弹塑性力学-第2章 应力状态

1、第二章 应力状态理论2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受组平衡力系作用的物体用一平面A分成A和B两部分(图2.1)。如将B部分移去，则B对A的作用应代之以B部分对A部分的作用力。这种力在B移去以前是物体内A与B之间在截面C的内力，且为分布力。如从C面上点P处取出一包括P点在内的微小面积元素，而上的内力矢量为，则内力的平均集度为，如令无限缩小而趋于

2、点P，则在内力连续分布的条件下趋于一定的极限o，即 这个极限矢量就是物体在过c面上点P处的应力。由于为标量，故，的方向与的极限方向一致。内力矢量可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量和。同样，应力可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量。沿应力所在平面 图2.1 应力矢量的外法线方向n的应力分量称为正应力，记为，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为。此处脚注n标明其所在面的外法线方向，由此， 面上的正应力和切应力分别为 在上面的讨论中，过点P的平面C是任选的。显然，过点P可以做无穷多个这样的平面C，也就是说，过点P有无穷多个连续变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了

3、如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P处的应力状态，在点P处沿坐标轴x，y，z方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为，y，z。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正

4、方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均为正。应力及其分量的单位为Pa。 图2.2 应力表示法 由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。 其中 ，=(，)，当，任取，时，则得到相应的应力分量，但，

5、分别简写为，。应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，因此各点的应力分量是坐标z，y，z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。 张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后再讨论空间问题就比较容易了。当受载物体所受的面力和体力以及其

6、应力都与某个坐标轴(例如z轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。1. 平面应力问题 如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即xy平面，z方向的体力分量及面力分量均为零，则板面上(处)应力分量为 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，在垂直于z轴的任一微小面积上均有 ， 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有。因而对于平面应力状态的应力张量为 也可写为 如果方向的尺寸为有限量，仍假设，且认为，和()为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。2. 平面应变问题

7、图2.4 平面应变问题如果物体纵轴方向(坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿轴均匀分布地作用在垂直于方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在方向的位置无关，即方向各点的位移均相同。令、分别表示一点在、坐标方向的位移分量，则有为常数。等于常数的位移并不伴随产生任一平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取。此外，由于物体的变形只在平面内产生，因此与无关。故对于平面应变状态有 由对称条件可知，在平面内和恒等于零，但因方向对变形的约束，故一般并不为零，所以其应力张量为 实际上并不是独立变量，它可通过和求得，因

8、此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即、和(=)，对于平面应变问题的求解，可不考虑。三. 平衡微分方程 物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为而固体的质量密度为。自弹性体内任一点P处附近截取一单元体， a) b) 图2.5 平面应力状态微元体的应力它在，方向的尺寸分别为和。为了计算方便，在方向取单位长度，如图2.5b)所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位

9、置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab上的正应力和剪应力分别为，则作用于cd面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor级数展开，即 由于ab,cd线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd边上的正应力为 同理，如ab边上的切应力为，ad边上的正应力和切应力分别为，可得cd边上的切应力及bc边的应力分量可类推分别得 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘

10、积(即惯性力的投影)。对于所研究的一点P。，设其位移在坐标铀上的投影分别为，加速度的投影可分别写为： , 若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。因而，根据，有 ()将上式化简，并等式两边同除以，可得 ( (2.2-1a)由平衡方程式，可类似导得 ( (2.2-1b) 根据平衡方程得 略去三阶微量的项，得 这就是前面曾提到的切应力互等定理。下面不再区分和。 式(2.2-1)为平面应力问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知体力分量之间的关系；当改为括号内的项，就代表运动方程式，又称为柯西 ()平衡运动微分方程。式(2.2-1)是以平面应力为例导出的，对于平面应变问

11、题，在图2.5(b)所示的单元体上，一般在前、后两个面上还作用有正应力，但由于它们自成平衡，不影响方程的建立，因而，式(2.2-1)对两种平面问题都适用。在建立上述方程时，我们是按照1.2节的小变形中假没，用物体变形以前的尺寸，而没有用变形后平衡状态下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式时，都将作同样的处理，不再加以说明。 对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似平面问题导出 ， 以及 (2.2-2)式(2.2-2)为三维情况下的平衡微分方程。如果采用张量符号和下标记号法，切应力互等定理可缩写为 ()由此可知，应力张量为一对称张量，一共有6个独立元素 平衡方程也可缩写为

