大一上学期微积分复习资料

1、.1011 学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数一本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 .对于对数函数yln x 不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数yex互为反函数的关系， 能熟练将幂指函数作如下代数运算：u vev ln u . 对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、 值域及简单性质， 还要熟记它们在特殊点的函数值 .4

2、、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、 知道分段函数，隐函数的概念。. 三例题选解例 1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ .yesin 2 x .yarctan(12 )x1分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数） 。解： .ye u, uv 2 , vsinx . y arctan u , u1, v x 21.v例 2. y arc cot x 的定义域、值域各是什么？ arccot1 ？答：yarccot x是 ycot x

3、,x(0,)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域 ， 可 知yarc cot x的 定 义 域 是d f(,) ，值域为 z f(0,) .arc cot14四练习题及参考答案1. f ( x) arctan x则 f( x)定义域为，值域为f(1) =； f (0).2. f ( x ) arcsin x则 f(x)定义域为，值域为f(1) =； f (3 ).23.分解下列函数为简单函数的复合： .ye 3x .yln( x31)答案：1.（ - + ） ,(,) , 0224.2.1,1 ,2223.3. .ye u ,u3 x .yln u ,u

4、 x 31.自我复习：习题一.（ a ）55、；习题一 .（ b ） .11.第二章极限与连续一本章重点极限的计算； 函数的连续及间断的判定； 初等函数的连续性。二复习要求1了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在 x0 点有极限的充要条件是：函数在x0 点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质， 特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：lim10 ,limsinx0x sin0xxxx3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化， 常用的等价无穷小代换有：当 ( x ) 0 时 ,有：sin( x ) ( x

5、) ； tan( x ) ( x )e ( x )1 ( x ) ;ln(1( x) ( x ) ;( x )n 1( x )1n1 cos ( x ) 2 ( x) . . 2（参见教材p79）4.掌握两个重要极限:.( ).lim sin x1x 0x1 ) x1( ).lim(1e lim(1 x ) xxxx 0记住它们的形式、 特点、自变量的变化趋势及扩展形式 (变形式 ).并能熟练应用其求极限， 特别是应用重要极限 ( ) 的如下扩展形式求1型未定式极限：k) xe k1lim(1lim(1kx ) xxxx0k) xe k1lim(1lim(1kx ) xxxx05.掌握函数连续

6、的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x) 在分段点 x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于f ( x0) ，即：lim f ( x )f ( x0 )xx0当分段函数在分段点x0 的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0 处连续的充要条件则是：lim f ( x)lim f ( x ) f ( x0 ).x x0x x06. 掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数f ( x) 在x0 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：、 f ( x ) 在 x0 点无定义；、 limf ( x )

7、 不存在；x x0、存在 limf ( x) ，但 lim f ( x )f ( x0 ) .x x0xx0若 x 0为 f ( x ) 的 间 断 点 ， 当 lim f ( x) 及xx0lim f ( x) 都存在时， 称 x0为 f ( x ) 的第一类间断x x0.点，特别 limf ( x) limf ( x) 时（即 lim f ( x )x x0x x0x x0存在时），称 x 0 为 f ( x ) 的可去间断点；lim f (x)lim f ( x) 时称 x0 为 f ( x ) 的跳x x0x x0跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性

8、质及闭区间上连续函数的性质 ,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材 p69 公式（ 2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则 (第四章 )求函数的极限。三 .例题选解例 1.单项选择题下列极限中正确的是（）a. lim sin xsin 11b.limx1xxx1xc. lim sin x21d.lim tan x1x 0xx 0x 当 x0 时，1 2x21 是 sin 2x 的（）a. 低阶无穷小；b.高阶无穷小；c.同阶无穷小，但不是等价无穷小；d. 等价无穷小；.lim f

9、 ( x)limtan x1 lim f ( x)xx 0x 0x 0即 d 也不对，剩下的 b 就是正确答案。 由于12x21代换2x2x2lim21sin 2 xlimx2lim2x 0x 0x 0 x 应选择 d.例 3.求极限： limln(1x2 )x 01cos x lim( x2) xx x 5解 : 此极限为 0 型0当 x0 时，有ln(1x 2 ) (x 2 ) ,1cosx x22ln(1x 2 )x 22 lim1cos xlimx 2x0x 02 此极限为 1型，可用重要极限。lim( x2) x lim (135) xxx5xx分析与解：a 与记 f (x)则 f

10、(x)c 显然都不对，对于d,tan x，xtan xx0xtan xx0xx53lim (13x)3x5xx53 )x53lim (1x3x 5x x 5e3. ( lim3x lim3x3)xx5xx5 lim f ( x)lim tan x1x 0x 0x例 2判断函数 yx 292的间断点，并xx 6.判断其类型。x29( x（解：由于y3)x +3)2x 6( x3)( x2)x x3,x2是函数 y 无定义的点，因而是函数 y的间断点。 lim( x3)( x3)limx365x 3 ( x3)( x 2)x 3 x2x3 为函数y 的可去间断点； lim( x3)( x3)lim

