高三数学理一轮复习课件第8章第二讲空间几何体的表面积与体积

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,专题探究,考点2,考点3,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.,考试大纲,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测求多面体、旋转体以及简单组合体的表面积和体积是高考的热点,已知三视图还原几何体的直观图,并进行面积、体积的计算是高

2、考考查的重点,题型以选择题、填空题为主,分值约5分,有时以解答题的一问呈现,分值57分. 2.趋势分析以三视图为载体求几何体的表面积和体积,以及利用展开图考查侧面积的命题趋势逐步增强,在2018年高考复习时应引起重视,另外,体积与函数、不等式的综合问题在复习时也应给予关注.,命题趋势,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,知识全通关,考 点一柱体、锥体、台体的表面积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,1.旋转体的表面积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 注意 (1)

3、几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,【辨析比较】,柱体、锥体、台体侧面积间的关系 1.当正棱台的上底面与下底面全等时,得到正棱柱; 当正棱台的上底面缩为一个点时,得到正棱锥,由此可得: S正棱柱侧=ch S正棱台侧= 1 2 (c+c)h S正棱锥侧= 1 2 ch. 2.当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱; 当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得: S圆柱侧=2rl S圆台侧=(r+r)l S圆锥侧=rl.,考 点二 柱体、锥体、台体

4、的体积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,柱体、锥体、台体体积间的关系 柱体、锥体、台体体积公式间的关系如图8-2-1所示. 图8-2-1,【辨析比较】,考点三 球的表面积和体积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数， 其表面积公式为,，即球的表面积等于它的大圆面

5、积的4倍，其体积公式,为,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,(1)球的表面积只与半径有关,且面积比等于半径比的平方; (2)球的体积之比等于其半径之比的立方; (3)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.,【名师提醒】,题型全突破,考法一 求空间几何体的表面积,继续学习,考法指导 1.规则几何体的表面积可利用有关公式求解,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,正确确定它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中

6、的边长关系,进而求表面积. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. 3.求以三视图为载体的表面积问题时,关键是先分析三视图,确定几何体中各元素之间的位置关系及数量,再利用上面的方法求表面积.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,考法示例1一个空间几何体的三视图如图8-2-5所示,则该几何体的表面积为 图8-2-5 A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,思路分析三视图 画出直观图 分别求各个

7、面的面积 面积求和 解析 图8-2-6,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,由三视图知该几何体的直观图如图8-2-6所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形; 上底面是长为4、宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4; 另两个侧面是矩形,宽为4,长为 4 2 + 1 2 = 17 . 所以S表=42+24+ 1 2 (2+4)42+4 17 2=48+8 17 . 答案C 点评本题求解的关键是将三视图还原为直观图,并确定每个面的形状和各条棱的长度,然后求得表面积.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,考法示例2已知正四棱锥的

8、底面边长为2a,其左视图如图8-2-7所示.当主视图的面积最大时,该正四棱锥的表面积为 A.8B.8+8 2 C.8 2 D.4+8 2 图8-2-7,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,思路分析 由题意画出几何体的直观图 求出a2+h2=4,再用均值不等式求出a,h的值 即可求得四棱锥的表面积 图8-2-8,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,解析由已知可知该正四棱锥的直观图如图8-2-8所示.其主视图与左视图相同,设棱锥的高为h,则a2+h2=4.故主视图的面积为S= 1 2 2ah=ah 2 + 2 2 =2,即当a=h= 2 时,S最大.故S表=

9、(2a)2+4 1 2 (2a)2=8+8 2 . 答案B 点评三视图中常见的是“静态”问题,本题是“动态”问题,很有新意.在这类问题的求解中要有变动为静的思维,通过寻找相关的量构造一定的等式关系,使得问题在静中得以求解.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,考法指导1.处理体积问题的思路 (1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高. (2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算. (3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将

10、一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法. 2.求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法.对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解. (2)割补法.把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.,考法二 求空间几何体的体积,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,(3)等体积法.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用

11、来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积. 3.由三视图求相关几何体的体积 已知几何体三视图求体积的思路与已知几何体三视图求表面积的思路相同,求解时注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用求体积的方法求解. .,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,考法示例3如图8-2-11是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为 A.36 3 (+ 2 ) B.36 3 (+2) C.108 3 D.108( 3 +2) 图8-2-11,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,思路分析先根据三视图的结构特征确定几何体的构成,然后把三视