12、(2.2-3)其中表示对取偏导数，而当时，则分别代表。因此，则代表 (2.2-4)式(2.2-4)即是不计体力时们三维平衡微分方程式。2.3 一点的应力状态 所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图2.6所示的微小三角形单元，其中，与坐标轴重合，而的外法线与z轴成角。取坐标，使的外法线方向与方向重合(如图2.6)。如果已知，则面上的正应力，和切应力可用已知量表示。因角的任意性，若面趋于点时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应力的转换，即面无限趋于

13、点时，该面上的应力如何用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比属于小量。 假定的面积为1，则和的面积分别为与。于是，由力在坐标的平衡条件 图2.6 一点的应力状态和，可得 (a)式中为面上单位面积的力在坐标轴方向上的分力(图2.6)。将投影到坐标轴方向，有 (b)将式(b)代入式(a)，并注意到 ，和，可得 (2.3-1a) (2.3-1b)将式(2.3-1a)中的换成，则得 (2.3-1c)如果面趋近于点，且已知点的应力分量时，则由式(2.3-1)可求得过该点任意方向的平面上的应力分量。因此，对于平面问题，式(2.3-1)描述了该点

14、的应力分布规律，即描述了该点的应力状态。对于三向应力状态，可以采用类似于二维应力状态分析的方法。现在研究从受力物体中取出的任一无穷小的四面体(图2.7)。斜面的法线与坐标轴间的夹角的方向余弦分别是、。四面体棱边的长度分别、和。设斜面的面积为1，则三角形、的面积分别为如果面上单位面积上的力为，沿坐标图2.7 四面体的应力分布轴方向的分量可由傲小四面体单元的平衡条件得到 (2.3-2)式(2.3-2)是与坐标轴呈任意倾斜面止单位面积上的面力，该式也可按下标记号法和求和约定缩写为 () (2.3-3)式中为斜面外法线与轴间夹角的方向余弦、。 为了分析一点处应力的某些特征，现将坐标系变换到新坐标系，且

15、新坐标系的轴与图2.7中的法线方向重合，新旧坐标系间的方向余弦 ，如表2.1所示，则方向的正应力为 = 表 2.1 新旧坐标系间的方向余弦 将(2.3-2)代入上式，并注意到、分别等于，则得 =类似地将在方向投影，可得到 = = 采用张量的方法，可将以上各式统一表示为 (2.3-4)式(2.3-4)则是在坐标变换时所遵循的法则。凡是一组9个量，在坐标变换时遵从式(2.3-4)的法则就称为二阶张量。.4边界条件 当物体处于平衡状态时，除物体内部各点要满足平衡微分方程式(2.2-4)外，还应满走解条件。定解条件一般包括初始条件、边界条件或其它能确定唯一解答的补充条件。对于弹塑性静力学问题，定解条件

16、主要是边界条件，所以弹塑性力学问题也就是数学物理方程中的边值问题。其它如约束条件、位移单值条件等也是常遇到的定解条件。在弹塑性力学中，给定面力的边界，用表示，结定位移的过界，用表示，如图2.8所示。本节主要讨论弹塑性力学平面问题的边界条件。 a) b) 图2.8 平面问题边界条件1. 位移边界条件 所谓位移边界条件，就是在给定位移的边界上，物体的位移分量必须等于边界上的已知位移。 设平面弹塑性体在边界上给定、方向上的位移分别为和；，它们是边界坐标的已知函数；而位移分量、则是坐标的待求函数。当把它们代入边界的坐标时，则必等于该点所给定的位移，即 ， 在 (2.4-1)对于三维问题，在边界的位移边

