概率论与数理统计复习要点

1、第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：，事件A发生必有事件B发生；等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；互不相容（互斥）： ，事件A与事件B一定不会同时发生。互逆关系（对立）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足注：互不相容和对立的关系（

2、对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；事件的交：，事件A与事件B都发生； 事件的差：，事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德摩根（De Morgan）定律： 对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1) 非负性：(2) 规范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.则称P(A)为随机事件A的概率.2概率的性质若，则注：性质的逆命题不一定成立的. 如若则。

3、（）若，则。（）三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点, 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式： 4.全概率公式：若，则。5.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的独立1. 定义：.推广：若相互独立，2. 在四对事件中，只要有一对独立，

4、则其余三对也独立。3. 三个事件A, B, C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：练习：一、 判断正误1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若 则。（X）3.。 (X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。()5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（）二、选择题1设A, B为两事件，则P(A-B)等于 ( C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB)2 以A表示事件“甲种

5、产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 ( D )A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”3若A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 ( A ) A. P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A)4设，则等于 ( B ) A. B. C. D. 三、解答题1.解：(1) 因为A，B不相容，有所以(2) 因为A，B独立，所以,2.已知且求的值.解：由概率乘法公式得 3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中

6、女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.求先抽到的一份是女生表的概率p。解: 设表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2表示“报名表是取自第j区的考生”, j=1,2,3. 根据题意得第二章 随机变量及其分布一、随机变量的定义设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时，(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，则.2. 分布函数性

7、质：（1）F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 1)解: (1)由概率密度的性质得故A=20.(2)当x0时，当0x1时，当x1时, 所以X的分布函数为 第三章 随机变量的数字特征一、期望（或均值）1定义： 2期望的性质： 3. 随机变量函数的数学期望4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质；常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；二、方差1方差 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散

8、(集中)。2方差的性质(4) 对于任意实数CR，有 E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有或 3. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1. 若XB(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;2. 若3. 若XU(a, b), 则4. 若5. 若三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩：（总体）X的k阶中心矩：练习 一、判断正误：1.只要是随机变

9、量，都能计算期望和方差。( X )2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的X,Y，都有成立。( X )二、选择题1.则的值为（ B ） A. 4, 0.6； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.12.随机变量X的数字期望为2，方差等于4，则ED(X), DE(X)的值分别为( D ) A. X, X； B. 2, 4； C. 4, 2； D. 4, 0.3. 两个独立的随机变量X, Y的方差分别为4和2，则随机变量X

10、-2Y的方差等于:( C ) A. 0； B. 8； C. 12； D. 无法计算.4.则对于任意的常数c, 有（D ）； ； 5.，则对于任意给定的有（ D ） 三、填空题1.设则的数学期望为_。四、计算题1.设X的概率密度为试求.解：故2游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行。一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望. 解：因故其概率密度为由题意得所以第四章 正态分布一、正态分布的定义1. 正态分布 ，其概率密度为其分布函数为 注：.正态密度函数的几何特性： 2. 标准正态分布当

11、时，其密度函数为且其分布函数为 的性质：3.正态分布与标准正态分布的关系定理：若 则.定理：设则二、正态分布的数字特征设 则1. 期望E(X) 2.方差D(X) 3.标准差三、正态分布的性质1线性性. 设则；2可加性. 设且X和Y相互独立，则3线性组合性 设，且相互独立，则四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立，服从相同的分布，且则对于任何实数x，有定理解释：若满足上述条件，有（1）；（3）2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设则定理解释：若当n充分大时，有（1）；（2）练习：一、判断题1.若则（ X ）2.若则 （ ）二、选择题1.若则（ B ）A1 B. 6 C. 5

12、 D. 无法计算2.若且相互独立，则服从（ C ）分布. A. N(0,1) B. N(-6,-1) C. N(-6,13) D. N(-6, -5)3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：三、填空题1.已知连续随机变量X的概率密度函数为则X的数学期望为_1_; X的方差为_1/2_.四、计算题1. 解：得由独立同分布的中心极限定理， 第五章 数理统计的基本知识一、总体 个体 样本1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X. 2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。注： 样本是

13、一个n维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性： 代表性：中每一个与总体X有相同的分布. 独立性：是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F(x)，则样本的联合分布函数为(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为(2) 设总体X的概率函数为, 则样本的联合概率函数为二、统计量1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注：（1）统计量是随机变量； （2）统计量不含总体分布中任何未知参数； （3）统计量的分布称为抽样分布.2. 常用统计量（1）样本矩样本均值 ； 其观测值 .可用于推断：总体均值

14、E(X).样本方差 ; 其观测值 可用于推断：总体方差D(X).样本标准差 其观测值 样本k 阶原点矩其观测值 样本 k 阶中心矩其观测值 注：比较样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E(X)；样本方差与总体方差D(X)；样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩与总体k阶原点矩. 前者是随机变量，后者是常数.(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，则 3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、3大抽样分布(1) 定义.设相互独立，且，则注：若则（2）性质（可加性）设相互独立，且则2. t分布设X 与Y 相互独立,且则注：t分布的密度图像关于t=0对称；

15、当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).3. F分布（1）定义. 设X与Y相互独立，且则(2) 性质. 设则.四、分位点定义：对于总体X和给定的若存在，使得则称为X分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法（1）分布的分位点 （2）分布的分位点 其性质： （3）分布的分位点其性质（4）N(0,1)分布的分位点有第六章 参数估计一、点估计1. 定义 设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计量作为参数的估计，则称为的点估计量，为的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2.求总

16、体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤： 求出总体矩,即； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程： 解上述方程（或方程组）得到的矩估计量为： 的矩估计值为：3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为（或），其中参数未知，则X的样本的联合概率函数（或联合密度函数）（或）称为似然

17、函数.3. 求最大似然估计的步骤：（1）求似然函数:X离散： X连续： （2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估计值：（4）最后得到最大似然估计量：4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.四、估计量的评价标准1.无偏性设是未知参数的估计量，若，则是的无偏估计量，是的无偏估计值。1. 有效性设和是未知参数的无偏估计量，若，则称比有效。练习一、 判断题(1) 若是来自总体X的样本，则相互独立. （ ）(2) 不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( )(3) 样本矩与总体矩是等价的。（ X ）(4) 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )(5) 设总体，则估计量分别是的无偏估计量.( X )二、选择题1.设X1,X2 ,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X1,X2 ,Xn必然满足（ C ）.A. 独立但分布不同； B. 分布相同但不相互独立;C. 独立同分布; D. 不能确定.2.下面不是统计量的是（ D ） 3. 若且X，Y相互独立，则服从（ A ）分布.A. F(1,4) B. t(2) C. N(0,1) D. F(4