信号与系统J3连续时间信号与系统的频域分析.ppt

1、连续时间信号与系统的频域分析,The Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time Signals and Systems,3 The Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time Signals and Systems,3.1 LTI Systemss Reponses to Complex Exponential Signals 3.2 Continuous-Time Fourier Series 3.3 The Continuous-Time Fourier Transform 3.4 Propert

2、ies of Continuous-Time Fourier Transform 3.5 Duality 3.6 The Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time LTI Systems 3.7 Summary,3.1 LTI系统对复指数信号的响应 3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数 3.3 连续时间傅里叶变换 3.4 连续时间傅里叶变换的性质 3.5 对偶性 3.6 连续时间LTI系统的频域分析 3.7 本章小结,3 连续时间信号与系统的频域分析,3.1 LTI系统对复指数信号的响应,3.1 LTI Systemss Reponses to

3、Complex Exponential Signals,研究LTI系统时，往往将信号表示成基本信号的线性组合， 且这类基本信号有两性质 (1) 由这些基本信号能构成相当广泛的一类有用信号 (2) LTI系统对每一个基本信号的响应十分简单，使系统对任意 输入的响应求解很方便 连续时间复指数信号与离散时间复指数信号具有这两个性质 若一个信号通过系统后的输出响应仅仅是幅度发生变化，则 称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值,3.1 LTI Systemss Reponses to Complex Exponential Signals,复指数est是连续时间LTI系统的特征函数，常数H

4、(s)是与特征 函数est有关的特征值 如果s=jw，则,复指数zn是离散时间LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征 函数zn有关的特征值 如果z=ejw，则,3.1 LTI Systemss Reponses to Complex Exponential Signals,从后面讨论可知，H(s)和H(jw)分别是连续时间LTI系统单位 冲激响应h(t)的双边拉普拉斯变换和连续时间傅里叶变换 H(z)和H(ejw)分别是离散时间LTI系统单位冲激响应hn的双 边变换和离散时间傅里叶变换,3.1 LTI Systemss Reponses to Complex Exponential Sig

5、nals,假设连续时间LTI系统的某个输入是由若干个不同s值的复指数信号的一个线性组合，即 该LTI系统对其中每一个复指数的响应为 根据LTI系统的线性性质，系统对x(t)的响应为 除了加权因子以外，y(t)和x(y)有相同的线性结构,3.1 LTI Systemss Reponses to Complex Exponential Signals,假设离散时间LTI系统的某个输入是由若干个不同z值的复指数信号的一个线性组合，即 该LTI系统对其中每一个复指数的响应为 根据LTI系统的线性性质，系统对yn的响应为 除了加权因子以外，yn和xn有相同的线性结构,3.1 LTI Systemss R

6、eponses to Complex Exponential Signals,作为一般复指数信号集est或zn的一个子集，周期复指 数信号集ejwt或虚指数序列ejwn，也同样满足这类基本 信号所要求的性质 后续将证明复指数信号集及其子集能够构成相当广泛的信号 因此，这类信号集可以分别作为分析连续时间与离散时间LTI系 统的基本信号，从而可以很方便地构造系统对任意输入的响应,3.1 Continuous-Time Fourier Series,3.1.1Fourier Series Representation of Continuous- Time Periodic Signals 3.1.

7、2 Convergence of Continuous-Time Fourier Series 3.1.3Examples of Continuous-Time Fourier Series 3.1.4Properties of Continuous-Time Fourier Series,3.1连续时间傅里叶级数,3.1.1周期信号的傅里叶级数表示 3.1.2傅里叶级数的收敛性 3.1.3典型周期信号的傅里叶级数 3.1.4连续时间傅里叶级数的性质,本节讨论将连续时间周期信号表示为周期复指数信号集ejwt的线性组合，即傅里叶级数表示,3.1.1 Fourier Series Represen

8、tation of Continuous-Time Periodic Signals,3.1.1周期信号的傅里叶级数表示,常数项 基波分量或一次谐波分量 二次谐波分量 N次谐波分量,周期信号的傅里叶级数表示,3.1.1 Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals,ak=?,3.1.1 Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals,系数ak往往称为傅里叶级数系数或者称为x(t)的频谱系数， 对x(t)中每一个谐波分量的大小作

9、出度量 系数a0就是x(t)中的直流或常数分量，为 这就是在一个周期内的平均值,3.1.2傅里叶级数的收敛性,3.1.2 Convergence of Continuous-Time Fourier Series,傅里叶级数展开是有条件的 如果傅里叶级数的系数时不收敛，或者将傅里叶级数的系数 代入后不收敛于原来的周期信号，则周期信号不能用傅里叶 级数表示 狄里赫利得到了一组傅里叶级数展开的条件： 条件1：在任何周期内，必须绝对可积 条件2：在任意有限区间内，具有有限个最大值和最小值 条件3：在任意有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些 不连续点上，函数值有效 我们所关注的信号基本都能满足这些