17、界条件为 (2.4-2)此处，且对应于。2. 应力边界条件 弹塑性体在外力作用下，处于平衡状态的条件，除物体内部各点的应力分量应满足平衡方程式(2.2-4)外，物体边界上各点也必须都是平衡的。由后者将导出应力边界条件。所谓应力边界条件就是在给定面力的边界上应力分量与面力分量之间的关系。实质上，它是弹塑性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边界上点的平衡条件。 设平面弹性体在上给定面力、，它们是边界坐标的已知函数；而应力分量、则是坐标的待求函数。它们之间的关系可由边界上微元体的平衡条件求出。不失一般性，在物体的边界上取一微元体(一般取为三角形微元，因为它可以描述任意曲

18、线边界)如图2.8b)所示，它在平面问题中显然是三角板(平面应力)或三棱柱(平面应变)。 若令微元体边界面外法线与轴和轴夹角的方向余弦分别为，；斜边长为，两直角边长分别为和，微元体的厚度仍取为1，则由图2.18b)，根据力的平衡条件有 (2.4-3)如当边界平行于轴时，有。这时，式(2.2-7)则为 ， (在边界上) (a)而当边界平行轴时，有。这时，式(2.2-7)则为 , (在边界上) (b) 由此可见，当物体的边界线与某一坐标轴平行(或垂直)时，应力边界条件变得十分简单，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量，应力分量的符号取决于边界面的外法线方向。当边界面的外法线方向与坐标正向一致时，

19、等式右边取正号，否则取负号。但应注意，面力本身还有正负号。其规定与应力符号法则相同。对于三维问题，由力的平衡条件可得 (2.4-4)需要指出的是：在垂直轴的边界面上，应力边界条件中不出现，而在垂直轴的边界上不出现。当作用在边界面上的面力不连续时，应分段或展开成级数写出其边界条件；没有给定位移的自由边界，实际上是给定面力为零的应力边界，不能遗漏。3.混合边界条件在一般情况下，若用表示整个物体的表面积，则往往在其中一部分面积上给出了面力，而在另一部分面积上给定的是位移。如图2.9所示悬臂梁，固定端部分属于部分，它给定位移而末给定外力；其余边界均属部分，它的外力已给定 (包括外力等于零的部分)。显然

20、，在上各点应满足位移边界条件式(2.4-1)，在上各点应满足应力边界条件式(2.4-3)。 对于混合边界条件，可以分别给在边界面的不同区域上，也可以给在同一区域的不同方向上。也即，对于边界上的一个点，在某一确定方向上，必须且只能给出和中的一种，既不能同时给定，也不能同时不给 图2.9 受均布载荷悬臂梁定；而同点在两个互相垂直方向止，可以是其中一个为 ，另一个为。例21 如图2.9所示的一矩形截面悬臂梁，跨度为，梁上表面作用均匀载荷。试写出该问题的边界条件。并检查材料力学的应力公式是否满足力的边界条件。解：由材料力学所得的应力分量为 ， , (a)1) 梁的上表面处 ， 而 , 代入力的边界条件

21、(2.4-3)，则解得 ， 由上式可知，因为材料力学作了纵向纤维无挤压的假设，无法算出的分布规律。因此，材料力学的应力计算公式(a)结果并不满足上表面的边界条件。2) 梁的下表面处 ， 而 ， 代入式(2.4-3)后解得 ， 由上式可见，材料力学的应力计算公式(a)的结果满足该边界的力边界条件，其中是由材料力学的假设得出的。 3) 的自由端处 ， 又 ， 代入式(2.4-3)后解得 ， 因此，在该边材料力学的应力计算公式(a)的结果也满足该边界的力边界条件。 4) 的固定端处 因为固定端的外力分布没有具体给定我们只能求出该端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移动和转动，所以该截面的位

22、移边界条件是很重要的。位移边界条件可表示为 ， ， 或 (在，处)有关这方面的内容和处理方法将在后面的章节中详细介绍。2.5 主应力、主切应力和八面体应力 在受力物体内一点任意方向的微小面元上，一般都有正应又和切应力，不同方向的面元上这些应力有不同的数值。当此微小面元转动时，它的法线方向随之改变，面元上的正应力和切应力的方向和它们的值也都要发生变化。在外法线方向不断改变过程中，必然会出现面元上只有正应力，而切应力等于零的情况。把这时面元的法线方向称为主应力方向(主方向)，相应的正应力称为主应力，它所在的面称为主平面。以下将说明，物体中任一点都有3个主应力和相应的3个主方向。1. 主应力 在图2

