数解答：解：连接A3E2A3A2=A1A2，A2E2=A2E2，A3A2E2=A1A2E2=90，RtA3A2E2RtA1A2E2（SAS）A3E2A2=A1E2A2（3分）由勾股定理，得，A4C4=A3C3=2，A4C4E5A3C3E2（SSS）A3E2C3=A4E5C4（6分）A1E2A2+A4E2C4+A4E5C4=A3E2C4+A4E2C4+A3E2C3=A2E2C4由图可知E2C2C4为等腰直角三角形A2E2C

3、4=45度即A1E2A2+A4E2C4+A4E5C4=45（9分）【例4】 已知：如图，在ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，FDE=，则下列结论正确的是（）A2+A=180B+A=90C2+A=90D+A=180解答：解：AB=AC，B=C，BF=CD，BD=CE，BDFCED（SAS），BFD=EDC，+BDF+EDC=180，+BDF+BFD=180，B+BDF+BFD=180，B=，C=B=，A+B+C=180，2+A=180故选：A【例5】 如图，已知ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80，则BCA的度数为60解答：解

4、：ABC三个内角的平分线交于点O，ACO=BCO，在COD和COB中，CODCOB，D=CBO，BAC=80，BAD=100，BAO=40，DAO=140，AD=AO，D=20，CBO=20，ABC=40，BCA=60，故答案为：60板块二：全等三角形的性质和判定【例6】 下列命题正确的是（）A如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等B如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等C如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等D如果两个直角三角形有两锐角对应相等，那么这两个三角形全等解答：解：A、根据两个三角形有

5、两条边和其中一边上的中线对应相等，可证明这两个三角形全等故本选项正确；B、如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，即SSA不能判定这两个三角形全等故本选项错误；C、如果两个直角三角形有一直角条边和这条边所对的角对应相等，可以判定这两个直角三角形全等故本选项错误；D、因为判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以如果两个直角三角形有两锐角对应相等，不能判定这两个三角形全等故本选项错误；故选A【例7】 已知：如图，OA、OB为O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，若AD=3厘米，则BC=3厘米解答：解：OA、OB为O的半径OA=OBC、D分别为OA、OB的中点OD=OC，AOD公共角A

6、ODBOCBC=AD=3厘米【例8】 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE求证：B=C解答：证明：在ABE和ACD中，ABEACD（SAS）B=C【例9】 如图，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A4cmB6cmC8cmD9cm解答：解：F是高AD和BE的交点，ADC=ADB=AEF=90，CAD+AFE=90，DBF+BFD=90，AFE=BFD，CAD=FBD，ADB=90，ABC=45，BAD=45=ABD，AD=BD，在DBF和DAC中DBFDAC（ASA），BF=AC=8cm，故选C【例10】 如图，AEAB且AE=A

7、B，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A50B62C65D68解答：解：AEAB且AE=AB，EFFH，BGFHEAB=EFA=BGA=90，EAF+BAG=90，ABG+BAG=90EAF=ABG，AE=AB，EFA=AGB，EAF=ABGEFAABGAF=BG，AG=EF同理证得BGCDHC得GC=DH，CH=BG故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）163463=50故选A【例11】 如图所示，E=F=90，B=C，AE=AF，结论：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；ACNABM其中正确的有（）A1个B

8、2个C3个D4个解答：解：，AEBAFC；（AAS）FAM=EAN，EANMAN=FAMMAN，即EAM=FAN；（故正确）又E=F=90，AE=AF，EAMFAN；（ASA）EM=FN；（故正确）由AEBAFC知：B=C，AC=AB；又CAB=BAC，ACNABM；（故正确）由于条件不足，无法证得CD=DN；故正确的结论有：；故选C【例12】 如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，FBE=90，ABE+EBC=90，CBF+

9、EBC=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）解：BEBF，FBE=90，又BE=BF，BEF=EFB=45，四边形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=9055=35，EGC=EBG+BEF=45+35=80【例13】 如图，P是正ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与P之间的距离为PP=6，APB=150度解答：解：方法一：连接PP，由旋转可知：PABPAC，所以CAP=BAP，AP=AP=6，CP=BP=10又CAP+PAB=60，PAP=BAP+BAP=60，PAP

10、是等边三角形，AP=AP=PP=6APP=60，62+82=102，PP2+PB2=PB2，PPB是直角三角形，PPB=90APB=PPB+APP=150方法二：连接PP，PA=6，PB=8，PC=PB=10，PAP=60，PA=PP=PA=6，PB=PC=10，PPB=90，APB=90+60=150故答案为：6，150【例14】 如图，在RtABC中，ACB=90，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF（1）求证：BCDFCE；（2）若EFCD，求BDC的度数解答：（1）证明：将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，C

