高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2课件新人教A版选修2_3.ppt

1、第2课时 组合的综合应用,类型一“含”与“不含”的组合问题 【典例1】(1)(2017济宁高二检测)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有() A.70种B.80种C.100种D.140种,(2)在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? 任意选5人; 甲、乙、丙三人必须参加; 甲、乙、丙三人不能参加; 甲、乙、丙三人只能有1人参加.,【解题指南】(1)方法一:采用直接法,以男生为标准分类. 方法二:间接法:先不考虑限制条件,再减去不符合题意的. (2)本题是组合

2、应用题中典型的选代表问题,通过一些明确的条件对结果进行限制.解题时注意限制条件.,【解析】(1)选A.方法一:一男两女,有 =30种, 两男一女,有 =40种,共计70种. 方法二:任意选取3人,共 =84种,其中都是男医生共 有 =10种,都是女医生共有 =4种,所以符合条件 的有84-10-4=70种.,(2) =792种不同的选法; 甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人, 共有 =36种不同的选法; 甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人, 共有 =126种不同的选法;,甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、 乙、丙中选1人,有 种选法,再从另外的9人中选4

3、人 有 种选法.共有 =378种不同的选法.,【延伸探究】 1.若本例(2)条件不变,那么“甲、乙、丙三人至少1 人参加”有多少种? 【解析】(直接法)可分为三类: 第一类:甲、乙、丙中有1人参加,共有 =378种; 第二类:甲、乙、丙中有2人参加,共有 =252种;,第三类:甲、乙、丙中有3人参加,共有 =36种; 共有 =666种不同的选法. (间接法)12人中任意选5人共有 种,甲、乙、丙三 人不能参加的有 种, 所以,共有 =666种不同的选法.,2.若本例(2)条件不变,那么“甲、乙、丙三人至多2 人参加”有多少种? 【解析】(直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分 为三类: 第一

4、类:甲、乙、丙都不参加,共有 种; 第二类:甲、乙、丙中有1人参加,共有 种;,第三类:甲、乙、丙中有2人参加,共有 种; 共有 =756种不同的选法. (间接法)12人中任意选5人共有 种,甲、乙、丙 三人全参加的有 种, 所以,共有 =756种不同的选法.,【方法总结】组合应用题的求解策略 (1)“含”或“不含”某些元素的组合问题: “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩余元素中去取.,(2)“至少”或“至多”含有几个元素的问题: 首先要理解“至少”与“至多”的含义,防止重复与漏解,其次选取某条件为主线进行分类求解,当用直接法分类较多时,可用间

5、接法处理.,【补偿训练】100件产品中有3件次品,任意抽取5件进行产品检验. (1)抽出的5件都是正品的抽法有多少种? (2)抽出的5件恰有2件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的5件最多有2件是次品的抽法有多少种?,【解析】(1)正品数量为100-3=97件,故共有 种抽 法. (2)“恰有”即是“有且只有”的意思,结合分步乘法 计数原理.分两步完成:第一步,从3件次品中抽2件有 种抽法;第二步,从97件正品中抽3件有 种 抽法,由分步乘法计数原理知共有 种抽法.,(3)“最多有2件”包括三类情况: 第一类,恰有2件次品有 种抽法; 第二类,恰有1件次品有 种抽法; 第三类,没有次品有 种抽

6、法. 由分类加法计数原理,共有 种抽法.,类型二几何中的组合问题 【典例2】如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,C3,C4,C5,C6,AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.,问:(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个?其中含C1点的有多少个? (2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个为顶点,可作出多少个四边形?,【解题指南】(1)分三类,一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中取三个点; 另一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中取一个点,从D1,D2,D3, D4中取两个点; 再一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中取

7、两个点,从D1,D2,D3, D4中取一个点.,(2)构成一个四边形,需要四个点,且任意三点不共线.,【解析】(1)可分三种情况处理: 从C1,C2,C6,这六个点中任取三个可构成一个三角形. 从C1,C2,C6中任取一个点,D1,D2,D3,D4中任取两点可构成一个三角形.,从C1,C2,C6中任取两个点,D1,D2,D3,D4中任取一 个点可构成一个三角形. 故可作 =116个三角形. 其中以C1为顶点的三角形有 =36(个).,(2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线.,【方法总结】几何图形中组合问题的求解方法 (1)解决几何图形中的组合问题:首先应运用处理组合问题的常规方法分析解

8、决问题,其次要从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理.,(2)图形多少的问题:要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用排除法.,【巩固训练】(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们与点A在同一平面上,有多少种不同的取法? (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?,【解题指南】(1)分两类,一类与点A在同一面上,另一类与A在同一棱上. (2)采用间接法,从所有取法中减去共面的个数.,【解析】(1)如图所示,含顶点A的四 面体的3个面上,除点A外每个面都有 5个点,从中取出3点

9、必与点A共面,共 有 种取法,含顶点A的三条棱上各有三个点,它们与 所对的棱的中点共面.共有3种取法.根据分类加法计数 原理,与顶点A共面三点的取法有 +3=33(种).,(2)如图所示,从10个顶点中取4个点 的取法有 种,除去4点共面的取法 种数可以得到结果.从四面体同一个 面上的6个点中取出4点必定共面,有 =60(种),四面体的每一条棱上3点与相对棱中点 共面,共有6种共面情况,从6条棱的中点中取4个点时,有3种共面情形(对棱中点连线两两相交互相平分), 故4点不共面的取法有 -(60+6+3)=141(种).,【补偿训练】已知直线 =1(a,b为非零常数)与圆 x2+y2=100有公

