《数字滤波器》PPT课件.ppt

1、第四章数字滤波器的原理和设计方法,数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。,引言,数字滤波器设计的相关预备知识,1 数字滤波器的分类 2数字滤波器的性能要求 3数字滤波器的设计内容,数字滤波器的分类,DF按频率特性可分为低通、高通、带通、带阻和全通,1 按频率特性的分类,数字滤波器的分类,特点：,(1)频率变量以数字角频率表示,数字角频率与模拟角频率之间的关系为：,T为采样周期,(2)频率响应以数字抽样角频率 为周期,(3)频率特性只限于 范围,采样定理,数字滤波器的分类,2 按实现方法的分类,从实现的网络结构或者单位

2、冲激响应分类，DF可以分成无限冲激响应(IIR)滤波器和有限冲激响应(FIR)滤波器。,IIR,FIR,数字滤波器的性能要求,理想滤波器物理上是不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）。 要物理上可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和止带内也不应该严格为1或0。应给以较小容限。,低通滤波器的性能指标,fs s,fp p,2,1-1,1,Ap,As,f ,|H(ej)|,1:通带容限,2:阻带容限,fp:通带截止频率(p) fs :阻带截止频率(s) p:通带衰减 s:阻带衰减,1+1,0.707,fc c,数字滤波器的性能要求,0,通常具体技术指标,数字滤波器的

3、性能要求,通带：,阻带：,通带截止频率：,阻带截止频率：,通常具体技术指标,通带允许的最大衰减：,阻带允许的最小衰减：,式中均假定：,数字滤波器的性能要求,通常具体技术指标,3dB截止频率c：,数字滤波器的性能要求,DF的设计内容,(1) 按任务要求确定Filter的性能指标； (2) 用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； (3) 选择适当的运算结构实现这个系统函数； (4) 选择用软件还是用硬件实现。,确定滤波器的技术指标后，寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。所以滤波器实际是一个数学逼进问题。对于IIR系统用有理函数去逼进，对于FIR系统用多项式去逼进所希望的频率响应。

4、,4.1 数字滤波器结构特点及表示,1、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数,数字滤波器的功能是把输入序列通过一定的运算，变换成输出序列。与模拟滤波器比较，数字滤波器有以下优点： 精度和稳定性高 改变系统函数比较容易，因而比较灵活 不存在阻抗匹配问题 便于大规模集成 可以实现多维滤波,数字滤波器一般可以用两种方法实现：一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件构成专用的数字信号处理机；另一种是编写滤波运算程序，在计算机上运行。 由前面的滤波器差分方程看出，实现数字滤波器需要3种基本运算单元，即加法器、单位延迟器和常数乘法器。这些单元有方框图和信号流程图两种表示法。方框图和流程图两

5、种表示法中的3种基本运算单元如下图所示。,2、结构表示：方框图和流程图,方框图,流程图,数字滤波器的结构一般也有方框图和信号流程图两种表示方法，我们主要用信号流程图表示法。 设一个二阶的数字滤波器的差分方程为 其方框图和信号流程图如下图所示。,流图结构,节点,源节点,支路,阱节点,网络节点,分支节点,输入支路,相加器,节点的值=所有输入支路的值之和,输出支路,支路的值=支路起点处的节点值传输系数,数字滤波器根据它的单位取样响应是否一个有限长序列还是一个无限长序列可以分成有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)滤波器两种。 IIR数字滤波器常采用递归结构，而FIR数字滤波器主要采用非递归结

6、构。,4.2 IIR数字滤波器的基本网络结构,一、IIR滤波器的特点 1、单位取样响应h(n)是无限长的（定义的由来） 2、系统函数H(z)在有限z平面上 有极点存在； 3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归型的。,二、有限阶IIR的表达式：（其中至少有一个 ak0）,三、IIR数字滤波器的四种基本结构,用什么结构实现数字滤波器是一个重要的研究课题。运算结构的不同将会影响系统运算的精度、误差、速度和经济性等性能指标。在一般情况下，都要求使用尽可能少的常数乘法器和延迟器来实现系统，并要求运算误差尽可能小。 然而，这些要求有时是互相矛盾的，例如，为了获得具有较小运算误差的结构，使用的

