高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式(第2课时)课堂探究学案 新人教A版选修

1、1.2 绝对值不等式 2课堂探究几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)|x4|x3|a有解，则a的取值范围是_；(2)|x4|x3|a的解集为R，则a的取值范围是_；(3)|x4|x3|a的解集为，则a的取值范围是_；(4)|x4|x3|a的解集为R，则a的取值范围是_处理以上问题，我们可以与函数y|x4|x3|，y|x4|x3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为1,1，而第二个函数的最小值为1，即|x4|x3|1，所以(1)|x4|x3|a有解，只需a1；|x4|x3|a的解集是R，则说明是恒成立问题，所以a|x4|x3|min1，即a1；|x4|x3|a的解集为，说明a|x

2、4|x3|min1，所以a1；|x4|x3|a的解集为R，说明a|x4|x3|min1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a的范围而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助 题型一 解|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型的不等式【例1】不等式|3x2|4的解集是()Ax|x2 Bx|xCx|x或x2 Dx|x2解析：可以利用|axb|c(c0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法方法一：由|3x2|4，得3x24或3x24.即x或x2.所以原不等式的解集为.方法二：(数形结合法)画出函数y|3x2|的

3、图象，如下图所示：由|3x2|4，解得x2或x.在同一坐标系中画出直线y4，所以交点坐标为(2,4)与.所以|3x2|4时，x或x2.所以原不等式的解集为.答案：C【例2】不等式|5xx2|6的解集为()Ax|x2或x3Bx|1x2或3x6Cx|1x6Dx|2x3解析：可以利用|x|a(a0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果方法一：由|5xx2|6，得|x25x|6.6x25x6.1x2或3x6.原不等式的解集为x|1x2或3x6方法二：作函数y=x25x的图象，如下图所示|x25x|6表示函数图象中直线y=6和直线y=6之间相应部分的自变量的

4、集合解方程x25x=6，得x1=1，x2=6.解方程x25x=6，得x1=2，x2=3.即得到不等式的解集是x|1x2或3x6答案：B反思 形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式的简单解法：当a0时，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|a|f(x)|0.当a0时，|f(x)|a无解|f(x)|af(x)有意义.题型二 解|f(x)|g(x)型的不等式【例3】解不等式|xx22|x23x4.解：|xx22|x2x2|，而x2x220，|xx22|x2x2|x2x2，故原不等式等价于x2x2x23x4.x3.原不等式

5、的解集为x|x3反思 本题形如|f(x)|g(x)，我们可以借助形如|axb|c的解法转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，当然|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)而如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式.题型三 解|xa|xb|c(c0)型的不等式【例4】解不等式|x1|x1|3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|xa|xb|的代数式，可以认为是分段函数解法一：如下图，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，则A，B两点间的距离为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以

6、1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x1x(1)3.所以x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左侧或点B1的右侧的任意点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是.解法二：当x1时，原不等式可以化为(x1)(x1)3，解得x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13，解得x.综上，可知原不等式的解集为.解法三：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象(如图)函数的零点是.从图象可知，当x或x时，

7、y0，即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.反思 |xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况(1)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x|，也即x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为x，即x的相反数(2)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)|xa|xb|c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式不妨设ab，于是f(x).这种图象法的关键是合理构造函

8、数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想(3)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.题型四 含有参数的绝对值不等式的解法【例5】已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.所以实数a的值为2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x3时，g(x)5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x