高考总动员高考数学大一轮复习 第4章 平面向量学案 文(新人教版)

1、第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算基础知识深耕一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2几种特殊的向量特殊向量定义备注零向量长度为零的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量单位向量记作a0，与a同方向的单位向量a0平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则ab二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abb

2、a.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab【方法技巧】向量加减法运算的关键点：向量加法的三角形法则关键是“首尾连，指向终点”，可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则的关键是“共起点，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.【拓展延伸】巧用系数判共线(，R)，若A、B、C三点共线，则1；反之也成立基

3、础能力提升1下列说法正确的是()A零向量是没有方向的向量B单位向量都相等C向量的模一定是正数D相反向量是平行向量【解析】零向量的方向是任意的，不是没有方向，A错；单位向量模相等，方向不一定相同，B错；零向量的模为0，C错；D正确【答案】D2在平行四边形ABCD中，设a，b，c，d，则下列等式中不正确的是()AabcBabdCbadDcab【解析】如图所示，结合向量加法与减法的三角形法则知，B错误【答案】B3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD是()A长方形B平行四边形C菱形D梯形【解析】8a2b2(4ab)2，四边形ABCD是梯形【答案】D4已知向量a、b不共线，且k

4、ab与akb共线，则实数k_.【解析】由题意知kab(akb)，kabakb，k1【答案】11两个结论(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，()G是ABC的重心特别地，0P为ABC的重心2三个注意点(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；第二节平面向量基本定理及坐标表示 基础知识深耕一、平面向量基

5、本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底【方法技巧】选择基底的规则：(1)零向量不能作为基底向量；(2)基底的选择不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底二、平面向量的坐标表示1平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.这样，a可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向

6、量a的坐标，记作a(x，y)显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)三、平面向量的坐标运算1平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和(差)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘已知a(x1，y1)，则a(x1，y1)，其中是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1).2.平面向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.【拓展延伸】三点共线与定比分点1若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y

7、2y1)，或(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)，或(x3x1)(y3y2)(x3x2)(y3y1)同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线2若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当时，点P的坐标是.基础能力提升1如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A若实数1，2使1e11e20，则120B对空间任意向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e不一定在平面内，1，2RD对于平面内任意向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对【解析】由平面向量基本定理知，只有A选项正确【答案】A2给出下列几种说法：相等向量的坐标相同平面上

8、一个向量对应于平面上唯一的坐标一个坐标对应唯一的向量其中正确的说法的个数是()A0B1C2D3【解析】根据平面向量的坐标表示知，正确，但由于所用基底不同，同一向量坐标不同，故错误【答案】C3若(2,4)，(1,3)，则()A(1,1)B(1，1)C(3,7)D(3，7)【解析】(1,3)(2,4)(1，1)【答案】B4已知a(4,2)，b(x,3)，且ab，则x()A9B6 C5D3【解析】ab，432x0，x6.【答案】B1.两种形式向量共线的充要条件的两种形式：(1)abba(a0，R)(2)abx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)2三个易错点(1)若a、b为非零向量

9、，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 基础知识深耕一、向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)图示：(3)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(4)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直二

10、、平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积【拓展延伸】几种特殊情况下的数量积：设两个非零向量a与b的夹角为，则当0时，cos 1，ab|a|b|；当为锐角时，cos 0，ab0；当为直角时，cos 0，ab0；当为钝角时，cos 0，ab0；当180时，cos 1，ab|a|b|.三、平面向量数量积的运算律1交换律：abba；2数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律

11、：a(bc)abac.四、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a、b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|基础能力提升1下列说法正确的是()A若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20B若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角C若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量a，b的夹角满足cos D若A(1,0)，B(0

12、，1)，则|【解析】A、C中a、b必须为非零向量，B中还有可能是平角，D正确【答案】D2若a与b的夹角为120，且|a|b|4，则ab()A8B8C4D4【解析】ab|a|b|cosa，b44cos 1208【答案】B3已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B C. D.【解析】设a、b夹角为，则cos .【答案】C4已知向量a，b夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A.B2 C4D12【解析】|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos 6012，|a2b|2.【答案】B1一个条件两个非零向量垂直的充要条件：abab02两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成