11、D=CE，DCE=90，ACB=90，BCD=90ACD=FCE，在BCD和FCE中，BCDFCE（SAS）（2）解：由（1）可知BCDFCE，BDC=E，BCD=FCE，DCE=DCA+FCE=DCA+BCD=ACB=90，EFCD，E=180DCE=90，BDC=90【例15】 如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）ABCD解答：解：如图，过点A作ADl1于D，过点B作BEl1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，CAD+ACD=90，BCE+ACD=90，CAD=BCE，在等腰直角ABC中，AC=BC，在

12、ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CD=BE=1，在RtACD中，AC=，在等腰直角ABC中，AB=AC=，sin=故选D【例16】 如图，在ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：ABECDF；AG=GH=HC；EG=BG；SABE=SAGE，其中正确的结论是（）A1个B2个C3个D4个解答：解：在ABCD中，AB=CD，BAE=DCF，BC=DA；E、F分别是边AD、BC的中点，AE=CF，ABECDF；BFDE，BF=ED四边形BFDE是平行四边形BEDF，又AE=EDAG=GH，同理CH=HG，即EG为AHD的中位线，AG=GH

13、=HC；根据三角形的中位线定理，EG=DH，容易证明ABGDCHBG=DH，EG=BG；由AEGE知SABESAGE，SABE=SAGE不正确故选C【例17】 如图，ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做CDFE，过点C作CGAB交EF于点G，连接BG，DE（1）ACB与GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：BCGDCE解答：（1）解：ACB=GCD理由如下：AB=AC，ABC=ACBCGAB，ABC=GCD，ACB=GCD（2）证明：四边形CDFE是平行四边形，EFCDACB=GEC，EGC=GCDACB=GCD，GEC=EGC，EC

14、=GC，GCD=ACB，GCB=ECD在BCG和DCE中BCGDCE【例18】 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O（1）当DEF旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是；（2）当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明解答：解：（1）AFD=DCA证明：AB=DE，BC=EF，ABC=DEF，ABCDEF，ACB=DFE，AFD

15、=DCA；（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDF，ABCFBC=DEFCBF，ABF=DEC，在ABF和DEC中，ABFDEC（SAS），BAF=EDC，BACBAF=EDFEDC，FAC=CDF，AOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA；方法二：连接AD，同方法一ABFDEC，AF=DC，ABCDEF，FD=CA，在AFD和DCA中，AFDDCA，AFD=DCA；（3）如图，BOAD方法一：由ABCDEF，点B与点E重合，得BAC=BDF，BA=BD，点B在AD的垂直平分线上，

16、且BAD=BDA，OAD=BADBAC，ODA=BDABDF，OAD=ODA，OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，直线BO是AD的垂直平分线，即BOAD；方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD，在ABO和DBO中，ABODBO，ABO=DBO，在ABG和DBG中，ABGDBG，AGB=DGB=90，BOAD板块三：特殊三角形的性质【例19】 ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A6B10C6或14D6或10解答：解：D在AB垂直平分线上，E在AC垂直平分线上，BD=AD，CE=AE，BC=10，

17、DE=4，BD+CE=104=6，AD+AE=6，故选A【例20】 如图，ABC中，ABC、EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：PC平分ACF；ABC+APC=180；若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；BAC=2BPC其中正确的是（）A只有 B只有 C只有 D只有解答：解：如图，过点P作PMAB，PNBC，PDAC，垂足分别为M、N、D，PB平分ABC，PA平分EAC，PM=PN，PM=PD，PM=PN=PD，点P在ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；PMAB，PNBC，ABC+90+MPN+90=360，ABC+M

18、PN=180，很明显MPNAPC，ABC+APC=180错误，故本小题错误；在RtAPM与RtAPD中，RtAPMRtAPD（HL），AD=AM，同理可得RtCPDRtCPN，CD=CN，AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；PB平分ABC，PC平分ACF，ACF=ABC+BAC，PCN=ACF=BPC+ABC，BAC=2BPC，故本小题正确综上所述，正确故选B【例21】 如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为108度解答：解：如图，连接OB、OC，BAC=54，AO为B

19、AC的平分线，BAO=BAC=54=27，又AB=AC，ABC=（180BAC）=（18054）=63，DO是AB的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=27，OBC=ABCABO=6327=36，AO为BAC的平分线，AB=AC，AOBAOC（SAS），OB=OC，点O在BC的垂直平分线上，又DO是AB的垂直平分线，点O是ABC的外心，OCB=OBC=36，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，OE=CE，COE=OCB=36，在OCE中，OEC=180COEOCB=1803636=108故答案为：108【例22】 如图，以ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分