10、共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整 数,那么这样的直线有多少条?,【解析】如图,在圆x2+y2=100上,横坐标和纵坐标均为整数的点的坐标有(-10,0),(10,0),(0,-10), (0,10), (-6,-8),(-6,8),(6,-8),(6,8),(-8,-6),(-8,6), (8,-6),(8,6)共12个.,过这12个点的切线有12条.由于给出的是直线的截距式 方程,过原点的直线及与坐标轴平行的直线不符合题意, 过原点的直线有6条,与坐标轴平行的直线有12条,故符 合题意的直线共有 +12-(6+12)=60(条).,类型三分组或分堆问题 【典例3】(1)八人分乘三辆小车,

11、每辆小车至少载1人,最多载4人,不同坐法共有() A.770种B.1 260种C.4 620种D.2 940种,(2)(2017沈阳高二检测)将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_种.(用数字作答),【解题指南】(1)将8人按以下情况分组,再分到3辆车中,分组情况(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3). (2)将6人按(2,2,1,1)分组再分到四个不同场馆中.,【解析】(1)选C.第一步:分组,由题意把8人可分为 以下三组(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3),分组的种数为 第二步,分配,每一种分法都有 =6种

12、,根据分步乘法 计数原理,共有7706=4620种,故选C.,(2)根据题意,先将6人按2-2-1-1分成4组,有 =45种分组方法,再对应分配到四个不同场馆,有 =24种方法,则共有4524=1080种方法. 答案:1080,【方法总结】分组或分堆问题常见的类型 分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: (1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等. (2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!. (3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.,【巩固训练】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方法? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本.

13、(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本. (3)平均分成三份,每份2本. (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本.,【解题指南】由题目可获取以下主要信息:第(1)(3)题是分组问题,第(2)(4)题是将6本书分配给甲、乙、丙三个人;第(2)题未说明甲、乙、丙三人谁得1本,谁得2本,谁得3本.解答本题,可先理清事件是否与顺序有关,再依题意求解.,【解析】(1)无序不均匀分组问题,先选1本有 种选 法;再从余下的5本中选2本有 种分配方法;最后余下3本 全选有 种方法,故共有 =60种不同的分配方式. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三 人,在第(1)题基础上

14、,还应考虑再分配,共有 =360种不同的分配方式.,(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 种方 法,但是这里出现了重复.不妨记6本书为A,B,C,D,E,F, 若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种 分法为(AB,CD,EF),则 种分法中还有(AB,EF, CD)、(CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,CD,AB)、,(EF,AB,CD),共 种情况,而这 种情况仅是AB,CD, EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 =15种不同的分配方式. (4)有序均匀分组问题,在第(3)题基础上再分配给3个 人,共有分配方式 =90种不同的分配 方式.

15、,【补偿训练】按照以下要求分配6本不同的书,各有几 种分法? (一)有分配对象的分组: (1)甲、乙、丙三人中,甲得1本,乙得2本,丙得3本. (2)一人4本,其余两人各1本. (3)6本书全部分给了五个学生.,(二)无分配对象的分组: (4)6本书按3,2,1分成三组. (5)6本书按4,1,1分成三组.,【解析】(1) (2) (3)56=15625(种). (4) (5),类型四排列与组合的综合问题 【典例4】(1)(2017泰安高二检测)某班组织文艺晚 会,准备从A,B等7个节目中选出3个节目演出,要求A,B 两个节目中至少有一个被选中,且A,B同时选中时,它 们的演出顺序不能相邻,那

16、么不同演出顺序的种数为 () A.84 B.72 C.76 D.130,(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答).,【解题指南】(1)分两类:一类A,B中选1个,一类A,B都选. (2)以个位、十位、百位上数字都是偶数,或两个奇数一个偶数分类求解.,【解析】(1)选D.分两类:第一类,A,B只有一个选中,则 不同演出顺序有 =120种;第二类A,B同时选中, 则不同演出顺序有 =10种,故不同演出顺序的种 数为120+10=130.,(2)因为个位、十位和百位上的数字之和为偶数,所以 这三个数字或者都是

17、偶数,或者有两个奇数一个偶数. 当个位、十位和百位上的数字都为偶数时,则此三位 中有0,则有 4=364=72(个);此三位中没 有0,则有 3=63=18(个).,当个位、十位和百位有两个奇数一个偶数时,则此三 位中有0,则有 =364=72(个);此三位中没 有0,则有 3=162(个). 所以共有72+18+72+162=324(个). 答案:324,【方法总结】解决排列组合综合问题的策略 (1)解决排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.,(2)解决排列组合综合问题应注意: 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是

18、组合问题,有序的问题是排列问题. 对于多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步.,【巩固训练】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?,【解析】(1)分步完成:第一步在4个偶数中取3个,可有 种情况; 第二步在5个奇数中取4个,可有 种情况; 第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有 种情况, 所以符合题意的七位数有 =100800(个).,(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有 =14400(个). (3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一 起的有 =5760(个). (4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好, 再将3个偶数分别插入5个空当,共有 =28800(个).,【补偿训练】有5个男生和3个女生,从中选出5