7、乘法器和延迟器的数目往往不是最少的。对于同一个系统函数，可以有多种不同的结构。下面讨IIR系统的几种结构。,IIR数字滤波器是一种递归系统，描述它的差分方程如下式所示 下面两图分别是IIR数字滤波器的方框图和流程图，并且假设 M=N，称为IIR数字滤波器的直接I型结构。 这种结构可以看成是两部分级联组成，左边部分对应的是差分方程的第二项，或系统函数的分子，实现的是系统函数的各零点。右边部分对应的是差分方程的第一项，或系统函数的分母，实现的是系统函数的各极点。 直接I型需要2N个延迟器和2N个乘法器。,1、IIR系统的直接I型结构,IIR系统的直接I型方框图,IIR系统的直接I型信号流程图,II

8、R数字滤波器的直接I型结构可看作两个独立的系统函数的乘积，即 其中,2、IIR系统的直接II型结构,我们所讨论的IIR滤波器是线性非移变系统，交换 和 的次序不会影响系统的效果，即 这样，可以得到右图的结构。,IIR系统的直接II型结构,上图所示的中间两条延迟线都起着对中间变量 进行延迟的作用，因此可以进行合并，于是得到下图所示的直接II型结构。 比较直接II型结构和直接I型结构可以看出，直接II型结构首先实现系统的各极点，然后实现各零点；对于一个N阶数字滤波器，直接II型结构仅需要N个延迟单元。因此，用硬件实现数字滤波器时，直接II型结构比直接I型结构少用寄存器；用软件实现时，则直接II型少

9、用存储单元。,IIR系统的直接II型结构,IIR系统的直接II型信号流程图,例:已知IIR DF系统函数，画出直接I型、II型的结构流图,I 型,II型,如果将N阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，则可得到级联结构，即 这样，整个系统将由M个二阶系统级联构成，如下图所示,3、IIR系统的级联结构,具体来说，将系统函数的分子分母多项式都进行因式分解，得到 由于 的系数都为实数，所以 的零点和极点或者是实数，或者是共轭复数，若将上式每对共轭复数因子合并起来构成一个实系数二阶因子，则得下式,IIR系统的级联结构,如果把实数一阶因子看作二阶实数因子的特例，即看作二次项系数等于零的二阶因子，和干脆把两

10、个实数一阶因子合并为一个二阶实数因子，则 可以看成全部由实系数二阶因子连乘来构成，即 其中 称为滤波器的二阶基本节。 如果每个二阶基本节都采用直接II型结构来实现，那么整个滤波器的级联结构如下图所示。,IIR系统的级联结构,IIR系统的级联结构,这种结构的主要优点是二阶基本节搭配灵活，可以按实际需要调换二阶节的次序，还可以直接控制系统的零点和极点。 每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点有关。 调整系数 、 可以单独调整滤波器第 对零点，而不影响其它零点、极点。 调整系数 、 单独调整滤波器第 对极点，而不影响其它零点、极点。,级联型结构的特点,例：设IIR数字滤波器系统函数为：,如果将II

11、R系统的系统函数 化成部分分式之和，则可得到IIR数字滤波器的并联结构。 该式表明，滤波器可由P个一阶网络、Q个二阶网络和一个常支路并联构成，如下图所示。,4、IIR系统的并联结构,IIR系统的并联结构,并联结构可以单独调整极点位置。 但不能像级联型那样单独调整零点的位置，因为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数的零点。 各并联基本节的误差相互没有影响，因此，并联形式运算误差最小。 由于基本节并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构运算速度快。,并联型结构的特点,例：画出并联结构流图,网络转置定理,信号流图有一个转置定理，该定理表明，如果将原信号流图中所有支路的方向加以反转，并将输入和

12、输出相互交换，则新的信号流程图表示的系统的系统函数不会改变。 利用转置定理，可以将前面讨论的各种IIR结构进行转置处理，从而得到各种新的实现结构，下图表示的是其中一种网络的转置处理情况即将直接II型结构转置得到的结果。,网络转置定理,4.3 FIR 数字滤波器结构,不存在极点(z=0除外)，系统函数在 处收敛。 系统单位冲击响应在有限个 n 值处不为零。 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。,一、FIR的特点：,二、FIR结构,1、直接型(又称为横截型或卷积型，直接完成差分方程）,特点: N个延迟单元；不方便调整零点。,差分方程：,系统函数：,将系统函数H(z)分解为二阶实系数因式的

