2015年高考数学解析几何资料

1、2015年高考数学解析几何一解答题（共25小题）1（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e2（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围3（2015安徽）设椭圆E的方程为=1（ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，

2、b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，证明：MNAB4（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向（）求C2的方程；（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率5（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与C2的公共弦长为2（）求C2的方程；（）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两

3、点，且与同向（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形6（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）7（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程8（2015陕西）如图，椭圆E：+=1（ab0）经过点A（0，

4、1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为29（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值10（2015四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、

5、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由11（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为（）求直线BF的斜率（）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=|MQ|（i）求的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程12（2015陕西）已知椭圆E：+=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距

6、离为c（）求椭圆E的离心率；（）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程13（2015北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由14（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P

7、在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围15（2015黑龙江）椭圆C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值16（2015河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）17（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，且点（，）在椭

8、圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q （）求的值； （）求ABQ面积的最大值18（2015四川）如图，椭圆E：=1（ab0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且=1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19（2015福建）已知点F为抛物线E：y2=2px（p0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（）求抛物线E的方程；（）已知点G（1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以

9、点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切20（2015安徽）设椭圆E的方程为+=1（ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（）求E的离心率e；（）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程21（2015黑龙江）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为

10、平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由22（2015北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由23（2015浙江）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y1）2=1，过点P（t，0）（t0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点（）求点A，B的坐标；（）求PAB的面积注：

11、直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点24（2015上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值25（2015上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记AOC的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距

12、离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变2015年高考数学解析几何参考答案与试题解析一解答题（共25小题）1（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|=2，求出c

13、，进而求出椭圆的标准方程；（）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a|PF1|，解得|PF1|=2（2）a，从而|PF2|=2a|PF1|=2（1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率【解答】解：（）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2+2=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2PF1，因此2c=|F1F2|=2，即c=，从而b=1，故所求椭圆的标准方程为（）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a2|PF1|，又由PQPF1，|PF1|=|PQ|

14、，知|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|，解得|PF1|=2（2）a，从而|PF2|=2a|PF1|=2（1）a，由PF2PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=【点评】本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题2（2015重庆）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（I）由

15、椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a设椭圆的半焦距为c，由于PQPF1，利用勾股定理可得2c=|F1F2|=，解得c利用b2=a2c2即可得出椭圆的标准方程（II）如图所示，由PQPF1，|PQ|=|PF1|，可得|QF1|=，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简令t=1+，则上式化为e2=，解出即可【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2）=4，解得a=2设椭圆的半焦距为c，PQPF1，2c=|F1F2|=2，c=b2=a2c

16、2=1椭圆的标准方程为（II）如图所示，由PQPF1，|PQ|=|PF1|，|QF1|=，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，|PF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，+=4c2，+=e2令t=1+，则上式化为=，t=1+，且，t关于单调递增，3t4，解得椭圆离心率的取值范围是【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（2015安徽）设椭圆E的方程为=1（ab0），点O为坐标原点，点

17、A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，证明：MNAB【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用=0即得结论【解答】（1）解：设M（x，y），A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，=2，即（x0，yb）=2（ax，0y），解得x=a

18、，y=b，即M（a，b），又直线OM的斜率为，=，a=b，c=2b，椭圆E的离心率e=；（2）证明：点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，N（，），=（，），又=（a，b），=（a，b）（，）=a2+=（5b2a2），由（1）可知a2=5b2，故=0，即MNAB【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题4（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向（）求C2的方程；（）若|AC|=|BD|，

19、求直线l的斜率【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过C1方程可知a2b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：（）由C1方程可知F（0，1），F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都

20、关于y轴对称，易得C1与C2的公共点的坐标为（，），又a2b2=1，a2=9，b2=8，C2的方程为+=1；（）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x24kx4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，由韦达定理可得x3+x4=，x3x4=，又（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，16（k2+1）=+，化简得16（k2+

21、1）=，（9+8k2）2=169，解得k=，即直线l的斜率为【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题5（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与C2的公共弦长为2（）求C2的方程；（）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题

22、】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）根据两个曲线的焦点相同，得到a2b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（）设出点的坐标，（）根据向量的关系，得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积AFM是锐角，问题得以证明【解答】解：（）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关

23、于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（，），所以=1，联立得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），A（x4，y4），（）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3x1=x4x2，即x1x2=x3x4，于是（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x24kx4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4

24、=，将代入，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=169，解得k=（）由x2=4y得y=x，所以C1在点A处的切线方程为yy1=x1（xx1），即y=x1xx12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，1），而=（x1，y11），于是=x12y1+1=x12+10，因此AFM是锐角，从而MFD=180AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题6（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=

25、mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）可得0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入0，即可解出（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得SOAB=，再利用均值不等式即可得出【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y

