基于上证综指的GARCH模型验证

1、基于上证综指的GARCH的验证摘要：股票定价理论是一种以不确定性条件下股票资产定价及股票市场均衡为主要研究对象的理论，金融市场证券价格波动具有随时间变化的特点,有时相当稳定,有时波动异常激烈，因其在现实生活中具有广阔的应用领域，已成为近几十年来经济学中最为活跃的一个分支，吸引了许多专家学者致力于这方面的研究。恩格尔( Engle) 于1982 年提出自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroskedastic) 模型对方差进行建模，来描述股票市场的波动聚类性和持续性。1986 年波勒斯勒夫（Bollerslev） 提供了一个对干扰方程限制较小的设定形式

2、, 这就是广义自回归条件异方差性模型 Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity , GARCH （p,q）。现如今，我国股票市场通过采用GARCH 模型方法进行研究的,主要集中在对沪、深两市的收益率进行拟合以检验股市的波动性。 关键字： ARCH（1）；ARCH（q）；GARCH模型 ；模型验证一、引言ARMAM模型应用广泛，但是它有一个很重要的局限性必须假定波动率为一个常数。在金融中这个局限性是一个障碍。在本文中我们来研究GARCH时间序列模型，由于其波动的波动率具有随机性，它在金融学中的应用越来越广泛。ARMA模型是

3、用来对现有的观测值Yt的条件期望进行建模，ARMA模型通过将Yt表示成过去观测量的线性函数以及与白噪声项之和的形式来完成上述建模。ARMA模型允许我们在过去值金额现在值的条件下对未来观测值进行预测。在Yt，Yt-1的条件下Yt+1的条件期望。然而ARMA模型的条件方差很复杂在给定过去值的条件下，Yt的条件方差也为常数。当对股票收益建模时，这意味着，假设我们已经注意到最近每日收益的变化不寻常。我们也许假定明天的收益比一般情况下波动更多。然而，我们用ARMA过程对收益建模，由于条件方差为常数，我们不能捕捉到其行为方式。从而，如果我们要对金融时间序列中常见的非常数的波动率进行建模时，我们需要更好的时

4、间序列模型。ARCH是指自动回归条件异方差性。在ARCH模型中的条件方差结构与AR模型中的条件期望的结构相似。首先我们来介绍ARCH（1）模型，这是一种最简单的GARCH模型且与AR（1）模型相似。通过以上分析可以看出，ARCH 模型及其扩展模型都可以用来描述和解释股票市场股价波动随时间变化的行为，但它们具有各自的特点。ARCH 模型的主要功能在于解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性，并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构。由于ARCH 模型的系数都大于零，表明过去的波动冲击对市场未来波动有着正向而减缓的影响，因此波动会持续一段时间，从而模拟了市场波动的聚集

5、现象，但是模型没有说明波动的方向。从预测的角度来看，当存在ARCH 效应时，使用ARCH模型较之假定方差为常数来讲，可以提高预测值的精度。GARCH模型是ARCH模型的扩展，因此GARCH具有ARCH(q)模型的特点。GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。在一定条件下，GARCH 模型可以转化为无限阶的ARCH 模型，与无限（或高阶）的ARCH模型相比，GARCH 模型的结构更为简洁，因此可以替代描述高阶ARCH过程，从而使得模型具有更大的适用性。ARCH 模型和GARCH 模型有助于分析股价波动是否呈现聚集效应（条件异方差效应），刻画收益率分布的

6、宽尾特征，在实践中应用较为广泛。二、ARCH模型ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel）最早由恩格尔（Engle）于1982年提出，ARCH模型的目的就是刻意预测误差的条件方差中可能存在的某种相关性。ARCH模型的主要思想是：扰动项ut的条件方差依赖于它的前期值ut-1的大小。1.ARCH（1）过程假定为高斯白噪声，其方差为1，即令该过程为相互独立的服从N（0,1）的过程，那么有以及过程为ARCH（1）过程，如果成立，要求，因为标准差不能为负。若为具有有限方差的平稳过程，则应要求。如果，那么为平稳的，但是其方差为，方程可以

