高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型（1）教案 苏教版必修

1、3.2古典概型 1整体设计教材分析本节课是必修（数学3）第3章概率第二大节内容3.2古典概型.我们可以把它分为2个课时.第一课时主要学习古典概型的概念；第二课时主要是古典概型的运用，通过利用古典概型来解题进一步加深对概念及公式的理解，同时也激发学生对概率的热爱. 第一个课时通过创设问题情境“现有方块J、Q、K和梅花A、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？”引导学生发现求此事件的概率，如果再进行大量重复试验来求的话，既耗时又不精确.从而激发学生勇于探索的精神，引入古典概型（全称为：古典概率模型）的概念及特点.并围绕创设的问题情境，由学

2、生通过自主探究来得到古典概型的概率计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为：P(A)=.得出古典概型的概率计算公式之后，我们通过例题教学与课堂练习进一步理解古典概型的概念及特点，同时也进一步巩固古典概型的概率计算公式.在每个例题的讲解过程中，步步为营，注重学生的参与性.讲解完每个例题之后，由学生自己谈感受，总结得失.课堂练习主要由学生完成，教师适时作出适当的点拨.最后的课堂小结也让学生来参与，由他们自己来总结，更利于学生对知识、技能的掌握与提高.三维目标1.通过创设问题情境引出古典

3、概型的概念及特点，采用启发式、探究式教学.2.理解古典概型的概念及特点，会判断一个随机事件是否符合古典概型.3.通过进行大量重复试验来求问题情境中概率，既耗时又不精确，所以必须找到方法来解决，从而探究出古典概型的概率计算公式.4.掌握古典概型的概率计算公式.会用列举法列举出随机事件所含的基本事件数.5.会利用古典概型的概率计算公式来解决一些简单的概率问题,培养学生实事求是的科学态度，激发学生勇于探索、坚持不懈的精神. 重点难点教学重点:1.理解古典概型的概念及特点.2.古典概型的概率计算公式的运用.教学难点:1.会判断一个随机事件是否符合古典概型.2.会运用古典概型的概率计算公式来解题.课时安

4、排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）请同学们思考并回答下面的问题：现有方块J、Q、K和梅花A、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？设计思路二：（实验感知） 在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后汇总起来；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后汇总起来.推进

5、新课新知探究对于导入思路一：倘若进行大量重复试验，用“出现方块”这一事件的频率估计概率，不仅工作量大而且还不准确.因此我们不妨这样来解决：把“抽到方块”记为事件A，那么事件A相当于“抽到方块J”、“抽到方块Q”、“抽到方块K”这3种情况，而“抽到梅花”相当于“抽到梅花A”、“抽到梅花2” 这2种情况，由于是任意抽取的，因此，认为出现这5种情况的可能性都相等.当出现方块J、Q、K这3种情形之一时，事件A就发生，因而有P(A)=.在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件（elementary event）.如在上面的问题中“抽到方块”即为一个基本事件.如果在一次试验中，每个基本事件发生的可

6、能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.上面的问题有这样两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即具有有限性；（2）每个基本事件出现的可能性相等即具有等可能性.我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model）.倘若一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)= .对于导入思路二：在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受.教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题.1.用模拟试验的方法来求某一随机事

7、件的概率好不好？为什么？（不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率.）2.根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？（在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且它们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是；在试验二中随机事件有六个，即“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，并且它们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是.）我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果.基本事件有如下的两个特点

8、：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.因此有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model）.在实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P（“正面朝上”）P（“反面朝上”），P（“出现正面朝上”).在试验二中，出现各

9、个点的概率相等，即P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”），所以P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）.进一步地，还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P（“出现偶数点”）P（“2点”）P（“4点”）P（“6点”），即P（“出现偶数点”）.根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为P（A）.因此有：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)= .应用示例思路

10、1例1 为了考查玉米种子的发芽情况，在1号、2号、3号培养皿中各种一粒玉米种子，（1）列举全体等可能基本事件；(2)下列随机事件由哪些等可能基本事件组成.事件A：三粒都发芽；事件B：恰有两粒发芽；事件C：至少有一粒发芽.分析：根据实际问题，在正确理解等可能事件的含义的基础上来列举等可能事件，再根据所列举的等可能事件来确定某一个随机事件由哪些等可能事件组成.解：（1）按1号、2号、3号培养皿的顺序，玉米种子发芽的情况可能出现的结果有（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发

11、芽），（不发芽，不发芽，不发芽），即1号培养皿有两种可能结果，对于1号培养皿的每种可能结果2号培养皿又有两种可能结果，对于1号、2号培养皿的每种可能结果，3号培养皿又有两种可能结果，所以共有222=8种不同的结果.因此全体等可能基本事件是：（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽），（不发芽，不发芽，不发芽）.（2）事件A由一个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），事件B由3个基本事件组成即（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），事件C由

12、7个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽）.点评：(1)枚举法是一种重要的计数方法，在用枚举法计数时特别需要注意的是不重复不遗漏；(2)正确理解等可能事件的意义，能够正确地将某一个事件分解成等可能基本事件是解决古典概型问题的关键. 例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？分析：可以用枚举法找出所有的等可能基本事件.解：（1）分别记白球为1，2，

13、3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件摸到1，2号球用有序实数对（1，2）表示：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），因此，共有10个基本事件.（2）记事件A=“摸出的两只球都是白球”，（1）中的10个基本事件发生的可能性相同，事件A包含了3个基本事件，即（1，2），（1，3），（2，3），如下图所示，根据古典概型的概率计算公式可得：P(A)=.答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率是.点评：运用枚举法列举构成各个事件的基本事件是直接有效的方法，我们必须掌握这种方法，在运用枚

