高中数学 第一章 导数及其应用测评A 新人教A版选修

1、【优化设计】2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用测评A 新人教A版选修2-2 (基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知f(x)=,则f(e)=()A.B.C.-D.-解析:f(x)=,f(e)=-.答案:D2.若函数f(x)=x3-f(1)x2-x,则f(1)的值为()A.0B.2C.1D.-1解析:f(x)=x3-f(1)x2-x,f(x)=x2-2f(1)x-1,f(1)=1-2f(1)-1,f(1)=0.答案:A3.函数f(x)=()

2、A.在(0,2)上单调递减B.在(-,0)和(2,+)上单调递增C.在(0,2)上单调递增D.在(-,0)和(2,+)上单调递减解析:f(x)=.令f(x)=0,得x1=0,x2=2.x(-,0)和x(2,+)时,f(x)0,x(0,1)和x(1,2)时,f(x)0,故选B.答案:B4.cos 2xdx=()A.B.C.D.-解析:cos 2xdx=sin 2x.答案:A5.方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:设f(x)=2x3-6x2+7,则f(x)=6x2-12x=6x(x-2).x(0,2),f(x)0.f(x)在(0,2)上递减,又f(0

3、)=7,f(2)=-1,f(x)在(0,2)上有且只有一个零点,即方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内只有一个根.答案:B6.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-)B.-C.(,+)D.(-)解析:f(x)=-3x2+2ax-10在(-,+)恒成立,=4a2-120-a.答案:B7.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减函数,则实数b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1D.(-,-1)解析:f(x)=-x+.f(x)在(-1,+)上是减函数,f(x)=-x+0在(-1,+)上恒成立,

4、bx(x+2)在(-1,+)上恒成立.又x(x+2)=(x+1)2-10),令y=0.18kx-3kx2=0,得x=0.06或x=0(舍去).当0x0;当x0.06时,y-1B.-1a0C.0a1解析:f(x)在x=a处取得极大值,f(x)在x=a附近左增右减,分a0,a=0,a0讨论易知-1af(x),则当ab时,下列不等式成立的是()A.eaf(a)ebf(b)B.ebf(a)eaf(b)C.ebf(b)eaf(a)D.eaf(b)ebf(a)解析:=b,eaf(b)ebf(a).答案:D第卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11

5、.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y=2ax-及导数的几何意义得y|x=1=2a-1=0,解得a=.答案:12.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为.解析:S矩形=26=12,S阴影=2x3dx=,P=.答案:13.已知a0,函数f(x)=ax3+ln x,且f(1)的最小值是-12,则实数a的值为.解析:f(x)=3ax2+,则f(1)=3a+.a0得x=1.所以,以(1,1)为切点的曲线的切线与直线y=x+2平行,所求最小距离为.答案:15.函数f(x)

6、=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是.解析:f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,得x=.f(x)在(-,-),(,+)上单调递增,在(-)上单调递减.f(-)=6,f()=2.解得a=1,b=4.f(x)=3x2-3.令f(x)0,得-1x1.答案:(-1,1)三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-与x=1处都取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-2,2的最大值与最小值.解:(1)f(x)=3x2+2ax+b,由题意解得

7、经检验符合题意,f(x)=x3-x2-2x.(2)由(1)知f(x)=3(x-1),令f(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2-1(1,2)2f(x)+0-0+f(x)-6极大值极小值-2由上表知fmax(x)=f(2)=2,fmin(x)=f(-2)=-6.17.(本小题6分)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.解:(1)f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),a+b=4.f(x)

8、=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由已知得f(1)=-1,即3a+2b=9.由,得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x,令f(x)=3x2+6x0,得x0或x-2,故由f(x)在m,m+1上单调递增,得m,m+10,+)或m,m+1(-,-2,m0或m+1-2,即m0或m-3.m的取值范围为(-,-30,+).18.(本小题8分)已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若y=xf(x)+的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=.当0x0,f(x)为增函数;当xe时,f(x)0,f(x)为减函数.(2)依题意

9、得,不等式a0恒成立.令g(x)=ln x+,则g(x)=.当x(1,+)时,g(x)=0,则g(x)是(1,+)上的增函数;当x(0,1)时,g(x)0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值.解:(1)由题意f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=,a0,f(x)0,故f(x)在(0,+)上是单调递增函数.(2)由(1)可知,f(x)=.若a-1,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为增函数,f(x)min=f(1)=-a=,a=-(舍去).若a-e,则x+a0,即f(x)0在1,e上恒成立,此时f(x)在1,e上为减

10、函数,f(x)min=f(e)=1-a=-(舍去).若-ea-1,令f(x)=0得x=-a,当1x-a时,f(x)0,f(x)在(1,-a)上为减函数;当-ax0,f(x)在(-a,e)上为增函数,f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=a=-.综上所述,a=-.20.(本小题10分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2a5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于

11、35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解:(1)由题意,该产品一年的销售量y=,将x=40,y=500代入,得k=500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=500e40-x.L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35x41).(2)由(1)得,L(x)=500e40-x-(x-30-a)e40-x=500e40-x(31+a-x),(35x41)当2a4时,L(x)500e40-x(31+4-35)=0,当且仅当a=4,x=35时取等号.所以L(x)在35,41上单调递减.因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5.当4035x31+a;L(