7、写成这与AR（1）形式相同，只是将改为，同时乘以一个均值为1的噪声，而非加上一个均值为0的噪声。事实上，ARCH（1）模型导出的的ACF值与AR（1）模型导出的ACF值相同。为在既定的过去值条件下的条件方差。因为与相互独立且对方程的理解对于理解GARCH如何工作是很重要的。这个方程表明如果与它的期望值0偏离很大，即很大，从而的条件方差比其他值要大。从而，我么也希望与它的均值0有很大的偏差。因为的方差较大使得值很大，因此有表达的趋势。同样，如果很小，那么很小，我们也希望很小。由于这种行为，的异常波动率有持续不变的趋势，尽管不是永远不变。如果，其条件方差会回到非条件方差值，因此该过程为具有一个有限

8、方差的平稳过程。非条件方差，例如的边缘方差记作，可以由方程得到当时，方程有一个正解如果，则是无限的。这种情况下仍然是一个平稳过程，积分的GARCH模型满足。用方程直接计算，可以得出的ACF为事实上，任何一种能够满足目前观测值在过去值条件下的条件期望值为常数的过程是非相关过程。在统计学引论过程中，独立意味着零相关，但并不是逆方法。GARCH过程的条件均值为常数，条件方差为非常数，就是一个不相关但是非独立的过程。条件方差对过去观测值的依赖是该过程非独立的原因。条件观测值对过去观测量的独立是该过程非相关的原因。尽管是非相关的，与白噪声过程类似，过程的ACF值更有趣。如果，那么如果，那么为非平稳过程，

9、从而它就没有ACF值。2.ARCH（q）过程令为方差为1的高斯白噪声过程。如果那么为一ARCH（q）过程。其中它表示在该过程过去值条件下的条件标准差与ARCH（1）过程类似，ARCH（q）过程是非相关的，其均值为常数（条件的或非条件的），其非条件方差为常数，但是其条件方差为非常数。事实上，的ACF值与AR（q）过程的ACF值相同。三、GARCH模型1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方差函数的拓展形式，即广义ARCH模型GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity），这被证明是对实际工作的开展

10、非常有价值的一步。ARCH（q）模型的不足之处在于：条件标准差过程有高频率的震荡，这种震荡在短期突发中有高的波动里。GARCH模型允许一个更宽范围的行为。特别是，允许更多持久的波动率。GARCH（p，q）模型是其中 （1）因为过程的过去值在目前值中得以反馈，条件标准差在高或低的波动率是会表现出更长的持续阶段，这时相对于ARCH过程的。过程是一个非相关过程，该过程有平稳的均值和方差，且的ACF值与ARMA过程的ACF值相同。ARCH模型是GARCH模型的一个特例，我们用“GARCH”这一词语，它既包括ARCH模型也包括GARCH模型。更为一般的时间序列模型为GARCH（），并且用作为ARIMA（

11、）模型的噪声项。1.数据描述“上证综指”全称“上海证券交易所综合股价指数”，是上海证券交易所编制的，以上海证券交易所挂牌的全部股票为计算范围，以发行量为权数的加权综合股价指数，是国内外普遍采用的反映上海股市总体走势的统计指标。该指数以1990年12月19日为基准日，基日指数定为100点，自1991年7月15日开始发布。该指数反映上海证券交易所上市的全部A股和全部B股的股份走势。其计算方法与深综合指数大体相同，不同之处在于对新股的处理。在本文中，我们使用上证综指来表示上海股票市场的走势情况。因此本文选取2010 年1月1日到2015年4月3日间每交易日的收盘价作为样本, 样本数为1763实证分析

12、的结果通过R 软件获得。主要是研究上证指数收益率。收益率定义：2.实证分析可以通过ts.plot()函数和它的差分直方图可以看出日收益率的波动表现m时变性、突发性和集簇性特征。图1：上证综合指数日收益率的波动 图2：上证日收益率差分的直方图图3：上证指数日收益率的时间序列图，ACF图调用fUnitRoots程序包对d.r的单位根检验运行结果：Title: Augmented Dickey-Fuller TestTest Results: PARAMETER: Lag Order: 1 STATISTIC: Dickey-Fuller: -44.3511 P VALUE: 0.01 Descri

