工程力学第九章刚度设计新.ppt

1、1,第九章 位移分析与刚度设计,2,细长杆受拉会变长变细，受压会变短变粗,长短的变化，沿轴线方向，称为轴向变形,粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形,一 拉压杆的轴向变形与胡克定律,实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即,引入比例系数E，则,胡克定律,比例系数E称为弹性模量,9-1 杆件的拉压变形,3,P,P,P,P,杆的轴向变形,杆的轴向正应变,横截面上的正应力为,代入胡克定律得,在比例极限范围内，拉压杆的轴向变形 与轴力P及杆长 成正比，与乘积EA成反比。,EA 称为抗拉刚度,轴向变形与轴力具有相同的正负号，即伸长为正，缩短为负,4,二 拉压杆的横向变形与泊松比,P,P,P,

2、P,同理，令,为横向线应变,实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：,5,称为泊松比，是一个材料常数,负号表示纵向与横向变形的方向相反,最重要的两个材料弹性常数，可查表,6,9-2 圆轴扭转变形与刚度条件,一、 圆轴扭转变形,7,比较拉压变形：,公式适用条件：,1）当p（剪切比例极限）公式才成立,2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）,4）对于小锥度圆杆可作近似计算,3）扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）,8,扭转角 与扭矩T，轴长l 成正比,与GIP成反比。乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度，或简称为扭转刚度,二、 圆轴扭转刚度条件,9,扭转刚度条件,已知T 、D 和/，校核刚度,已知T

3、 和/，设计截面,已知D 和/，确定许可载荷,10,例：空心圆轴，外径，内径 ，AB=lmm，m，m， ，求C截面对A、B截面的相对扭转角。,解：一、绘扭矩图：,T,X,4,(kNm),2,二、计算IP：,11,三、计算相对扭转角,12,“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B） 截面逆时针转动。,13,1.挠曲线,9-3 梁的弯曲变形,挠曲线,直梁弯曲后轴线变为曲线，此即挠曲线；它是一条在弯曲平面内的连续光滑的曲线。 挠曲线用挠曲线方程 v=f(x) 表示。,14,2.横截面的两个位移 (1).挠度 (线位移) 用 v 表示 它是横截面形心在 y 的方向的位移； 挠度是代数值，在

4、y 轴上方为正，在 y 轴下方为负。 (2).转角 (角位移) 用 q 表示 它是横截面相对其变形前位置转动的角度； 转角是代数值，从 x 轴起逆时针为正，顺时针为负。,15,挠曲线方程：,转角方程：,16,3、梁的挠曲线近似微分方程式,曲线 的曲率为,17,梁纯弯曲时中性层的曲率：,18,19,梁的挠曲线近似微分方程:,20,4、用积分法求梁的变形,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,21,光滑连续条件：,P,C,22,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,23,解：,由边界条件：,得：,24,梁的转角方程和挠曲

5、线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,25,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,26,解：,由边界条件：,得：,27,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,B,28,5 用叠加法计算梁的变形及刚度条件,一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。当每一项荷载所引起的挠度

6、为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时, 则叠加就是代数和。,29,30,31,例：用叠加法求,32,解：,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加,33,例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,34,解：,35,例：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。,36,解：,37,例： 用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角B（为弹簧系数）。,38,解：弹簧缩短量,39,例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。,40,例： 图示梁处为弹性支座

7、，弹簧刚度 。求C端挠度vC。,41,解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为,(3)C点总挠度为,42,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,43,解：,44,6、梁的刚度计算,刚度条件：,v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,45,例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,46,解：由刚度条件,47,9-4 简单超静定问题,一 静定与静不定,能用静力学平衡方程求解的问题，

8、称为静定问题。 未知力多于平衡方程，用静力学平衡方程不能求解的问题,称为静不定问题（或超静定问题）,静不定问题未知力的数目，多于有效平衡方程的数目，二者之差称为超静定次数,48,二 静不定问题分析,为了求解静不定问题，除了利用平衡方程外，还须研究变形，并借助于变形与内力的关系，建立补充方程（即变形协调条件或变形协调方程）；保证结构连续性所应满足的变形几何方程，称为变形协调条件或变形协调方程。,求静不定问题应考虑三个方面关系： （1）静力学平衡关系 （2）变形几何关系 （3）变形与力之间的物理关系,49,E2A2 l2,E3A3 l3=E2A2 l2,E1A1 l1,50,平衡方程,超静定次数：

9、3-2=1,51,变形协调方程： 各杆变形的几何关系,平衡方程:,52,变形协调方程：,物性关系,结果：由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出,53,例 一杆AB ,在C处受轴向外力P, 已知面积A , 弹性模量E ,求A、B两端的支座反力。,9-4.1 拉压超静定,54,解:（1）列静力学方程 解除约束，设约束反力为RA.RB.列方程：,（2）列变形几何条件 设杆受力P作用后,C点移至 C ，在原有约束条件下，杆AB的长度不变，故此时AC段的伸长lAC 与CB段的缩短lCB 应该相等。由此变形几何条件：,（b）,（3） 列物理条件 由虎克定律：,（c）,（4） 建立补充方程，解出约束反力

10、将式（c）代如式（b），得补充方程,即,联立方程得：,C,55,求静不定问题应考虑： （1）满足静力学平衡关系 （2）满足变形协调条件 （3）符合变形与力之间的物理关系（如在线弹性范围内，即满足胡克定律） 即综合考虑静力学，几何与物理三方面。,三 静不定问题的特点（即静不定问题区别于静定问题的特征）,（1）杆的轴力不仅与外载荷有关，而且与杆的拉压刚度有关（成正向变化）； （2）各杆（或各杆段）的变形须满足变形协调条件。,由于温度变化或杆长存在制造误差，在结构未受力时就已存在的应力， 分别称为热（温度）应力与预应力。,下面看一个由温度变化引起热应力的例子,56,例 杆AB长为l ,面积为A ,材料的弹性模量E和线膨胀系数 ,求温度升高T 后杆温度应力。,（1）列平衡方程 解除约束，设约束反力为RA.RB.列方程：,解：,（2）列变形几何条件,因温度引起的伸长,因轴向压力引起的缩短,（3） 列物理条件,（4） 建立补充方程,57,9-4.2 弯曲超静定,一、静不定梁的基本概念,58,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。,59,二、用变形比较法解静不定梁,例：求图示静不定梁的支反力。,60,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,61,另解：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，变形协调条件为：,62,例：为了提