高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型知识导引学案 苏教版必修

1、32古典概型案例探究 某班数学兴趣小组有男生和女生各2名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，请思考下列问题： （1）恰好有一名参赛学生是男生的概率； （2）至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率. 分析：由题设知，此题属于古典概型.先算基本事件总数，然后再计算各类事件发生的概率. 解：基本事件有：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），共6个. （1）恰好有一参赛男生的基本事件有： （男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2）. 共4个，所以这一事件的概率为P=. （2）至少有一名参赛男

2、生的基本事件有： （男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女2），（男2，女1）. 共有5种不同的结果，所以，所求事件的概率为P= （3）至多有一名参赛男生的基本事件有： （男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2）. 共有5种不同的结果，所以，所求事件的概率为P=自学导引 1在1次试验中可能出现的每一个基本结果，称为基本事件.若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件. 2（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）； （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）. 我们将具有这两个特点的概率

3、模型称为古典概型. 3如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含的基本事件有m个，那么事件A的概率P（A）=. 4先后抛掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，在此试验中有哪些基本事件？ 答：它有4个基本事件，分别是（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）.其中（正，正）代表第1和第2枚硬币都出现正面，（正，反）代表1枚硬币出现正面而第2枚硬币出现反面，（反，正）代表第1枚硬币出现反面而第2枚硬币出现正面，（反，反）代表第1和第2枚硬币都出现反面. 5是不是所有的试验都是古典概型？举例说明. （1）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具

4、有古典概型的两个特征有限性和等可能性.（2）并不是所有的试验都是古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如，从规格直径为300 mm0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从2994mm到300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.疑难剖析 【例1】 掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，写出所有的基本事件，说明其是否是古典概型. 思路分析：因为骰子为立方体形状，其六个面分别对应1点、2点、6点，所以基本事件应

5、有6个. 解：有6个基本事件，分别是“出现1点”，“出现2点”，“出现6点”.因为骰子的质地均匀，所以每个基本事件的发生是等可能的，因此它是古典概型. 思维启示：基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘. 【例2】 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率. 思路分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型. 解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）、（出现6点）， 所以基本事件数n=6， 事件A=掷得奇数点=出现1点，出现3点，出现5点， 其包含的基本事件数m=3. 所以，P（A）=0.5 思维陷阱：如一个口袋内装有大

6、小相等的3个黑球和2个白球，从中摸出一个球，求摸出一个黑球的概率. 错解：从中摸出一球的可能结果有两种“黑球”“白球”，则摸出一黑球的概率为. 错因分析：因为黑球数高于白球数，因此摸到黑球的机会就大于摸到白球的机会，它们不是等可能的，因此上述解法不正确. 正解:我们把3个黑球分别标上“A、B、C”三个字母加以区分，把两个白球标上“D、E”以示区分.那么摸出一个球的所有结果为“黑A”“黑B”“黑C”“白D”“白E”，共五种，因此摸出一个黑球的概率为 思维启示：利用古典概型公式P（A）=求概率的步骤：（1）首先检验是否是古典概型，即基本事件是否有限个.每个基本事件是否具有等可能性；（2）利用列举法

7、把等可能的基本事件一一列出.从而求出基本事件总数n及所求事件包含基本事件的个数m；（3）利用公式P（A）=求出事件的概率. 【例3】 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，求： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？ （4）向上的数之和是5的倍数的概率是多少？ 思路分析：由于骰子的质地是均匀的，故先后抛掷的结果是等可能的，可把基本事件一一列出，然后根据事件求出概率. （1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有以下不同的结果.1 2 3 4 5 6123456(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(

8、2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)即共有36种不同的结果. （2）在上面的结果中，向上的数之和为5的结果有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种. （3）由于骰子的质地是均匀的，所以将它抛掷两次的所有36种结果是等可能出现的，其中向上的数之和为5的结果（记为事件A）有

9、4种，因此，所求的概率为 P（A）= （4）出现向上的数之和为5的倍数的事件（记为事件B）有： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（4，6），（6，4），（5，5）. 共7种不同结果，且都是等可能的，所以其概率为 P（B）= 思维启示：求概率时，常常把全体基本事件一一列出，以便我们准确地找出基本事件总数，以及某事件所含的基本事件个数.这是我们初学概率最常用、最基本的方法. 【例4】 一个盒子里装有标号1、2、10的标签，今随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：（1）标签的选取是无放回的； （2）标签的选取是有放回的. 思路分析：首先要弄清基本事件个数

10、，然后用古典概型概率公式P（A）=求解. 解：随机地选取两张标签，记事件A为“两张标签上的数字为相邻整数”，可能结果为（1，2），（2，3），（3，4），（9，10）共9种. （1）如果标签是无放回的，按抽取顺序记录为（x,y）则x有10种可能，y有9种可能，但（x、y）与（y、x）是一样的，共有可能的结果为1092=45种，因此事件A的概率为P（A）= （2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果（x、y），则x有10种可能，y有10种可能，但（x、y）与(y、x)是一样的，共有可能结果10102=50种.因此事件A的概率为. 思维启示：准确把握不同条件下的基本事件总数.对于不放回抽样，计算

11、基本事件个数既可看作有顺序的，也可看作无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.对于有放回的抽样，计算基本事件个数只能看作是无序的，若看作是有序的，则各个基本事件就不是等可能的情况，不符合古典概型. 【例5】 每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲.同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代. 以褐色颜色的眼睛为例.每个人都有一份基因显示他的眼睛颜色：（1）眼睛为褐色；（2）眼睛不为褐色. 如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼睛也为褐色.如果孩子得到的父母的基因

12、都为“眼睛不为褐色”的基因，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫做显性基因. 方便起见，我们用它母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因.每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB,bB注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色.假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb

13、，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？ 解析：由于父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，从而孩子有可能产生的基因有4种，即BB，Bb,bB,bb（右图）.又因为父亲或母亲提供给孩子基因B或b的概率是一样的，所以可以认为孩子的基因是这4种中的任何一种的可能性是一样的.因此，这是一个古典概型问题.只有当孩子的基因为bb时，眼睛才不为褐色，所以，（1）“孩子眼睛为褐色”这个随机事件发生的概率为=0.75（2）“孩子眼睛不为褐色”这个随机事件发生的概率为=0.25拓展迁移【拓展点1】 若以连续两次掷骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m,n），求点P落在圆x2+y2=18内的概率. 解析：易知基本事件

14、有36个， 事件“点P（m,n）在圆x2+y2=18内”包括下列10个基本事件： （1，1），（1，2）（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）. 故所求概率是=【拓展点2】 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？ 解析：我们可以探讨正确答案的所有结果： 如果只有一个答案是正确的，则有4种；如果有两个答案是正确，则正确答案可以是（A、B）、（A、C）、（A、D）、（B、C）、（B、D）、（C、D）6种.如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是（A、B、C）、（A、C、D）、（A、B、D）、（B、C、D）4种. 如果四个都正确，则正确答案只有1种. 故正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=15种，从这15种答案中任取一种的可能性只有因此更难猜对.【拓展点3】 齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王