23、.7中，如令为面上单位面积面力的三个分量，则有 (a)将面元上单位面积的三个分量投影到面元的法线方向，即得面元的正应力为 (b)将(2.3-2)式代入(b)式，并经整理后则得 (2.5-1)式(2.5-1)即为任意法线方向的斜面上正应力的表达式。该面上的切应力为 (2.5-2)将式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法线方向为的斜面上的切应力。 注意到 (2.5-3)因而三个方向余弦并不是独立的。现以、为独立变量，和看成是和的函数，并求(2.5-1)式的极值。因此，其一阶偏导数应满足 ， 即 (c)由式(2.5-3)可求得对和的两个偏导数为 ， (d)将(d)式代入(c)式，并

24、注意到(2.3-2)式，可得 令其比值为，则有 (e)式(e)说明，在正应力取极值的斜平面上，全应力投影与斜平面的方向余弦成正比，比值当然是正应力，正应力投影就是斜平面上全部应力的投影，而切应力不存在，因此主应力(主平面)确实存在。将 (2.3-2) 式代入(e)式，经整理后得 (2.5-4)或用张量符号写为 (2.5-5)此处为，定义为 在(2.5-4)式中，共有4个未知数，即、和，但由(2.5-3)式知，、这3个方向余弦不可能同时为零，因此，(2.5-4)可看成是关于、的线性齐次方程组，而且应有非零解存在，由线性齐次方程组有非零解的条件可得到 展开上式得 (2.5-6)其中 方程式(2.5

25、-6)是一关于的三次方程，它至少有一个实根。令其为，该上。这样式(2.5-6)中剩下的应力分量只有，可由平面应力状态理论求得其余两主应力、以及它们作用的方向。这就简单地证明了，在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，以及对应的三个主应力，它们的方向称为应力主方向。 因为主应力，是方程(2.5-6)的根，按大小排列为，它们分别位于三个互相垂直的主平面，且在主平面上切应力为零，所以式(2.5-6)也可改写为 由代数学可知，为保证此方程和式(2.5-6)的解相同，其系数应相同，出此可得三个系数为= = = 由于在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，所以式(2

26、.5-6)所给出的系数，分别称为第一、第三、第三应力张量不变量，简称应力不变量。 以主应力，的方向为坐标轴(分别记为1、2、3)的几何空间，称为主向空间。 在主向空间，(2.5-1)和(2.5-2)式则为 (2.5-7) (2.5-8)2. 主切应力 当在主向空间讨论切应力的变化时，(2.5-2)式可写为 (2.5-9)由(2.5-3)可知 将用上式代替后，(2.5-9)式可得 为了求出的极值，取对和的偏导数，并令它等于零，这时有 (f) 满足上式的解有以下四种情况： (1)、，由(2.5-3)式可得，由(2.5-7)式得，这是一主平面。 (2)、，由式(f)的第一式得 因，故 由式(2.5-

27、3)可知 该解表示通过，并平分、所夹再的平面，如图2.10a)所示。 a) b) c) 图2.10 主切应力平面用同样的方法可得 (3)， (4) ， 解(3)代表通过，并平分、所夹角的平面，见图2.10b)；而解(4)代表通过并平分、所夹角的平面，见图1.10c)。现将所有的解列于表2.2中。 表2.2 切应力有极值的平面方位000000000将以上所得到的、值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切应力的极值，这时有 (2.5-10)称、为主切应力，这些主切应力所在的面如图1.10所示，依据主应力大小的排列次序，则最大切应力。且上式可知，显然、满足下式所列条件 +=0注意，在主切应力所在平面正应力并不为零，它们分别为，。3. 八面体应力当变形物体受载较大时，可能产生塑性变形。在塑性理论中，除要用到最大切应力外