20、别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么ABC的形状是直角三角形解答：解：S1+S2=S3且S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形【例23】 著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若AB=20cm，则画出的圆的半径为10cm解答：解：连接OP，AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，OP=AB，AB=20cm，OP=10cm，故答案为：10

21、【例24】 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么PQR的周长等于27+13解答：解：延长BA交QR于点M，连接AR，APAC=GC，BC=FC，ACB=GCF，ABCGFC，CGF=BAC=30，HGQ=60，HAC=BAD=90，BAC+DAH=180，又ADQR，RHA+DAH=180，RHA=BAC=30，QHG=60，Q=QH

22、G=QGH=60，QHG是等边三角形AC=ABcos30=4=2则QH=HA=HG=AC=2在直角HMA中，HM=AHsin60=2=3AM=HAcos60=在直角AMR中，MR=AD=AB=4QR=2+3+4=7+2QP=2QR=14+4PR=QR=7+6PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13故答案为：27+13【例25】 若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形以的长为边的三条线段能组成一个三角形以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形以的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论

23、的序号为解答：解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和第三边，故不能组成一个三角形，故错误；（2）直角三角形的三边有a+bc（a，b，c中c最大），而在三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即a+b+，（由a+bc），则不等式成立，从而满足两边之和第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch又2ab=2ch=4SABC（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理

24、即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形故正确；（4）若以的长为边的3条线段能组成直角三角形，假设a=3，b=4，c=5，（）2+（）2（）2，以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误故填【例26】 如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G下列结论：AE=CD；AFC=120；ADF是正三角形；其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）解答：解：在等边ABC中，AB=AC，BAC=B=60，在ABE和CAD中，ABECAD（SAS），AE=CD，故正确；ACD=BAE，CAF+ACD=CAF+BCE=BAC=60

25、，在ACF中，AFC=180（CAF+ACD）=18060=120，故正确；FADBAC，BAC=60，FAD60，ADF不是正三角形，故错误；AFG=180AFC=180120=60，AGCD，FAG=9060=30，FG=AF，=，故正确，综上所述，正确的有故答案为：【例27】 如图，ABC和FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE若AB=6，PB=1，则QE=2解答：解：连结FD，如，ABC为等边三角形，AC=AB=6，A=60，点D、E、F分别是等边ABC三边的中点，AB=6，PB=1，AD=BD=AF=3，DP=DBPB=31=2，EF

26、为ABC的中位线，EFAB，EF=AB=3，ADF为等边三角形，FDA=60，1+3=60，PQF为等边三角形，2+3=60，FP=FQ，1=2，在FDP和FEQ中，FDPFEQ（SAS），DP=QE，DP=2，QE=2故答案为：2【例28】 如图，在ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点（1）求证：EF=AB；（2）过点A作AGEF，交BE的延长线于点G，求证：ABEAGE解答：证明：（1）连接BE，（1分）DB=BC，点E是CD的中点，BECD（2分）点F是RtABE中斜边上的中点，EF=；（3分）（2）方法一在ABG中，AF=BF，AGEF，EF是ABG

27、的中位线，BE=EG（3分）在ABE和AGE中，AE=AE，AEB=AEG=90，ABEAGE；（3分）方法二由（1）得，EF=AF，AEF=FAE（1分）EFAG，AEF=EAG（1分）EAF=EAG（1分）AE=AE，AEB=AEG=90，ABEAGE（3分）【例29】 如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF解答：证明：（1）ABC是等边三角形，A=60，DGAC，AGD=90，ADG=30，AG=AD；（2）过点D作DHBC交AC于

28、点H，ADH=B，AHD=ACB，FDH=E，ABC是等边三角形，B=ACB=A=60，A=ADH=AHD=60，ADH是等边三角形，DH=AD，AD=CE，DH=CE，在DHF和ECF中，DHFECF（AAS），DF=EF；（3）ABC是等边三角形，DGAC，AG=GH，SADG=SHDG，DHFECF，SDHF=SECF，SDGF=SDGH+SDHF=SADG+SECF【例30】 如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形

29、；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个解答：解：连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形（故正确）；当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故错误）；如图2所示，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故错误）；DE