10、条件，因此，傅里叶级数 能够表示相当广泛的一类周期信号,3.1.3典型周期信号的傅里叶级数,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,指数信号和正弦信号是特殊的周期信号 周期方波信号是信号与系统分析中经常遇到的 从周期方波信号的傅里叶级数展开可以分析连续时间周期信号 频谱系数的特点,时,时,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,当占空比50%时，即T=4T1,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,引入抽样函数Sa(t)，

11、即 Sa(t)是偶函数， 周期方波信号的频谱系数为,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,占空比50%,占空比25%,占空比12.5%,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,离散性：周期方波信号的频谱是离散的线状频谱 谐波性：频谱只出现在w0的整数倍频率上，即各次谐波频率 上，两谱线间隔为w0 ，与T成反比，随着T增加，谱 线靠近 收敛性：周期方波信号包含无穷多谱线，即分解为无穷多频 率分量，随着频率增加，谱线幅度趋势收敛，但主 要能量集中在第一零点以内，频宽与时宽呈反比 幅

12、度正比于T1，反比于T 每分量幅度一分为二，正负频率对应的位置上各为一半，加 起来才代表一个分量的幅度，负频率完全是数学运算结果， 无物理意义,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,T1 无穷小的情况 占空比100%的情况,频宽与时宽呈反比,3.1.3 Examples of Continuous-Time Fourier Series,Gibbs现象,用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时， 在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量 超量的幅度不会随所取项数的增加而减小，只 是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断 点处压缩，从而使它

13、所占有的能量减少,3.1.4 Properties of Continuous-Time Fourier Series,3.1.4连续时间傅里叶级数的性质,1Linearity 2Time Shifting 3Time Reversal 4Time Scaling 5Multiplication and Convolution 6 Differentiation and Integration 7 Conjugation and Conjugate Symmetry 8 Parsevals Relation,1线性 2时移 3时间反转 4尺度变换 5相乘与卷积 微分与积分 共轭与共轭对称性 8

14、 帕斯瓦尔定理,3.1.4.1 线性,3.1.4.1 Linearity,x(t)与y(t)为两个周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数分别 为ak与bk，即 则x(t)与y(t)的线性组合依然是周期的，周期为T ，且傅里叶 级数系数为ak与bk的同一线性组合，即 且线性性质可推广到任意多个具有相同周期信号的线性组合,3.1.4.2 Time Shifting,3.1.4.2 时移,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则x(t)产生时移后所得信号x(t-t0)依然是周期的，周期为T ， 且傅里叶级数系数bk的模保持不变，仅仅产生一个线性相移， 即,3.1.4.3 Time

15、Reversal,3.1.4.3 时间反转,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则x(t)反转后所得信号x(-t)依然是周期的，周期T 不变，且傅 里叶级数系数bk也产生一个频率的反转 ，即 若x(t)为偶函数，即x(t) = x(-t) ，其傅里叶级数也为偶序列，即 若x(t)为奇函数，即x(t) = -x(-t) ，则,3.1.4.4 Time Scaling,3.1.4.4 尺度变换,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则x(t)尺度变换后所得信号x(at)依然是周期的，周期为T/a，傅里叶级数系数不变 ，即 但由于基波周期发生变化，基波频率变

16、为aw0 ，即,3.1.4.4 Time Scaling,3.1.4.5 相乘与卷积,3.1.4.5 Multiplication and Convolution,x(t)与y(t)为两个周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数分别 为ak与bk，即 则x(t)与y(t)的乘积依然是周期的，周期为T ，且傅里叶级数 系数为ak与bk的卷积，即,3.1.4.5 Multiplication and Convolution,3.1.4.5 Multiplication and Convolution,3.1.4.5 Multiplication and Convolution,x(t)与y(t)为两个

17、周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数分别 为ak与bk，即 则x(t)与y(t)的周期卷积依然是周期的，周期为T ，且傅里叶 级数系数为ak、bk和T的乘积，即,3.1.4.5 Multiplication and Convolution,3.1.4.6 Differentiation and Integration,3.1.4.6 微分与积分,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则对x(t)微分后所得信号依然是周期的，周期为T，傅里叶级数 系数为ak与jkw0 的乘积，即 意味着，时域微分运算在频域中达到增强高频、减弱低频效果 即信号经微分后突出了它的变化部分，没有变化