14、举法时要做到不重复不遗漏.例3 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）.分析：由于第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，所以可以将各种可能的遗传情形都枚举出来：解：Dd与Dd的搭配方式有4种：DD，Dd， dD，dd，即总共有4个等可能基本事件；其中只有第四种“dd”1种表现为矮茎，即事件“第二子代为高茎”共包含了3个等可能基本事件，故事件“第二子代为高茎”的概率为=75%.答：第二子代为高茎

15、的概率为75%.点评：应用枚举法时也可以用树形图来列举出所有的基本事件.例4 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型.解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生

16、随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P(“答对”)0.25.点评：解答本题的关键是判断随机事件是否适合古典概型，如果是古典概型则运用古典概型概率计算公式进行计算.例5 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样.解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有101010=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，

17、则包含的基本事件共有888=83种，因此，P(A)= =0.512.（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为1098=720种.设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为876=336, 所以P(B)= 0.467.点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.对于问题（2）还可以有如下解法：看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有

18、10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10986=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8766=56，因此P(B)= 0.467.思路2例1 有5段线段，它们的长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三段，能构成三角形的概率是（）分析：用枚举法将从5段线段中任取三段的等可能基本事件列举出来，再根据三角形的三边必须满足两边之和大于第三边来确定事件“任取三段线段能构成三角形”的等可能基本事件数.从5段长度分别为2，4，6，8，10的线段任取三段共有（2，4，

19、6），（2，4，8），（2，4，10），（2，6，8），（2，6，10），（2，8，10），（4，6，8），（4，6，10），（4，8，10）（6，8，10）等10种情况，即共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)= .答案：D点评：根据概率的计算公式P(A)=，必须要解决m,n的值是多少的问题，这可以运用枚举法来解决；对于本题运用枚举法时还可以有如下方法：因为任取三个数后剩下两个数，因此取三个数与取两个数的情况

20、是相同的，因此只要列举取两个数的情况，如下：（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（4，6），（4，8），（4，10），（6，8），（6，10），（8，10），共10种情况，共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)= .例2 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率.分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）（出

21、现6点），所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3.所以，P（A）=.点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重复不遗漏.例3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.分析：将符合“每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次”的所有结果一一列举出来，就得到等可能基本事件的总数，用同样的方法得到符合“取出的两件产品中恰有一件次品”所包含的基本事件总数，

22、就可以得到本题的解答.解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）.事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=.点评：本题是不放回问题，注意与有放回问题的区别.例4 袋中有红、白色球各一个，有放回地抽三次，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次

23、同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次抽取的红球多于白球.分析：运用枚举法列出基本事件总数,然后再计算某个事件包含的基本事件总数.解：每个基本事件为(x,y,z)，其中x,y,z分别取红、白球，全集U=(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(白，白，红)，(白，红，白)，(红，白，白)，(白，白，白)，从而n=8.（1）记事件A为“三次颜色恰有两次同色”，因为A中含有基本事件的个数m=6，所以P(A)=；（2）记事件B为“三次颜色全相同”，因为B中含有基本事件的个数m=2，所以P(B)= ；（3）记事件C为“三次抽取的红球多于白球”，因为C中含有基本事件的个数m=4，

24、所以P(C)=.点评：对于第(3)小题，因为三次取球，红、白色球的个数必定不相等，故红球多于白球与白球多于红球的概率相等，都是0.5.例5 在一个口袋中装有10个标有1到10这十个整数的小球，从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号x，然后第二次再从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号y，试求：(1)x+y是10的倍数的概率；(2)xy是3的倍数的概率.分析：运用枚举法列出基本事件总数以及某一个事件包含的基本事件数.解：先后两次取出小球，第一次取出的小球有10种不同的结果，第二次取出的小球也有10种不同的结果，而且对于第一次的每一个结果第二次有10种结果与它对应，所以先后两次取出小球共有1010

25、=100个不同的结果，故基本事件个数是100个.(1)因为x+y是10的倍数，它包含下列情况：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，10）共10种基本事件，因此所求事件“x+y是10的倍数”的概率P=0.1.(2)因为xy是3的倍数，所以x是3的倍数或y是3的倍数，又1到10这十个数可以分为是3的倍数和不是3的倍数两类，记A=3,6,9，B=1,2,4,5,7,8,10，当xA，yB时，xy是3的倍数共有37=21种，当yA，xB时，xy是3的倍数也有37=21种，当xA，yA时，xy是3的倍数共有33=9种，因此所

26、求事件“xy是3的倍数”的概率P=0.51.答：(1)x+y是10的倍数的概率为0.1；(2)xy是3的倍数的概率为0.51.点评：运用等可能事件的概率公式时，一定要将基本事件总数和满足条件的事件总数求正确，枚举法和分类讨论是解决这类问题行之有效的常用方法.知能训练1.先后抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面、一枚反面的概率是（）2.在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为（）3.从甲、乙、丙、丁四人中选3人作代表参加某个会议，则甲一定当选的概率为_ .4.有4个房间安排3个人住宿，每个人可以住进任一房间，且住进房间是等可能的，求：(1)事件“指定的3个房间各有1人”的概率；(2)事件“第1号房间有1人，第2号房间有2人”的概率.（每个房间最多可以住3人）解答：1.C2.B3.从四人中选出3人共有4种等可能结果（甲，乙，丙），(甲，乙，丁) ，(甲，丙，丁) ，(乙，丙，丁)