11、x3x2 ( x3)( x2)x2 x2x2 为函数y 的第二类（无穷型）间断。例 3函数1cos xf ( x )2x0x 2kx0在点 x0 处连续，求常数k .分析与解：由于分段函数f ( x ) 在分段点 x0的左右两边表达式相同，因此f ( x ) 在 x0 连续的充要条件是lim f ( x )f (0)k .x01cos x 代换x 2 limf ( x )lim2lim8x 2x 0x 0x 0 x 21 . k1 .88四 .练习题及参考答案1.填空 .当 x0 时， (ex1)sin 2 x 与( 1 x1)ln(1 2x ) 相比，是_ 无穷小；. . lim( 2 x1

12、 )x_ ；x2 x3cos(3x )1tan x . lim3_.1)ln(1 5x 2 )x 0 (e2 x2.单项选择题设 y( x3)( x2) ，下面说法正确的是x 25 x6_；a.点 x3, x2 都是可去间断点；b.点 x2 是跳跃间断点，点x3 是无穷间断点；c.点 x2 是可去间断点，点x3 是无穷间断点；d.点 x2 是可去间断点，点x3是跳跃间断点；下面正确的是_.a. lim tan x1 ；b.limx sin 10 ；x 0xx 0xc.limtan x不存在； d.limtan x1 .x0xx 0x答案 :1. .同阶而不等价的； . e 2； .3.202.

13、 .c; .b .自我复习 .习题二 (a)11. (4). 24. , (4), .27. . (4).28. , .30. . 37 , .习题二 (b).14.第三章导数与微分一 .本章重点 .导数的概念，导数及微分的计算.二 .复习要求1.掌握函数x 在 x0 处可导的定义， 并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，x 在 x 0 处的导数的定.义式常用的有如下三种形式：f ( x 0 )limf ( x0x ) f ( x 0 )xx 0limf ( x 0h )f ( x 0 )hh0limf ( x )f ( x 0 )xx 0.xx02.知道导数的

14、几何意义，会求x 在 x0 处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法 ,并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；复合函数求导法； 隐函数求导法； 取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三 .例题选解例 1.求下列函数的导数： yf (1 x2 ) ，求 y , y . y = x 3x, 求 y .设 y = etan x ，求 dy . yln(1x 3 ) ,求 y解：、本题为抽象函数求导， 由复合函数求导

15、法，得：y f (1 x 2 )(1 x 2 ) f (1 x2 ) 2 x2 xf (1 x2 ) .y2 f(1 x 2 )2 xf (1 x 2 ) 2 x2 f (1 x 2 ) 4x 2 f (1 x 2 ). 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：ln y3 x ln x上式两边对x 求导，视y 为中间变量 :y =3ln x3 x1y2 3 xxy311yln xx2x 3 x31ln x1x23 x1(lnx1)23 x2注：本题除此方法外，也可以：ye3 x ln xye 3 x ln x (13 ln x3x 1)2 3xx yetan x(tanx)e

16、tan xsec2x . dyetan xsec2xdx .3 x2yx 31y6x(1 x 3 ) 3 x 2 3 x 23 x(2 x 3 )(1x 3 )2(1x 3 )2例 2.设x在 x1处可导 ,且(1)2 .(43x )求 limx1x1分析 : 将x在 x1处的导数的定义式理解为结构式 :(1) = lim(1w)(1)ww 0其中 w为xx1 或x 的函数 . 且当x 0.时 , x 0即可 .解 :(43 x )limx1x 1lim( x1)(3)3( x1)x 13 f(1)6例 3求曲线x 3y33axya3 在点0,a处的切线方程。解：显然，点0,a 在曲线上，现求

17、切线的斜率，即y (0, a)曲线方程两边对x 求导：3 x23 y2y3ay3axy02ayx y (0, a) 1切线方程为：yax即yxae x21例 4、设 f ( x)xx00x0试讨论f ( x ) 在 x0 处的连续性及可导性。分析与解：由已知，f (0)0 ；（ 1）讨论f ( x) 在 x0 处的连续性。limf ( x )limex 210xx0xx2代换limf (0).0x0x f ( x) 在 x 0处连续。.（ 2）讨论f ( x ) 在 x0 处的可导性。分 段 函 数 在 分 段 点 的 导 数 必 须 用 定 义 求 ：（x）f (0)ff () limx0x

18、0e x 21limx0x 0x0lime x21 代换x21x 2limx 2x 0x 0即存在f ()1.四 .练习题及参考答案1.单项选择题ln(1x 2 )x 2x0.设f ( x )1x0下面说法正确的是（） .a. f ( x) 在 x 0 不连续；b. . f ( x) 在 x0连续，但不可导；c.f ( x) 在 x0可导，且f (0)1 ；d. f ( x) 在 x 0 可导，且 f (0) 0 .2.填空题f ( x ) 在 xx0处可导，且f ( x0 )1 , 则（f ( x 0 h )f ( x 0h )1） limh_h03.求函数的导数或微分：1 yx x,求 y