26、22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意，=4m2n24（m2+2）（n22）=8（m2n2+2）0，设线段AB的中点P（x0，y0），则x0=m+n=，由于点P在直线y=mx+上，=+，代入0，可得3m4+4m240，解得m2，或m（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，SOAB=|n|=，由均值不等式可得：n2（m2n2+2）=，SAOB=，当且仅当n2=m2n2+2，即2n2=m2+2，又，解得m=，当且仅当m=时，SAOB取得最大值为【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质

27、、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题7（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和

28、存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程【解答】解：（1）由题意可得，e=，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当ABx轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x24k2x+2（k21）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k0，故PC：y+=（x），P（2，），从而|PC|=，由|PC

29、|=2|AB|，可得=，解得k=1，此时AB的方程为y=x1或y=x+1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题8（2015陕西）如图，椭圆E：+=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进

30、而得到椭圆方程；（）由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=

31、2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线AP与AQ斜率之和为2【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题9（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值【考点】直

32、线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程菁优网版权所有【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），|=，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值【解答】解：（）由题意可知，P

33、F1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（）由（）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），|=，由题意可知，Q（x0，y0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以=2，即|=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得m24+16k2，则有x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则AOB的面积为S=|m|x1x2|=|m|=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m

34、代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0可得m21+4k2，由可得0t1，则S=2在（0，1递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，ABQ的面积为3S，即ABQ面积的最大值为6【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题10（2015四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定

35、点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；（）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可【解答】解：（）直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，点（，1）在椭圆E上，又离心率是，解得a=2，b=，椭圆E的方程为：+=1；（）结论

36、：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有=1，即|QC|=|QD|Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，），又=，=，解得y0=1或y0=2若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）下面证明：对任意直线l，均有当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）

37、x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，+=2k，已知点B关于y轴对称的点B的坐标为（x2，y2），又kAQ=k，kQB=k+=k，kAQ=kQB，即Q、A、B三点共线，=故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题11（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为（）求直线BF的斜率（）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B

38、），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=|MQ|（i）求的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=，利用BQBP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sinBQP=，可得|BP|=，通过

39、yP=2xP+2c=c计算可得c=1，进而可得结论【解答】解：（）设左焦点F（c，0），离心率e=，a2=b2+c2，a=c，b=2c，又B（0，b），直线BF的斜率k=2；（）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=，BQBP，直线BQ的方程为：y=x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x240cx=0，解得xQ=，又=，及xM=0，=；（ii）=，=，即|PQ|=|PM|，又|PM|sinBQP=

40、，|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=，又yP=2xP+2c=c，|BP|=c，因此c=c，即c=1，椭圆的方程为：+=1【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题12（2015陕西）已知椭圆E：+=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c（）求椭圆E的离心率；（）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程菁

41、优网版权所有【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（）由（）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程【解答】解：（）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cybc=0，则原点到直线的距离为d=c，即为a=2b，e=；（）由（）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，由题意可得圆心M（2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不

42、垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）24b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=x1x2=，由x1+x2=4，得=4，解得k=，从而x1x2=82b2，于是|AB|=|x1x2|=，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题13（2015北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）

43、的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆C：x2+3y2=3，椭圆C的标准方程为：+y2=1，a=，b=1，c=，椭圆C的离心

44、率e=；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），E（2，1），直线AE的方程为：y1=（1y1）（x2），令x=3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM=1；（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又直线DE的斜率kDE=1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x1）（k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1=（x2），令x=3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，k

45、BM1=0，kBM=1=kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题14（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率

46、为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x（，1）与x（1，0）两种情况讨论即可结论【解答】解：（）离心率为，=，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k0），则直线FM的方程为y=k（x+c），直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，圆心（0，0）到直线FM的距离d=，d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（）由（I）得椭圆

47、方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx5c2=0，解得x=c，或x=c，点M在第一象限，M（c，c），|FM|=，=，解得c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，F（1，0），t=，即y=t（x+1）（x1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又直线FP的斜率大于，解得x1，或1x0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x0），联立方程组，消去y并整理，得m2=当x（，1）时，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；当x（1，

48、0）时，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（，）（，）【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题15（2015黑龙江）椭圆C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】

49、圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【解答】解：（1）椭圆C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上，可得，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b28=0，故xM=

50、，yM=kxM+b=，于是在OM的斜率为：KOM=，即KOMk=直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力16（2015河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程（II）存在符合条件的点（0

51、，a），设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=k1+k2=0直线PM，PN的倾斜角互补OPM=OPN即可证明【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y=，曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：ya=，化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为：（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2联立，化为x24

52、kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4ak1+k2=+=当b=a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，OPM=OPN点P（0，a）符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题17（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q （）求的值； （）求ABQ面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