30、F是等腰直角三角形，DE=EF，当EFAB时，AE=CF，E，F分别是AC，BC的中点，故EF是ABC的中位线，EF取最小值=2 ，CE=CF=2，此时点C到线段EF的最大距离为EF=（故正确）；故正确的有2个，故选：B【例31】 如图，在直角三角形ABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC下列判断正确的有（）ABEDCE；BE=EC；BEEC；EC=DEA1个B2个C3个D4个解答：解：AC=2AB，点D是AC的中点，CD=AC=AB，ADE是等腰直角三角形，AE=DE，BAE=9

31、0+45=135，CDE=18045=135，BAE=CDE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS），故小题正确；BE=EC，AEB=DEC，故小题正确；AEB+BED=90，DEC+BED=90，BEEC，故小题正确；ADE是等腰直角三角形，AD=DE，AC=2AB，点D是AC的中点，AB=DE，AC=2DE，在RtABC中，BC2=AB2+AC2=（DE）2+（2DE）2=10DE2，BE=EC，BEEC，BC2=BE2+EC2=2EC2，2EC2=10DE2，解得EC=DE，故小题正确，综上所述，判断正确的有共4个故选D【例32】 如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC

32、于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长解答：（1）证明：ADBC，BAD=45，ABD是等腰直角三角形，AD=BD，BEAC，ADBCCAD+ACD=90，CBE+ACD=90，CAD=CBE，在ADC和BDF中，ADCBDF（ASA），BF=AC，AB=BC，BEAC，AC=2AE，BF=2AE；（2）解：ADCBDF，DF=CD=，在RtCDF中，CF=2，BEAC，AE=EC，AF=CF=2，AD=AF+DF=2+【例33】 如图，在RtABC中，C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P）

33、，当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E（1）求证：CBP=ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP=5时，求线段AB的长解答：（1）证明：AP是AP旋转得到，AP=AP，APP=APP，C=90，APAB，CBP+BPC=90，ABP+APP=90，又BPC=APP（对顶角相等），CBP=ABP；（2）证明：如图，过点P作PDAB于D，CBP=ABP，C=90，CP=DP，PEAC，EAP+APE=90，又PAD+EAP=90，PAD=APE，在APD和PAE中，APDPAE（AAS），AE=DP，AE=CP；（3）解：=，设CP=3k，PE=2k，

34、则AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k，在RtAEP中，PE=4k，C=90，PEAC，CBP+BPC=90，EPP+EPP=90，BPC=EPP（对顶角相等），CBP=EPP，又CBP=ABP，ABP=EPP，又BAP=PEP=90ABPEPP，=，即=，解得PA=AB，在RtABP中，AB2+PA2=BP2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10【例34】 如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA（1）求证：DE平分BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD解答：证明：（1）ABC是等腰直角三角形，BA

35、C=ABC=45，CAD=CBD=15，BAD=ABD=4515=30，ABD=ABC15=30，BD=AD，D在AB的垂直平分线上，AC=BC，C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，ACD=BCD=45，CDE=15+45=60，BDE=DBA+BAD=60；CDE=BDE，即DE平分BDC（2）如图，连接MCDC=DM，且MDC=60，MDC是等边三角形，即CM=CDDMC=MDC=60，ADC+MDC=180，DMC+EMC=180，EMC=ADC又CE=CA，DAC=CEM在ADC与EMC中，ADCEMC（AAS），ME=AD=BD【例35】 如图，等边ABC中，AO

36、是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长解答：（1）证明：ABC与DCE是等边三角形，AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，ACD+DCB=ECB+DCB=60，ACD=BCE，ACDBCE（SAS）；（2）解：过点C作CHBQ于H，ABC是等边三角形，AO是角平分线，DAC=30，ACDBCE，PBC=DAC=30，在RtBHC中，CH=BC=8=4，PC=CQ=5，CH=4，PH=QH=3，PQ=6【例36】 请阅读，完成证

37、明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且DON=度（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且EON=度（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现：解答：（1）证明

38、：ABC是正三角形，A=ABC=60，AB=BC，在ABN和BCM中，ABNBCM，（2分）ABN=BCM，又ABN+OBC=60，BCM+OBC=60，NOC=60；（2）解：四边形ABCD是正方形，DAM=ABN=90，AD=AB，又AM=BN，ABNDAM（SAS），AN=DM，ADM=BAN，又ADM+AMD=90，BAN+AMD=90AOM=90；即DON=90（3）解：五边形ABCDE是正五边形，A=B，AB=AE，又AM=BN，ABNEAM，AN=ME，AEM=BAN，NOE=NAE+AEM=NAE+BAN=BAE=108；（4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角（10分）注