13、乘积。,2、级联型,特点: 图中每一个基本节控制一对零点，便于调整零点，在需要控制系统传输零点的场合使用。但级联型所用的系数乘法次数较直接型的多，运算时间较直接型的长。 且遇到高阶时 H (z)难分解。,已知两个长度为N的序列的线性卷积，可用2N-1点的循环卷积来代替。,3、快速卷积结构,FIR滤波器快速卷积型结构图,特点：能对信号进行高速处理。需要实时处理时采用此结构。,滤波器的传输函数 为幅度响应， 为相位响应。 线性相位特性 滤波器的相移和频率成线性关系 或,4、线性相位FIR滤波器的网络结构,考虑偶对称 时： 的Z变换为,（1）当n为奇数时：,（2）当N为偶数时：,则系统的频率响应为：

14、,所以系统的幅度响应和相位响应为：, 相位特性是严格线性的。,幅度函数 是一个标量函数，可以包括正值和负值；,当h(n)为奇对称 h(n)=-h(N-1-n),(3) N为奇数,幅度响应 相位响应,(4) N为偶数,幅度响应 相位响应,若H(z)的零点zk既不在实轴上，又不在单位圆上，在zk必是4个互为倒数的两组共轭对；如： z1、1/z1、z1* 、1/ z1*。 如果零点在单位圆上，则零点以共轭对出现； 如果零点在实轴上，则零点互为倒数出现； 如果零点既在单位圆上，又在实轴上，则零点为1和-1。,例4.3.1 已知线性相位FIR滤波器的单位取样响应 为实序列， 为 的一个零点，求 的其它零

15、点？,解：若滤波器的单位取样响应为实序列,当 为其零点时，,则 也为零点。,C.线性相位FIR DF系统函数的系数特点,D.线性相位FIR DF的网络结构,当 ,且N为偶数时:,结构流图如下所示：,当 ,且N为奇数时:,结构流图如下所示：,4.4 IIR 数字滤波器的设计方法,利用模拟滤波器的理论来设计。 计算机辅助的最优技术设计方法。直接在频域或者时域中进行设计，由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。 本课程只讨论第一种方法，实际上我们也将利用计算机进行辅助设计。,IIR数字滤波器的设计方法,首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。转换方法主要有两

16、种： 冲激响应不变法：使数字滤波器的h(n)近似于模拟滤波器的ha(t)，使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的单位冲激响应的取样值一样，即h(n)= ha(nT)，T为取样周期。 双线性变换法：从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。,1. 冲激响应不变法,设计步骤如下： 1) 假设模拟滤波器的系统函数 具有一阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数。将 展开成部分分式 式中， 为极点。对 求反拉普拉斯变换，得,Ha(s)ha(t)ha(nT)h(n)H(z),2) 使用冲激不变法求数字滤波器的单位取样响应 令 ，代入上式得,3) 求 h(n) 的Z变换

17、，得,比较上面两式，经冲激响应不变法变换之后， s 平面的 极点 变换成 z 平面的极点 ，而 和 系数相等，都为 。,如果模拟滤波器是稳定的，那么由冲激响应不变法设计得到的数字滤波器也是稳定的。这是因为，如果极点 都在 s 平面的左半平面，即 那么 即变换后得到的 的极点 都在单位圆内。,当取样率很高，即 T 很小时，数字滤波器有很高的增 益。但是人们常常不希望增益太高，为此，在取样率高 时一般不直接用上面的变换式，而改为采用下面式子。,冲激响应不变法,Xa(j ),X (ej ),X (ej ) 有混叠,无混叠,冲激响应不变法频率混叠,冲激响应不变法的映射关系,冲激响应不变法是要从 s 平

18、面映射到 z 平面，如图所示。这种映射不是简单的代数映射，而是 s 平面上每一条宽为 的水平带重复地映射成整个 z 平面。,映射规则的要点,s平面上每一条宽为2/T的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。 每一横条的左半边映射到z平面单位圆内，右半边映射到z平面的单位圆外。 s平面的虚轴(j轴)映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长为2/T的线段都映射到z平面单位圆上一周。 数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。,冲激响应不变法频率响应,现在讨论用冲激响应不变法得到的数字滤波器与所参照的模拟滤波器的频率响应之间的关系。 令 和 ，得,该式表明，数字滤

19、波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。重复周期为,冲激响应不变法频率混叠失真,如果模拟滤波器的频率响应在折叠频率 以上衰减很大，那么混叠失真将会很小，采用冲激响应不变法就能得到良好的效果。,这时有 上面讨论用冲激不变法设计IIR数字滤波器时，涉及到参数 T。但是，如果用数字域频率 来规定数字滤波器的指标，那么在冲激响应不变法设计种 T 是一个无关紧要的参数，因此，为了方便常取 T 等于 1。 冲激不变法最适合于可以部分分式表示的系统函数。,例 已知一模拟滤波器的系统函数为 使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。 解：将 展开成部分方式得,数字滤波器的幅频响应在高频段有较大失真，而在