18、的部分微分 结果为0。 若是图像信号，微分运算的结果就是突出图像的边缘轮廓,3.1.4.6 Differentiation and Integration,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则在ak=0时，对x(t)积分后所得信号依然是周期的，周期为T，傅里叶级数系数为ak与jkw0 的商，即 意味着，时域积分运算在频域中达到增强低频、减弱高频效果 即信号经积分后平滑了信号的变化部分 利用积分运算可消弱混入信号的毛刺（噪声）的影响,3.1.4.6 Differentiation and Integration,3.1.4.7 Conjugation and Conjug

19、ate Symmetry,3.1.4.7 共轭与共轭对称性,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则x(t)的共轭x*(t)依然是周期的，周期为T，傅里叶级数系数为 ak的共轭再反转 ，即 若x(t)为实信号，x*(t)= x(t)，则频域共轭对称，即 实信号的频谱幅度、实部偶对称，相位、虚部奇对称，即,3.1.4.7 Conjugation and Conjugate Symmetry,若x(t)为实信号，则 若x(t)为实偶信号，则其频谱也是实偶的，即 若x(t)为实奇信号，则其频谱是虚奇的，即 对于一般的实信号，有,3.1.4.8 Parsevals Relation

20、,3.1.4.8 帕斯瓦尔定理,x(t)为周期信号，周期为T，且傅里叶级数系数为ak，即 则x(t)的总平均功率等于它的全部谐波分量ak的平均功率之和， 即 意味着一个周期信号的平均功率既可以在时域计算，也可以 在频域计算,3.2.1The Fourier Transform for Aperiodic Signals 3.2.2Convergence of Fourier Transforms 3.2.3Examples of Fourier Transforms 3.2.4The Fourier Transform for Periodic Signals,3.2The Continuou

21、s-Time Fourier Transform,3.2.1非周期信号的傅里叶变换 3.2.2傅里叶变换的收敛性 3.2.3典型信号的傅里叶变换 3.2.4周期信号的傅里叶变换,3.2连续时间傅里叶变换,3.2.1 The Fourier Transform for Aperiodic Signals,3.2.1非周期信号的傅里叶变换,以矩形信号为例,3.2.1 The Fourier Transform for Aperiodic Signals,连续时间傅里叶变换,与周期信号傅立叶级数对比有,更一般地,3.2.1 The Fourier Transform for Aperiodic Si

22、gnals,连续时间傅里叶反变换,3.2.1 The Fourier Transform for Aperiodic Signals,非周期信号可以分解成无数多个振幅为X(jw)dw/2、频率连续 分布的复指数信号之和,频谱密度函数,连续时间 傅立叶变换对,周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本 非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络,3.2.1 The Fourier Transform for Aperiodic Signals,傅里叶变换不仅针对信号，而且适用于LTI系统的单位冲激响应 连续时间LTI系统的单位冲激响应h(t)与其频率响应H(jw)为一对 傅里叶变换对,连续时间L

23、TI系统的频率响应,3.2.2Convergence of Fourier Transforms,3.2.2傅里叶变换的收敛性,当周期趋于无穷大时，由周期信号的傅立叶级数的极限引出 傅立叶变换，傅立叶变换的收敛问题就应该与傅立叶级数的 收敛问题相一致 与周期信号情况一样，当非周期信号x(t)的傅立叶变换存在 时，其傅立叶变换在x(t)的连续处收敛于信号本身，在间断点 处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象,3.2.3Examples of Fourier Transforms,3.2.3典型信号的傅里叶变换,相同形式周期矩形信号傅里叶级数为 显然，周期信号的频谱是对应的非周

24、期信号频谱的样本， 而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络,3.2.3Examples of Fourier Transforms,频宽与时宽呈反比关系,3.2.3Examples of Fourier Transforms,进一步体现了频宽与时宽呈反比关系 (t) 包括了所有的频率成分，所有频率分量具有相同的幅度 与相位 因此，系统的单位冲激响应h(t) 才能完全描述一个LTI系统的 特性， (t)才在信号与系统分析中具有如此重要的意义,恒等系统的频率 响应全通,3.2.3Examples of Fourier Transforms,理想低通滤波器的频率响应,3.2.3Examples

25、 of Fourier Transforms,信号在时域和频域之间存在一种对偶关系,3.2.3Examples of Fourier Transforms,3.2.3Examples of Fourier Transforms,3.2.3Examples of Fourier Transforms,实偶信号的傅立叶变换是实偶函数 此时可以用一幅图表示信号的频谱 比较单边指数信号时域的对称关系及频域的虚实关系,3.2.3Examples of Fourier Transforms,信号的带宽 由信号频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量 另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性 因而

