高二数学 第八章 圆锥曲线方程专题讲座同步辅导教材

1、第八章 圆锥曲线方程专题讲座一、 二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系当t0时，表示共焦点（c,0）的椭圆系；当-c2t0时，表示共焦点（c,0）的双曲线系；当t0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。与椭圆共焦点的二次曲线系方程也可以设为（0bkb2，k为参数）。（二）具有相同离心率的圆锥曲线系例3已知椭圆的离心率是，焦点在x轴上，且被直线截得的弦长为，求椭圆的标准方程。解：，又其焦点在x轴上， 设椭圆方程为 即 将 代入，整理得 由韦达定理可知：x1+x2=-2,x1x2=4-3 由弦长公式，有 = = 解得。 故所求椭圆方程为，即说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意

2、其焦点所在的坐标轴及圆锥曲线的类型。（三）共渐近线的双曲线系显然，它们的公共渐近线为例4求与双曲线共渐近线且与直线x-y-1=0相切的双曲线方程。解：设此双曲线方程为由方程组消去x得3y2-2y+（-1）=0。由双曲线与直线相切知将代入方程组得所求的双曲线方程为3x2-12y2=4。二、 求轨迹的几种方法求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。下面我们逐一介绍。（一）定义法利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。例1过原点O的一条直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q，在直线OQ上取一点P，

3、使点P到直线y=2的距离等于|PQ|，当直线PQ绕点O旋转时，求动点P的轨迹方程。解：如图所示，设动点P的坐标为(x,y)，作PD垂直于直线y=2，垂足为D。（1）当点P不在y轴上时， 从而1=2。 又PDOA，1=3。从而2=3。 |OP|=|OA|=2。 这时，点P的轨迹方程为 x2+y2=4(x0)。（2）当点P在y轴上时，点Q与D重合于点A，y轴上任一点P都满足|PD|=|PQ|。这时，点P的轨迹方程为x=0。于是由（1），（2）可知，动点P的轨迹方程为x2+y2=4(x0)或x=0。（二）参数法例2 已知MON=120，长为的线段AB的两段A，B分别在OM，ON上滑动，求AB中点P的

4、轨迹方程。分析 中点P依赖于A，B两点，设A，B的横坐标为参数，利用|AB|=消去参数，便可得到P的轨迹方程。解：如图所示，以O为原点，MON的平分线为x轴的正方向，则射线ON，OM的方程分别为。设，则 即(x1-x2)2+3(x1+x2)2=12把式代入式中，得 即 解方程组 故动点P的轨迹方程为 。（三）交轨法当动点P是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P的轨迹方程，可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P的轨迹方程。例3如图824所示，在直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的边长|OA|=a,|OC|=b，点D在AO的延长线上，且|DO|

5、=a，设M，N分别是OC，BC边上的动点，且，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。解 如图所示，点A，D的坐标分别为(a,0),(-a,0)。设，则点N的坐标为(a-t,b)。，从而 。 直线DM的方程为直线AN的方程为设动点P的坐标为(x,y)，则从式中消去参数t，得P的轨迹方程为（四）代入法对于已知曲线C:F(x,y)=0上的各点M，按照某种法则，同一平面上的点P与它对应，当点M在曲线C上移动时，点P的轨迹是曲线，则称为C的伴随曲线。求伴随曲线的方程一般用代入法。其步骤如下：设点P，M的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则F(x1,y1)=0。由点M与点P的关系，求得x1=f(x,y)

6、,y1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点P的轨迹方程为F(f(x,y,),g(x,y)=0。例4 从原点O作圆(x-2)2+y2=4的动弦OP，把OP延长到M，使，求动点M的轨迹方程。解 如图所示，设点M，P的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则从而即把式代入式中，得于是，动点M的轨迹方程为（五）待定系数法当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。例5 求以直线和为渐近线，焦点在直线上且焦距是的双曲线方程。解 如图所示，解方程组 得 即两直线的交点坐标为（5，-4）。 又双曲线的中心为O（5，-4）。 由已知条件可设这双曲线的方程为 为 即： 结合已知渐近线

7、方程从而可设 。 于是a=10，b=8。故所求的双曲线方程为 三、求最值方法总结解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。现把这类问题的解法总结如下：（一）利用综合几何法求最值利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。这种解法如果运用得当，往往显得非常简捷、明快。例1如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B是y轴正方向上给定的两点，试在x轴正方向上求一点C，使ACB取得最大值。解：如图所示，过A，B两点作圆与x轴正方向相切于点C。设C是x轴正方向上异于点C的任一点，连结BC，AC，BC，AC，则由平面几何知识，易得ACBACB，从而点C即为所求。设

8、，则由切割线定理，得 ，。即所求的点C的坐标为。（二）利用二次函数的性质求最值例2过点B（0，-b）作椭圆的弦，求这些弦长的最大值。解：如图所示，设点M(x,y)是椭圆上任一点，则，即 从而 于是，（1）若时，|BM|取得最大值；（2）若，即，则当y=b时，|BM|取得最大值 。（三）利用判别式法求最值例3 过点A（1，4）作一直线在两坐标轴上的截距都为正，且其和为最小，求这直线的方程。解 设所求的直线为，则，从而。即。b是实数，即 。由b4，可知s1,s9。当s=9时，易得b=6,a=3。即当a=3,b=6时，s有最小值9。故所求的直线方程为，即 2x+y-6=0。（四）利用不等式法求最值例

9、3中， 取最小时，解得。（以下略）（五）利用三角求最值例2中，设椭圆上任一点为参数。则|BM| 当即时取得当即时取得例3中，设直线倾斜角的补角为（如图），横纵截距分别为a、b由锐角三角函数，则（正值已舍去）故所求直线方程为：解题方法总结：（1）恰当选择坐标系，以简化计算。（2）重视圆锥曲线的定义，曲线的几何性质在解题中的作用。定义是运用数形结合思想方法解题的重要依据，定义解题可简化运算，提高速度。（3）三种圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线都是“一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比为一个常数”的动点轨迹这一本质属性，因此，在三种圆锥曲线的计算和证明中，当题中涉及到离心率、定点、定直线时，要不

10、失时机地运用统一定义解题。（4）要判断动点的轨迹，往往需要先求出它的轨迹方程，然后根据方程的结构特点，再确定是何种曲线。求轨迹方程的主要方法见前一章总结。在求轨迹方程时要注意根据数形结合，检验轨迹的完备性和纯粹性。（5）涉及到直线与圆锥曲线的问题，要注意方程思想和转化思想的应用。（6）求圆锥曲线中的最值问题，一方面注意定义和有关性质的运用，另一方面可考虑转化为一定的函数关系。然后运用函数求最值的各种方法求解，这里在特别注意代数、三角、平面几何知识的综合灵活应用。（7）求解有些圆锥曲线综合问题，常常要引入适当的辅助参数。因此，适当地选择参数，设而不求，可化难为易，减小计算量。高考试题选析（200

11、0年全国）如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。解法1 如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性性C、D关于y轴对称。依题意，记其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得。设双曲线的方程为，则离心率。由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得 将式代入式，整理得，故。由题设得，。解得。所以双曲线的离心率的取值范围为。解法2：如图，过C、E分别作AB的垂线，垂足为F和