高中数学 第2章 圆锥曲线 2.4 平摆线和渐开线学案 北师大版选修

1、4平摆线和渐开线4.1平摆线 4.2渐开线1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点)基础初探教材整理1平摆线及其参数方程1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线.2.设圆的半径为r，圆滚动的角为，那么摆线的参数方程是().判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.()(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.()【答案】(1)(2)教材整理2渐开线的参数方程

2、1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.2.设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是(是参数).关于渐开线和摆线的叙述正确的是_(填序号).只有圆才有渐开线；平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形；正方形也可以有渐开线；对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同.【解析】对于，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故不正确；对于，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此不正确；对于，正确；对于，同一个圆不论在什么

3、地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 圆的平摆线参数方程及其应用已知一个圆的平摆线过一定点(1,0)，请写出该平摆线的参数方程.【精彩点拨】【自主解答】令r(1cos )0，可得cos 1.2k(kZ)，xr(2ksin 2k)1，r.又由题意可知，r是圆的半径，故r0.应有k0且kZ，即kN.所求平摆线的参数方程是(为参数，kN).根据圆的摆线的参数方程(为参数)，可知只需求出其中的半径r.圆摆线的参数方

4、程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.再练一题1.平摆线(02)与直线y2的交点的直角坐标是()A.(2,2)，(32,2)B.(3,2)，(33,2)C.(，2)，(，2)D.(22,2)，(22,2)【解析】y2时，22(1cos )，cos 0.02，或，x122，x2232.交点坐标为(2,2)，(32,2).故选A.【答案】A圆的渐开线参数方程及其应用已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点间的距离.【精彩点拨】根据渐开线的参数方程，分别求出A，B两点的坐标，再由A，B两点间的距离公式求出.【自主解答】由题

5、意，知r1，则圆的渐开线参数方程为(为参数).当时，所以A.当时，所以B点坐标为.所以|AB|2.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.再练一题2.给出圆的渐开线的参数方程(为参数).根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，当参数取时对应的曲线上的点的坐标是_. 【导学号：】【解析】所给的圆的渐开线的参数方程可化为所以基圆半径r4.然后把代入方程，可得即所以当参数取时对应的曲线上的点的坐标是(2，4).【答案】4(2，4)构建体系1.给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线的参数方程可以转化为普通

6、方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.B.C.D.【解析】结合圆的渐开线的知识可知正确.【答案】C2.当2时，圆的渐开线上的点是()A.(6,0)B.(6,6)C.(6，12)D.(，12)【解析】当2时，代入圆的渐开线方程.x6(cos 22sin 2)6，y6(sin 22cos 2)12.【答案】C3.半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A.B.2C.12D.14【解析】根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(为参数).把y0代入可得cos 1，所以2k(kZ).而x33sin 6k(kZ).故应选C.【答案】C4.已知圆的渐开线的参数方程(为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是_.【解析】圆的渐开线的参数方程可化为(为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r3.【答案】35.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程. 【导学号：】【解】令y0，可得r(1cos )0.r0，cos 1，2k(kZ).代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)