13、ption: Thu Jul 09 17:45:34 2015 by user: lTitle: Augmented Dickey-Fuller TestTest Results: PARAMETER: Lag Order: 1 STATISTIC: DF: -44.3511 P VALUE: t: 1e-04 n: 2.23e-06 Description: Thu Jul 09 17:45:34 2015 by user: lP值小于0.05，则拒绝原假设。调用fBasics程序包对日收益率进行正态性检验运行结果：1 0.attr(,method)1 moment kurtosis(d.r

14、)1 2.attr(,method)1 excess jarqueberaTest(d.r)Title: Jarque - Bera Normalality TestTest Results: STATISTIC: X-squared: 299.6294 P VALUE: Asymptotic p Value: |t|)mu 0. 0. 1.09850 0.27199ar1 0. 0. 0.34262 0.73189ma1 -0. 0. -1980.77104 0.00000omega 0. 0. 0.58619 0.55775alpha1 0. 0. 5.16583 0.00000beta1

15、 0. NA NA NARobust Standard Errors: Estimate Std. Error t value Pr(|t|)mu 0. 0. 0.79489 0.42668ar1 0. 0. 0.34926 0.72690ma1 -0. 0. -498.21377 0.00000omega 0. 0. 0.10812 0.91390alpha1 0. 0. 0.74930 0.45367beta1 0. NA NA NALogLikelihood : 3811.512 Information Criteria- Akaike -5.9898Bayes -5.9695Shiba

16、ta -5.9898Hannan-Quinn -5.9822Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals- statistic p-valueLag1 0.1695 0.6805Lag2*(p+q)+(p+q)-15 0.6784 1.0000Lag4*(p+q)+(p+q)-19 3.2843 0.8430d.o.f=2H0 : No serial correlationWeighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals- statistic p-valueLag1 1.27

17、2 0.2595Lag2*(p+q)+(p+q)-15 4.242 0.2254Lag4*(p+q)+(p+q)-19 6.586 0.2363d.o.f=2Weighted ARCH LM Tests- Statistic Shape Scale P-ValueARCH Lag3 0.5752 0.500 2.000 0.4482ARCH Lag5 2.4858 1.440 1.667 0.3735ARCH Lag7 3.9587 2.315 1.543 0.3526Nyblom stability test-Joint Statistic: 40.505Individual Statist

18、ics: mu 0.06091ar1 0.08833ma1 0.40156omega 27.78463alpha1 0.47430Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)Joint Statistic: 1.28 1.47 1.88Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75Sign Bias Test- t-value prob sigSign Bias 0.4532 0.6505 Negative Sign Bias 0.8443 0.3987 Positive Sign Bias 0.7785 0.4364 Joint Ef

19、fect 1.7649 0.6226 Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:- group statistic p-value(g-1)1 20 73.63 2.272e-082 30 84.81 2.244e-073 40 99.54 3.390e-074 50 109.76 1.496e-06Elapsed time : 0. 图4：日收益率标准化残差图像 图5：日收益率的QQ图四、GARCH模型在金融中的应用经济学家在与商业和金融数据打交道的过程中，发明了GARCH模型，并且其在金融中的应用也很广泛。Bollerslev，Engle和Nelson（1

20、994）的评论文章中列出数百种参考书目。金融模型诸如CAPM以及布莱克-斯科尔斯模型假定条件方差为常数。当这个假设不成立时，采用这些模型会导致严重的错误。从而，将GARCH误差包括在内的金融模型的普遍原理已成为一个研究的话题。GARCH模型在期权定价方面的应用是一个很有希望的研究领域。Ritchken和Treodr(1999)在假定相对价格为GARCH过程时，采用多项式方法对欧式和美式期权定价。这种模型是对价格的几何随机游走的概括。在多项式方法中，每个结论并不像是二叉树中那样产生两个新的节点，而是2n+1个新的节点（n1），从而，在每个节点至少产生3个新的节点（n=1）。Ritchken以及T

21、revor的算法，它是当基础财产的价格适用GARCH模型时，为期权定价而采用的一种方法。在GARCH模型下，当形成一种期权定价的方法时，人们可以通过非线性回归对期权数据建立模型来找出蕴含的GARCH参数。这与寻找布莱克-斯科尔斯模型中隐含的波动率相似，尽管它们之间也存在着不同。其中一个不同是，在布莱克-斯科尔斯模型中，只有一个参数，常数波动率。而在GARCH模型中却有若干个参数，这些参数决定条件波动率的演化。另一个不同是布莱克-斯科尔斯模型中每一种期权都有它各自蕴含的波动率 ，使得布莱克-斯科尔斯价格与市场价格几乎相等。当对GARCH模型进行拟合时，对应于每一个期权，人们不去寻找其蕴含的GAR