39、：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分本题结论着重强调角和角的度数板块四：全等的综合【例37】 如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PEAP交BCD的外角平分线于E设BP=x，PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）Ay=2x+1By=x2x2Cy=2xx2Dy=2x解答：解：过E作EHBC于H，四边形ABCD是正方形，DCH=90，CE平分DCH，ECH=DCH=45，H=90，ECH=CEH=45，EH=CH，四边形ABCD是正方形，APEP，B=H=APE=90，BAP+APB=90，APB+EPH=90，BAP=EPH，

40、B=H=90，BAPHPE，=，=，EH=x，y=CPEH=（4x）x y=2xx2，故选C【例38】 如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若BAC=30，下列结论：DBFEFA；AD=AE；EFAC；AD=4AG；AOG与EOG的面积比为1：4其中正确结论的序号是（）ABCD解答：解：RtABC中，若BAC=30，设BC=2，则AC=2，AB=4；AF=2，AE=2，BAC+OAE=30+60=90，即EFA是直角三角形，tanAEF=，即AEF=30，EF平分AEC

41、，根据等边三角形三线合一的性质知：EFAC，且O是AC的中点；（故正确）F是AB的中点，AF=BF；根据等边三角形三线合一的性质知：DFAB，BAC=30，AFO=90BAC=60，即DBF=AFE=60；FAE=30+60=90=BFD，DBFEFA，故正确；在RtABC中，ABAC，AB=AD，AC=AE，ADAE，故错误；由的全等三角形知：DF=EA，又DFG=EAG=90，DGF=EGA，DFGEAG，即AG=GF，AD=2AF=4AG，故正确；由知：G是AF中点，由已知设AB=4，可以求出：EO=3，AO=，SEOG=OE（OA）=3=；又SAOG=AGAOsin30=1=，故AOG

42、与EOG的面积比为1：3，故错误；因此正确的结论是：，故选：D【例39】 如图，分别以RtABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边ABD和ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若BAC=30，下列结论：DBFEFA；AD=AE；EFAC；AD=4AG；AOG与EOG的面积比为1：4其中正确结论的个数是（）A2个B3个C4个D5个解答：解ACE是等边三角形EAC=60，AE=AC，BAC=30，FAE=ACB=90，AB=2BCF为AB的中点，AB=2AF，BC=AF，ABCEFA，AEF=BAC=30，AOE=1803060=90，正

43、确；AD=BD，BF=AF，DFB=90，BDF=30，FAE=BAC+CAE=90，DFB=EAF，EFAC，AEF=30，BDF=AEF，DBFEFA（AAS），正确；DBFEFA，AE=DF，在RtADF中，斜边AD直角边DF，即ADAE，错误；ADB是等边三角形，AD=DB，ADB=60，F为AB中点，ADF=30，AD=2AF，BDFFAE，AE=DF，EF=BD=AD，四边形DFEA是平行四边形，AF=2AG=2FG，AD=2AF=4AG，正确；设OF=a，EFAC，AOF=90，CAB=30，AF=2a，AFO=AFO，AOF=FAE=90，FAOFEA，=，=，EF=4a，EO

44、=4aa=3a，FGO的边FO上的高和EOG的边EO上的高相等，SEOG=3SFOG，AG=GF，AOG的边AG上的高和FOG的边FG上的高相等，SAOG=SFOG，即AOG与EOG的面积比为1：3，错误；故选B【例40】 四边形ABCD中，BAD=90，DCAC，AC交BD于点O，AO=AB，过B作BNCD交AC于E，交AD于N，下列结论：NBD=ADC；CD+BE=AD；若AO=2CO，则BE=CD；SABD=SADC，其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个解答：解CDAC，BNDC，BNAC，4=2+3，2=5，BAD=90，EAN=1，AB=AO，1+5=AOB，而AOB=3+O

45、AD，1+5=3+OAD，3=5，2+3=25，NBD=ADC，所以正确；过N点作NHDC，则四边形ENHC为矩形，CH=EN，HN=CE，3=5，ND=NB，在NDH和BNA中，NDHBNA（AAS），NH=AB，DH=AE，AD=DN+AN，AD=NB+DH=BE+NE+DH=BE+HC+DH=BE+DC，所以正确；由NH=AB，CE=NH得CE=AB，而AB=OA，CE=AO，当AO=2CO，则CE=OC+OE=2OC，OC=OE，在OCD和OEB中，OCDOEB（ASA），CD=BE，所以正确；BC与AD不平行，C点到AD的距离与AB不相等，SABDSADC，所以错误故选C【例41】 如图，在RtABC中，C=90，AC