20、低频段很接近模拟滤波器的幅频响应。,冲激响应不变法分析,在冲激响应不变法中，由于映射 不是简单的代数映射，从而使设计的数字滤波器的频率响应产生失真。但是由于模拟频率和数字频率之间有线性关系，即 ，因此频率之间不存在失真。 需要指出，冲激响应不变法仅适合于基本上是带限的低通滤波器，对于高通或带阻滤波器应该附加限带要求，以避免严重的混叠失真。,冲激不变法设计IIR DF 的优缺点,（1）冲激不变法使得DF的冲激响应完全模仿AF的冲激响应，也就是时域逼近良好。 （2）保持线性关系：模拟频率和数字频率之间呈线性关系:=T，线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器。 （3）缺点：由于有频率混叠效应，所

21、以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器（低通滤波器、带通滤波器）。,变换原理目标：克服冲激响应不变法频谱的混叠失真，使数字滤波器的频率响应与模拟频率响应相似。,2. 双线性变换法,双线性变换也是一种由 s 平面到 z 平面的映射过程，定义为 因此 其中 T 是取样周期，常数因子 2/T 不是主要参数，因此常取 T=1。双线性变换法与冲激响应不变法不同，它是一种从 s 平面到 z 平面的简单映射。,双线性变换法的映射关系,Sz平面,频率压缩,数字化,引入系数c，使模拟某一频率与数字任一频率对应,1较小时,其它特定频率,模拟频率与数字频率之间关系,将 和 代入双线性变换式，得 因此 由此看出，数

22、字域频率 与模拟频率 之间 呈非线性关系,由上图看出，当 从 变到 时， 从 变到 。这意味着模拟滤波器的全部频率特性，被压缩成数字滤波器在 频率范围内的特性。 这种频率标度之间的非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，因此数字滤波器的频率特性能够逼进模拟滤波器的频率特性。,双线性变换的频率标度的非线性失真可以用预畸变方法来 补偿: 设所求的数字滤波器的通带和阻带的截止频率分别为 和 。按以下公式求出模拟滤波器的截止频率 和 若模拟滤波器按这两个预畸变的频率 和 来设 计，那么用双线性变换所得到的数字滤波器具有所希望 的截止频率特性。,双线性变换法的映射关系,由双线性变换式得,双线性变换

23、法的映射关系,这说明 s 平面的 轴映射成 z 平面的单位圆周，左半平 面映射成单位圆内部，右半平面映射成单位圆外部。如下 图所示,双线性变换法,双线性映射是一种简单的代数映射，因此变换后的数字滤波器的幅度响应没有混叠失真。 如果模拟滤波器是稳定的，即 的所有极点都在 s 平面的左半平面内，那么经双线性变换映射后的极点都在 z 平面的单位圆内，因此对应的数字滤波器也是稳定的。,双线性变换法,双线性变换中数字域频率 和模拟频率 之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线性失真是允许的或能补偿时，才能采用双线性变换。 通常，低通、高通、带通和带阻滤波器具有分段恒定的频率特性，可以采用预畸变的方

24、法来补偿频率畸变，因此可以采用双线性变换设计方法。 但对于频率响应起伏较大的系统，如模拟微分器，就不能使用双线性变换使之数字化。此外，若希望得到具有严格线性相位的数字滤波器，也不能使用双线性变换设计方法。,优点：,避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换,双线性变换法设计IIR DF 的优缺点,例 已知模拟滤波器的传输函数为 采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s 解,例 二阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数为,采样间隔T=2s，3dB截止频率c=1rad/s，用双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器H(z)。,（1）求出H(z)；,（2）画出数字滤波器的

25、直II型结构流图。,(1),(2) DF的直II结构图如下：,4.4.3数字Butterworth滤波器 1. 模拟Butterworth滤波器的幅度平方函数:,下图为其频谱响应图：,其中：W是角频率，N是滤波器阶数，,是3dB截止频率；当W0 时,特点：,通带内幅度响应最平坦； 通带和阻带内幅度特性单调下降； N增大，通带和阻带的近似性越好，过渡带越窄； 存在极点，零点在处。,Butterworth滤波器极点分布特点：,令,s jW,，则幅度平方函数可写为：,令,，得：,特点：,在s平面上共有2N个极点等角距地分布在半径为 的圆上；,极点对称于虚轴，虚轴上无极点； N为奇数，实轴上两个极点；