22、CH参数。相反，对于期权的大集合，蕴含的GARCH参数可以通过最小二乘残差法得到，这是市场观测价格与GARCH定价模型给出的价格之间的不同。当然，人们可以通过最小二乘残差法对期权集中寻求一个单一的蕴含的波动率，这是布莱克-斯科尔斯定价与观测价格之间的区别。然而，由于波动率，这导致了较大的定价偏差。GARCH定价的成功之处是它解释了波动率微笑。当期权由GARCH期权定价模型标定价格时，就不存在偏差性了。这是一个很好的指示，它说明了波动率微笑是由于应用了具有常熟方差的几何随机游走模型而产生的。五、小结一个平稳的过程的边缘分布或非条件分布是指该过程中的一个观测量在未知先前观测值信息或未来观测值信息时

23、的分布。在平稳性的假设下，边缘分布必须时常数。除去边缘分布，我们也很关注下一观测值在本过程或其他过程中现在值和过去值在当前信息集合下的分布情况。对于ARMA过程，条件均值是非常数，但是条件方差为常数。ARMA过程的常数条件方差使得它们不适合对金融市场的波动率进行建模。GARCH过程的条件方差为非常数，它用来对变动的波动率建模。GARCH过程可以作为ARMA过程的“噪声”项。ARMA/GARCH过程既含有一个非常数条件方差。GARCH以及ARMA/GARCH过程可以通过极大似然估计对其进行估计。最简单的ARCH（q）模型有突变的波动率进行模型。广义的ARCH（GARCH）模型可以对持久的波动率建

24、模，一个GARCH过程的边缘分布比正态分布有厚尾。事实上，对某一确定的参数值，一个GARCH过程有无限的方差，这是厚尾的一个极端情况。I-GARCH模型是一种具有无限方差的GARCH模型。如果有无限的边缘分布，那么随着样本容量的增加，样本方差收敛到无穷。对极端厚尾，边缘期望值可能不存在，那么样本均值也就不存在收敛点，样本均值无目的地游动。通过上证股市的波动特征，对每日收益率的研究得到如下一些结论： （1）上证综合指数总体持上升趋势，收益率浮动较大；（2）上证综合指数收益率序列呈右偏尖峰厚尾的分布特征，且显著异于正态分布；（3）上证综合指数ARCH模型的峰度系数较大，表明我国股票市场具有较强的投

25、机色彩，这是一个市场尚不成熟完善的表现，也反映了在我国，人们还未能建立起市场经济体制下所应具备的投资意识；（4）上证综合指数呈现出明显的条件异方差特性，所以应用GARCH能成功得出上证指数收益率的方差波动性的变化规律；从以上的结论中可以体会到，我国股票市场的发展还很不健全，噪音偏多，各种各样非市场的因素往往左右着市场的整个走势，这在一个成熟市场是不应该出现的，从而充分地说明了我国股市还存在很多弊端，要走上健康规范的轨道还有一段很长的道路，因此迫切需要社会各界人士的共同努力。对政府而言，仍要大力加强法制法规的建设，加强市场监管，按照市场经济的规律扶植培育股票市场；对广大投资者而言，要努力提高自身

26、素质，减少对股票的盲目侥幸认识，培养起应有的投资意识；对股市的研究人员，应该敞开门路，积极吸收西方发达国家成熟股市的先进经验和理论，运用于我国股票市场，以起到理论带动实践发展的作用。附录：#取出数据data - read.csv(D:xsh.csv)r=data,2#差分做直方图d.r=diff(r)par(mfrow = c(1, 1)hist(d.r,prob=T,col=0)lines(density(d.r),lty=3)x=seq(-1,1,0.001)lines(x,dnorm(x,mean(d.r),sqrt(var(d.r),lty=1)title(main=(d.r直方图),line=0.5)legend(-0.06,35,c(样本密度,正态密度),lty=c(3,1)#d.r的单位根检验library(fUnitRoots)adf.usd=adfTest(d.r)ur.usd=unitrootTest(d.r)#正态性检验library(fBasics)skewness