12、图中的数据转化为该组合体的数字特征,分别求出对应几何体的体积,则两者体积之和即该组合体的体积. 解析由俯视图可知,该几何体的底面有三角形和半圆两部分构成,结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的,并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合,两个锥体的高相等.由三视图中的数据可得,该圆锥的底面半径r=6,三棱锥的底面是一个底边长为12,高为6的等腰三角形,两个锥体的高h= 1 2 2 6 2 =6 3 . 故半圆锥的体积V1= 1 2 1 3 626 3 =36 3 ; 三棱锥的底面积S= 1 2 126=36,三棱锥的体积V2= 1 3 Sh= 1 3 366 3 =72

13、3 . 故该几何体的体积V=V1+V2=36 3 +72 3 =36 3 (+2). 答案B,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,考法示例4如图8-2-12所示,已知三棱锥D-ABC中, ADBC,AD,BC之间的距离为h,且AD=a,BC=b,求三棱锥D-ABC的体积. 图8-2-12 思路分析 求底面面积和高较难 拼接几何体 转化底面和高 体积转化 运算,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,解析 图8-2-13 以AB,BC为邻边补成平行四边形ABCE,以AD为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF,如图8-2-13所示, 则三棱锥D-ABC的体积V1与

14、平行六面体ABCEDGMF的体积V2之间有V1= 1 6 V2,易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD,BC之间的距离h.因为ADBC,所以四边形BCMG为矩形.所以V1= 1 6 V2= 1 6 S矩形BCMGh= 6 . 点评本题也可以分割几何体,转化底面和高,最后求得三棱锥的体积.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,考法三 求球的表面积和体积,继续学习,考法指导1.求球的表面积和体积的关键是求出球的半径.反之,若已知球的表面积或体积,那么就可以得到球的半径. 2.处理与几何体外接球有关的问题时,一般需依据球和几何体的对称性,确定球心与几何体的特殊点间的关系.解决与

15、长方体有关的问题时需注意运用长方体的体对角线即外接球直径这一知识. 3.与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题,解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系,正确建立等量关系.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,考法示例5正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2 2 ,则它的外接球的表面积是 A.16B.12 C.8D.4 思路分析 求出此球的半径-根据球的表面积公式计算-求得结论 解析设正四棱锥的外接球半径为R,顶点P在底面上的射影为O,因为OA= 1 2 AC= 1 2 2 + 2 = 1 2 (2 2 ) 2 +(

16、2 2 ) 2 =2,所以PO= 2 2 = (2 2 ) 2 2 2 =2.又OA=OB=OC=OD=2,由此可知R=2,于是S球=4R2=16. 答案 A 点评本题求解的关键是通过组合体的图形,找到已知条件中各棱长与球的半径之间的关系,然后利用球的表面积公式求解.,继续学习,考法示例6有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是顶角的余弦值为 1 2 的等腰三角形.在容器内放一个半径为r的铁球,并注水,使水面与球正好相切,然后将球取出,则这时容器中水的深度为. 思路分析先作出截面,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径的长为 3 r,容器内水的体积为V=V圆锥-V球,由此即可得出结论.

17、 解析 图8-2-15,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,如图8-2-15所示,作出轴截面, 因为轴截面是顶角的余弦值为 1 2 的等腰三角形,所以顶角为 3 ,所以该轴截面为正三角形.根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面所在圆的半径为 3 r,则容器内水的体积V= 1 3 ( 3 ) 2 3r- 4 3 r3= 5 3 r3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为 3 3 h,从而容器内水的体积 V= 1 3 ( 3 3 h)2h= 1 9 h3,由V=V,得h= 3 15 r,所以这时容器中水的深

18、度为 3 15 r.,【突破攻略】,继续学习,计算球的表面积或体积,必须求出球的半径,一般方法有:(1)根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心,然后求出半径;(2)依据已知的线线或线面之间的关系推理出球心位置,然后求出半径.,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,能力大提升,继续学习,空间几何体表面积和体积的最值,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,专题探究,解决此类问题的一般思路有两个:一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式,将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值,根据平面图形的有关结论直接进行判断;二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关

19、系式,然后利用函数或者导数方法解决.,示例7如图8-2-16所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,AA1=AB=2. (1)求证:BC平面A1AC; (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值. 图8-2-16,数学 第八章第二讲 空间几何体的表面积与体积,继续学习,思路分析 根据线面垂直的判定找到所需条件 BC平面A1AC 列出三棱锥A1-ABC体积的表达式 利用基本不 等式求得体积的最大值 解析(1)因为C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,所以BCAC. 因为AA1平面ABC,BC平面ABC, 所以AA1BC. 因为AA1AC=A,AA1平面A1AC,AC平面A1AC,所以