高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 四 弦切角的性质学案（含解析）新人教A版选修

1、四 弦切角的性质弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(2)图形语言叙述：如图，AB与O切于A点，则BACD.弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数弦切角定理如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.利用弦切角定理(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，所以ACEABC.所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB.故，即BC2BECD.利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆

2、周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角1如图，CD是O的切线，T为切点，A是上的一点，若TAB100，则BTD的度数为()A20 B40 C60 D80解析：选D如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，所以E180TAB80.又CD是O的切线，T为切点，所以BTDE80.2如图，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线，求证：(1)如果ABCD，那么AMMB；(2)如果AMBM，那么ABCD.证明：(1)CD切O于M点，CMAB.ABCD，CMAA.AB.AMMB.(2)AMBM，AB.CD切O于M点，CMAB，CMAA

3、.ABCD.3.如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB.(1)求证：ADCD；(2)若AD2，AC，求AB的长解：(1)证明：如图，连接BC.直线CD与O相切于点C，DCAB.AC平分DAB，DACCAB.ADCACB.AB为O的直径，ACB90.ADC90，即ADCD.(2)DCAB，DACCAB，ADCACB.，AC2ADAB.AD2，AC，AB.运用弦切角定理证明比例式或乘积式如图，PA，PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2CECF.连接CA，CB.PA，PB是O的切线，CAPCBA，CBPCAB.又CDAB

4、，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，.，即CD2CECF.证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件4如图，已知MN是O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E.求证：AC2AEAB.证明：连接BC.ACEABCAC2ABAE.5如图，AD是ABC的角平分线，经过点A，D的O和BC切于点D，且AB，AC与O相交于点E，F，连接DF，EF.求证：(1)EFBC；(2)DF2AFBE.证明：(1)O切BC于点D，CADCDF.AD是ABC的角平分线，BADCAD.又BADEFD，EF

5、DCDF.EFBC.(2)连接DE.O切BC于D，BADBDE.由(1)可得BDEFAD，又O内接四边形AEDF，BEDDFA.BEDDFA.又BADCAD，DEDF.DF2AFBE.课时跟踪检测(九)一、选择题1P在O外，PM切O于C，PAB交O于A，B，则()AMCBB BPACPCPCAB DPACBCA解析：选C由弦切角定理知PCAB.2如图，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，P40，则ACP等于()A20 B25 C30 D40解析：选B连接OC.PC切O于C点，OCPC.P40，POC50.连接BC，则BPOC25，ACPB25.3如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF

6、于D，AD2，AB6，则AC的长为()A2 B3 C2 D4解析：选C连接BC，则ACB90，又ADEF，ADC90，即ADCACB，又ACDABC，ABCACD，AC2ADAB12，即AC2.4如图，AB是O的直径，P在AB的延长线上，PD切O于C点，连接AC，若ACPC，PB1，则O的半径为()A1 B2C3 D4解析：选A连接BC.ACPC，AP.BCPA，BCPP.BCBP1.由BCPCAP得.PC2PBPA，即AC2PBPA.而AC2AB2BC2，设O半径为r，则4r2121(12r)，解得r1.二、填空题5如图，AB是O的直径，PB，PE分别切O于B，C，若ACE40，则P_.解析

7、：连接BC，AB是O的直径，ACB90.又ACE40，PCBPBC50.P80.答案：806如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD_.解析：连接OC.PC切O于C点，OCPC.PBOB2，OC2.PC2.OCPCOPCD，CD.答案：7如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.解析：由PA为O的切线，BA为弦，得PABBCA，又BACAPB，于是APBCAB，所以.而PB7，BC5，故AB2PBBC7535，即AB.答案：三、解答题8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一

8、点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CBCE.证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以ACB90，即BCFACD90.又因为ADl，所以DACACD90.所以BCFDAC.又因为直线l是圆O的切线，所以CEBBCF，又DACCBE，所以CBECEB，所以CBCE.9.如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC，BD相交于点E.(1)求证：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长解：(1)证明：因为XY是O的切线，所以12.因为BDXY，所以13，所以23.因为34，所以24.因为ABDACD，又因为ABAC，所以ABEACD.(2)因为32，ABCACB，所以BCEACB，所以，即ACCEBC2.因为ABAC6 cm，BC4 cm，所以6(6AE)16.所以AE (cm)10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点(1)求ADF的度数；(2)若ABAC，求ACBC.解：(1)AC为