26、,N为偶数，实轴上无极点；,各极点间的角度为,2. 根据滤波器的指标求模拟滤波器的系统函数； 为得到稳定的系统，由S平面左半平面的极点构成传递函数 ，将式(b)重写为：,其中， 为左半平面极点， 为右半平面极点,A、B均为常数。,式中： 为左半平面的极点， 是 的共扼极点，,且设N为偶数。A由滤波器在 处的单位响应来确定，即：,当N为奇数时，也可得到同样的结果。,模拟Butterworth滤波器传递函数为：,N为偶数。,当N奇数时， 的公式为：,式中，Sp 实轴上的极点。,3. 设计数字Butterworth滤波器的步骤；,A. 根据实际需要规定滤波器在数字临界频率 和,(单位为分贝处)衰减；

27、,B. 确定模拟Butterworth滤波器的阶数N和截止频,率,；,C.求模拟Butterworth滤波器的极点，并由s平面,左半平面的极点构成传递函数极点：,k0，1，2，N1,传递函数：,D.使用冲激不变法或双线性变换法将 转换成,数字滤波器的系统函数,例 设计一个数字Butterworth低通滤波器，在,通带截止频率,处的衰减不大于1dB,，在阻带,截止频率,处衰减不小于15dB。,解：(1)根据滤波器的指标得：,设,T=1,，将数字域指标转换成模拟域指标得：,将Butterworth滤波器的幅度平方函数代入以上两式得：,解两个方程得：N=5.8858，取N=6，,按此值设计的滤波器满

28、足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。,(2)由,求得s平面左半平面的3对极点分别为：,N 和,极点对1：,极点对2：,极点对3：,由这3对极点构成的滤波器的传递函数为：,(3)将,用部分分式展开，由冲激响应不变法求,得数字滤波器的系统函数为：,(4)验证所设计的数字滤波器是否达到指标,例 设计一个数字Butterworth低通滤波器，在,通带截止频率,处的衰减不大于,，在,阻带截止频率处 衰减不小于 ，采样,频率为10 kHz。,解：,(1)将模拟截止频率转换成数字截止频率：,因为,所以,(2)计算 N 和 ：将模拟截止频率进行预畸变， 即：,于是得到：,将式(a)代入以上两式得:,T是无关

29、紧要的参数，为计算方便。令T=1则,有:,将Butterworth滤波器的幅度平方函数代入以上两式得到:,（b）,（c）,解以上两个方程得:,取N=6，并代入式（b）解得:,可以验算这个 值所对应的阻带指标刚好满足要 求，而通带指标已经超过要求。,(3)由 N 和 求模拟Butterworth滤波器的极点，并,由左半平面的极点构成,由 N 和 W c求得平面左半平面的3对极点分别 为：,极点对1：,极点对2：,极点对3：,由此得传递函数为：,(4)使用双线性变换求得数字Butterworth滤波器的系统函数为：,(5)验证所设计的数字滤波器是否达到指标, 4.5 IIR数字滤波器的频率变换,4

30、.5.1 IIR数字滤波器的两种常用设计方法,映射成数字低通滤波器,通过频率变换求数字HP/BP/BS滤波器。,1. 数字滤波器的指标,模拟低通滤波器的指标,2.模拟低通滤波器的指标,模拟低通滤波器的指标,求模拟模拟低通滤波器,模拟低通 转换成模拟,将模拟HP/BP/BS滤波器映射,成所求的数字滤波器。,本教材采用第一种方法设计HP/BP/BS等数字滤波器。,HP/BP/BS滤波器,模拟低通滤波器,4.5.2 IIR数字滤波器的频率变换,设 是数字原型低通滤波器的系统函数，,是所要求的滤波器（LP、HP、BP、BS）的系统,函数。为了将稳定、因果的 变换成稳定、,因果的,，要求：,1. v平面

31、到z平面的映射 是z-1的有理函数；,2. v平面的单位圆内部映射成z平面的单位圆内部。,设q 和w 分别表示v平面和z平面的频率变量，,即：,则：,故要求：,及,满足上面要求的函数就是全通函数，可表示为：,其中 是 的极点，为满足稳定性，要求,最简单的映射：把一个LPF变换成另一个LPF，,如：,将,代入上式得：,由图可见，除 a 0 外，频率标度有明显的扭曲。,如果数字原型低通滤波器的截止频率,要求的数字低通滤波器的截止频率为,则有：,由此得到所要求的低通滤波器的系统函数为：,1. LPLP：,：要求的截止频率；,2. LPHP：,：要求的截止频率；,3. LPBP：,：要求的上、下截止频