19、 yf ln(1x )( x1),求 y , y ylnx 21 ，求 dy .4.设 y3xcos( xy ) 确定 y 是 x 的函数，求.dydx.，并求出函数在点(0,1) 的切线方程。注意 : 洛必达法则只能直接用于求“0 ”型或0“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式5、证明：（1）若 f ( x) 是偶函数且可导， 那么 f (x)是奇函数， （ 2）若f (x) 是奇函数且可导，那么f ( x) 是偶函数，答案： 1.d.2.23. . y12ln x )x x(1(2). y1fln(1x ) ；x1y1fln(1x )( x1)21fln(1x )( x1)2 . dyx

20、dx .2x14.dy1 y sin( xy )；dx3 y2x sin( xy )切线方程： 3 yx3 .自我复习 :习题三 (a) 13 ； 21, ，； 24. ，；25； 26. , ; 27. ； 29. ，；47. ， 54.习题三 (b)1 ； 3； 11.第四章中值定理与导数的应用一 .本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；二 .复习要求1 知道罗尔定理、 拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。极限，必须将

21、其转化为“0 ”型或“”型未定0式才能使用法则。洛必达法则可以连续使用, 当再次使用法则时 , 一定要检验法则的条件是否成立 , 当条件不满足时必须停止使用 , 改用其他求极限的方法计算 .在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3. 掌握用一阶导数判定函数单调性的方法 , 并能利用函数的单调性证明不等式。4. 掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5. 掌握最值的概念及其与极值的关系, 能熟练求闭区间上连续函数的最大、 最小值； 会求经济应用问题的最值 . 如求最大总收入 , 最大总利润等 .6. 掌握函数的凹向 , 拐点的概念及求曲线凹向 , 拐点的

22、方法 .三 .例题选解例 1. 求下列极限(1).exsin x2x1limx ln(1x )x0(2).limx 2sinxx0(3).lim11xln(1x )x0解：(1)limexsin x2x1( 0 )x0x ln(1x )0代换exsin x22 x1 limx0x洛x( 0) lim ecos x2x02 x0.洛exsin x lim(不是未定式 )x 02= 1 .2(2) 原式为幂指型不定式（ 00 型），利用代数变换： u ve v lnu，得：limx 2sinxlime2si n x ln xx 0x0li m 2si n xln xe x0其中lim2sin x

23、ln x(0)x 0lim 2 xln x（代换）x0lim 2ln x（）x01x2洛xlimx01x2lim(2x )0.原式 e01x0(3) lim11(型)xln(1x )x0= limln(1x )x(通分化为0 型 )x0x ln(1x)0= limln(1x )x（代换）x0xx11lim 1x（洛必达）x02x limx1x ).x0 2 x(12.x例 2.求函数 y1x 2 的单调区间和极值， 凹凸区间和拐点。解：函数 yx的定义域为(,)1x 2(1x22 xx12)x2 ，y(1x2)2(1x2)( 2x )(1x222(1x22x(12)x )y(1x2 )42x(

24、 x 23)。(1x 2 )3令 y(1x )(1x )0，得驻点 x1 ，(1x 2 ) 2x 1；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x(, 1)1 (1,1)1(1, )y00y极小z极大令 y2x( x3)( x3)0(1x 2 )3得 x0,x3 ，无 y不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：x (, 3)3( 3,0)0(0,3)3( 3,)y-0+0-0+yi拐点u拐点i拐点u由上面的讨论看出：函数 yx2 的单减区间为(,1)(1,) ；1x单增区间为 1,1 。极小值是 y(1)1，2.极大值是 y(1)1。2曲线 yx的凸区间是 (,3)(0, 3)x

25、21凹区间是 (3,0)( 3,) 。曲线 yx的拐点有三个：(3,3x2) ，14(0,0) ， (3,3) 。4例 3.证明不等式(1 x )ln(1x )1 x2x( x0)2分析与证： 证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。 这里用单调性来证明。即令f ( x )(1x )ln(1x )1x 2x2则问题转化为证f ( x ) 0f (0)( x 0)即证在 x0 时， f( x ) 单减。 f ( x )ln(11xx1x )x1ln(1x )xf ( x )11x01xx1 x 0时， f( x ) 单减，有f ( x)f(0)0 f ( x) 也

26、单减，有 f ( x )f (0)0 ， 证毕。例 4.证明：对任意 x 1，有arctanx 21arcsin12x分析：本题为恒等式的证明。我们设.f ( x )arctanx21arcsin 1x由拉格朗日定理的推论，若能证明f ( x)0 则f ( x )c ，再确定c 即可。2证：当 x1 时，1( 1 )f ( x)(x21)x1(x 21) 21)21 (x12 x1x 21 x 21 2 x 211x21x110xx21x x 21 f ( x ) c f (1)arctan 0arcsin12 c，证毕！2例 5 求出函数 y x55x 45 x 31 在区间 2,1 上的最大、最小值。解：显然函数yx5 5x 4 5 x 3 1 在闭区间 2,1 上连续，因而必存在最大、最小值。y5x 420 x 315 x