人教高中数学必修五模块复习课件第一课解三角形模块复习课1

1、第一课 解三角形,【网络体系】,【核心速填】 1.正弦定理 (1)公式表达：_.,(2)公式变形： a=2RsinA，b=2RsinB，c =2RsinC； sinA= ，sinB= ，sinC= ； abc=sinAsinBsinC； ,2.余弦定理 (1)公式表达： a2=_，b2=_， c2=_. (2)推论：cosA=_，cosB=_， cosC=_.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.三角形中的常用结论 (1)a+bc，b+ca，c+ab. (2)a-bbABsinAsinB. (5)a=bA=B.,(6)A为锐角cosA0a2b

2、2+c2； A为直角cosA=0a2=b2+c2. (7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC. (8),4.三角形中的计算问题 在ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则 (1)ha=bsinC=_. (2)hb=csinA=_. (3)hc=asinB=_.,csinB,asinC,bsinA,(4) (5),【易错提醒】 解三角形中易忽视的三点 (1)解三角形时，不要忽视角的取值范围. (2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况. (3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情

3、况.,类型一 利用正、余弦定理解三角形 【典例1】(1)ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC= ，BC= ，则 等于(),(2)在ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos 2A= ，sinB= 求A+B的值； 若a-b= -1，求a，b，c的值.,【解析】(1)选C.因为AB=2， 所以BC2=AB2+AC2， 所以A= ，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点， 所以CO=BO=AO= BC= ，又AC= ， 设AOC=，由余弦定理得cos= 则,(2)因为A，B为锐角，sinB= 所以cosB= 又因为cos 2A=1-2sin2A= 所以sinA= ，

4、cosA= 所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,因为0A+B，所以A+B= 由知C= ，所以sinC= 由正弦定理 得 即a= b，c= b.因为a-b= -1，所以 b-b= -1，所以b=1，所以a= ，c= .,【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法,【变式训练】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2 ， =4，2sinBcosC =sinA，求A，B及b，c.,【解析】因为 =4， 所以 =4.所以 所以sinC= .又因为C(0，)，所以C= 或C=,由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，

5、即sin(B-C)=0. 所以B=C，所以B=C= ，A=-(B+C)= 由正弦定理 ，得,【补偿训练】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45，b= ，cosC= (1)求边长a. (2)设AB的中点为D，求中线CD的长.,【解析】(1)由cosC= 得sinC= sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 由正弦定理得,(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3 )2+( )2- 23 =4，所以c=2，在BCD中.由余弦 定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=12+(3 )2- 213 =13，所以CD=,类型二 判断三角形的

6、形状 【典例2】(1)在ABC中，已知3b=2 asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形,(2)已知在ABC中， =c2，且acosB=bcosA，试判断ABC的形状.,【解析】(1)选D.由3b=2 asinB，得 根据正弦定理，得 所以 ，即sinA= 又角A是锐角，所以A=60. 又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角， 所以B=C，故ABC为等边三角形.,(2)由 =c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3， 所以a2+b2-ab=c2，所以cosC= ，所以C=60. 由aco

7、sB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0， 所以A=B=C=60，所以ABC为等边三角形.,【方法技巧】判定三角形形状的两种途径 (1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinBA=B，sin(A-B)=0A=B，sin2A=sin2BA=B或A+B= 等.,(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA= cosA= 等，通过代数恒等变换，求出三

8、条边之间的关系进行判断.,【变式训练】在ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断ABC的形状. 【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC， 因为B=60，所以A+C=120，A=120-C， 将其代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC， 展开整理，得 sinC+ cosC=1， 所以sin(C+30)=1，所以C+30=90. 所以C=60，故A=60，所以ABC是等边三角形.,方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB， 因为B=60，b= ，所以( )2=a2+c2-2accos60. 所以(a-c)2=0，所以a=c， 所以a=b=c，

9、所以ABC为等边三角形.,【补偿训练】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 =k(kR). (1)判断ABC的形状. (2)若c= ，求k的值.,【解析】(1)因为 =cbcosA， =cacosB， 又因为 ，所以bccosA=accosB， 所以bcosA=acosB.,方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB， 即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0. 因为-A-B，所以A=B. 所以ABC为等腰三角形.,方法二：因为bcosA=acosB，所以 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=

10、b. 故此三角形是等腰三角形. (2)由(1)知a=b，所以 =bccosA=bc = =k.因为c= ，所以k=1.,类型三 正、余弦定理的实际应用 【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75，航行20 海里后，见此岛在北偏东30，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？,【解析】如图所示，在ABC中， 依题意得BC=20 海里， ABC=90-75=15， BAC=60-ABC=45. 由正弦定理，得 所以AC= =10( )(海里).,过点A作ADBC. 故A到航线的距离为AD=ACsin60=10( ) =( )(海里). 因为 8，所以货轮无触

11、礁危险.,【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.,(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.,(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.,【变式训练】如图，为了解某海域海底 构造，在海平面内一条直线上的A，B， C三点进行测量，已知AB

12、=50m，BC=120m， 于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求DEF的余弦值.,【解析】如图，作DMAC交BE于点N，交CF于点M， DF= DE= EF= 在DEF中，由余弦定理得： cosDEF=,【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_km.,【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以B+D=，由余弦定理得AC2=52+32-253cosD=34-30cosD， AC2=

13、52+82-258cosB=89-80cosB， 由cosB=-cosD，得 ，解得AC=7. 答案：7,类型四 正、余弦定理与三角函数的综合 【典例4】(2015陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a， b)与n=(cosA，sinB)平行. (1)求A. (2)若a= ，b=2，求ABC的面积.,【解析】(1)因为mn，所以asinB- bcosA=0， 由正弦定理得sinAsinB- sinBcosA=0， 又sinB0，从而tanA= ，由于0A，所以A= .,(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA， 而a= ，b=2，A= ，得7=

14、4+c2-2c，即c2-2c-3=0， 因为c0，所以c=3.故ABC的面积为 bcsinA=,方法二：由正弦定理得 ，从而sinB= 又因为ab，所以AB，所以cosB= 所以sinC=sin(A+B)= 所以ABC的面积为,【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略 (1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的. (2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.,【变式训练】(2015武汉高一检测)如 图，经过村庄A有两条夹角为60的公 路AB，AC

15、，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).,【解析】设AMN=，0120，在AMN中， 因为MN=2，所以AM= sin(120-)， 在APM中，cosAMP=cos(60+)， AP2=AM2+MP2-2MPAMcosAMP = sin2(120-)+4-22 sin(120-) cos(60+),= sin2(60+)- sin(60+)cos(60+)+4 = 1-cos(2+120)- sin(2+120)+4 =- sin(2+120)+cos(2+120)+ = - sin(2+150)，0120， 当且仅当2+150=270，即=60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 ，,答：当AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.,【补偿训练】如图，