32、率；,4. LPBS：,：要求的上、下截止频率；,例：已知一个数字低通滤波器的系统函数为 若用下图中所示结构代替 中的每一个延时 单元，所得到的系统函数为,V-1,1. V与Z的影射关系？,2.,是一个低通、高通还是带通滤波器？为什么？,解：,(1)设图的输入为,输出为,则有：,系统函数为：,即：,(2)设,则有：,当时,当时,当时,所以 是一个低通滤波器。,4.6 FIR 数字滤波器的设计方法,IIR数字滤波器的特点 设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法简单而有效，能得到较好的幅度特性，特别是双线性变换方法由于没有频谱混叠，因而很受欢迎。 但缺点是它的相位是非线性的，因而不好控制。,

33、FIR数字滤波器的特点,容易得到严格的线性相位。 极点都位于原点，所以系统总是稳定的。 可以采用非递归结构，不会出现递归结构中的极限环振荡现象。 可以用FFT来计算，从而大大提供运算效率。 缺点是为了很好的逼进锐截止滤波器，意味着很长取样响应，从而延时很大，且不一定是样本间隔的整数倍。,4.6.1 FIR滤波器的设计方法 窗函数法,与IIR数字滤波器的设计方法很不一样，它不能利用模拟滤波器的设计方法。 主要有窗函数法、频率取样法和等波纹逼进法等，我们课程主要介绍窗函数法。,理想低通滤波器,先看一个例子，理想低通滤波器的频率响应和单位取样响 应分别为: 和,理想低通滤波器,理想低通滤波器的频率响

34、应和单位取样响应,理想低通滤波器,理想低通滤波器是非因果的，它的单位取样响应是无限 长的。 理想低通滤波器是不稳定的，（因为 不是绝对可 和的） 但是，可以将无限长冲激响应序列截断，得到一个有限长序列，并用它逼进理想低通滤波器。这就是利用窗函数法设计FIR数字滤波器的基本原理。,理想低通滤波器,上面的例子没有考虑理想低通滤波器的时延。设一理想低通滤波器的截止频率为 ，时延为 ，即,对应的冲激响应为,显然， 是以 为中心的无限长非因果序列,矩形窗,逼近的基本条件,现在需要选择一个有限长序列 来逼进 ， 应满足FIR滤波器的基本条件，即它是偶对称或奇对称的，以满足线性相位的要求，它还应当是因果的。

35、这样有 和,时延条件 是为了满足偶对称的要求,加窗相乘,可以把 看作是 与一矩形序列 相乘的结果，如上图所示，即 其中 称为矩形窗。窗函数不一定是矩形窗函数，也可以是其它窗函数，因此一般将 表示为,频谱上卷积,根据傅立叶变换的卷积性质， 的频谱函数可表示为 即FIR数字滤波器的频谱函数是理想低通滤波器的频谱函数与窗函数的频谱的卷积。采用不同的窗函数，对应的 有不同的形状。 矩形窗 的频谱为 其中,，,矩形窗的频谱,矩形窗的频谱 的图形如图所示， 从 到 之间的 称为窗函数频谱的主瓣，主瓣两侧呈衰减振荡的部分称为旁瓣。,理想低通滤波器,理想低通滤波器的频率响应可表示为 其幅度响应 为 所以，FI

36、R数字滤波器的频率响应表示为,加窗后的影响,因此FIR数字滤波器的幅度响应为 上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加窗得到的FIR滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的卷积。应特别注意周期卷积给FIR数字滤波器的幅度响应造成的起伏现象。,加窗后的影响,加窗后的影响,由上图可以看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到两方面的影响。 滤波器的频率响应在不连续点处出现过渡带，它主要是由窗函数频谱的主瓣引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，矩形窗对应的过渡带的宽度 。一般来说过渡带的宽度与 N 成反比。 滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种现象称为 Gibbs 现象，主要是由窗函数的频谱的旁瓣造成的。不同窗函数的频谱的主瓣和旁瓣的形状是不同的。,对窗函数的要求,一般情况下，对窗函数的要求有两点： 旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹。 主瓣宽度尽可能窄，以获得尽可能陡的过渡带。 但是，上述两点的要求是互相矛盾的，不可能同时满足。具体来说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使得旁瓣变高。,窗函数法,用矩形窗截取无限长序列 得到有限长序列 ， 由于突然将 截短，因而破坏了序列 的均匀收 敛性，这意味着人为