26、，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有 频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分 的频率分量有效传输即可 为此，需要对信号定义带宽,3.2.3Examples of Fourier Transforms,信号的带宽 通常有如下定义带宽的方法: X(jw)下降到最大值的 时对应的频率范围，此时带内信号 分量占有信号总能量的1/2 对包络是Sa(w)形状的频谱，通常定义主瓣宽度（即频谱第一 个零点内的范围）为信号带宽 以矩形脉冲为例，按照带宽的定义，可以得出时宽与频宽的 乘积等于常数C（脉宽带宽积） 清晰地反映了频域和时域的相反关系,3.2.4 The Fourier Tra

27、nsform for Periodic Signals,3.2.4周期信号的傅里叶变换,用傅立叶级数表示周期信号，用傅立叶变换表示非周期信号 某些情况下，数学描述方法的不一致会带来不便 周期信号不满足 Dirichlet 条件，不能直接从定义出发，建立 其傅立叶变换,周期性复指数信号的频谱是一个冲激,3.2.4 The Fourier Transform for Periodic Signals,周期性信号,其频谱,周期信号的傅立叶变换表示,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成 每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度 正比于对应的傅立叶级数的系数,3.2.4 The Fourie

28、r Transform for Periodic Signals,例1：,例2：,3.2.4 The Fourier Transform for Periodic Signals,例2：,3.2.4 The Fourier Transform for Periodic Signals,例3. 周期矩形信号,3.3 Properties of Continuous-Time Fourier Transform,3.3连续时间傅里叶变换的性质,1Linearity 2Time Shifting 3Time Reversal 4Time Scaling 5Multiplication and Con

29、volution 6 Differentiation and Integration 7 Conjugation and Conjugate Symmetry 8 Parsevals Relation,1线性 2时移 3时间反转 4尺度变换 5相乘与卷积 微分与积分 共轭与共轭对称性 8 帕斯瓦尔定理,3.3.1线性,3.3.1 Linearity,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,3.3.2 Time and Frequency Shifting,3.3.2时移与频移,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,信号的时移只影响其相频特性，相频特性增加一个线性相移,3.3.3 Time R

30、eversal,3.3.3时间反转,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,信号时域的反转产生频域的反转,若x(t)为偶函数，即x(t) = x(-t) ，其傅里叶变换也为偶函数，即 若x(t)为奇函数，即x(t) = -x(-t) ，则傅里叶变换也为奇函数,3.3.4 Time and Frequency Scaling,3.3.4尺度变换,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩 a倍，反之亦然 从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽 带宽积等于常数的结论 时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）,3.3.4 Time and

31、 Frequency Scaling,3.3.5 Multiplication and Convolution,3.3.5 相乘与卷积,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,相乘性质,3.3.5 Multiplication and Convolution,3.3.5 相乘与卷积,频移性质是相乘性质的特例,通信中的调幅、检波与变频均是频移性质的应用,相乘性质,3.3.5 Multiplication and Convolution,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,卷积性质,3.3.5 Multiplication and Convolution,由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频

32、域进行分析成为可能 本质上，卷积特性正是由于复指数信号是LTI系统的特征函数,卷积性质,表明可将x(t)分解成复指数分量线性组合，每个ejwt通过LTI系统 时都要受到系统与ejwt对应的特征值的加权。这个特征值就是,故,所以,3.3.5 Multiplication and Convolution,由于h(t)的傅氏变换H(jw)就是频率为w的复指数信号ejwt通过LTI 系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的 频率响应 鉴于h(t)与H(jw)是一一对应的，因而LTI系统也可以由其频率响应 完全表征 由于并非任何系统的频率响应H(jw)都存在，因此用频率响应表征 系统时，

33、一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了,卷积性质,3.3.5 Multiplication and Convolution,根据卷积特性，可以对LTI系统进行频域分析，其过程为,卷积性质,3.3.5 Multiplication and Convolution,某LTI系统，输入信号与单位冲激响应分别为,卷积性质,3.3.6 Differentiation and Integration,3.3.6 微分与积分,意味着，时域微分运算在频域中达到增强高频、减弱低频效果 即信号经微分后突出了它的变化部分，没有变化的部分微分 结果为0。 若是图像信号，微分运算的结果就是突出图像的边缘轮廓,连续时间

34、傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,将微分运算转变为代数运算,微分性质,3.3.6 Differentiation and Integration,微分性质,微分器,某LTI系统,3.3.6 Differentiation and Integration,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,意味着，时域积分运算在频域中达到增强低频、减弱高频效果 即信号经积分后平滑了信号的变化部分 利用积分运算可消弱混入信号的毛刺（噪声）的影响,积分性质,将积分运算转变为代数运算,3.3.6 Differentiation and Integration,积分性质,积分器,某LTI系统,3.3.6 Differ

35、entiation and Integration,频域微分与积分性质,时域微分,频域微分,时域积分,频域积分,3.3.7 Conjugation and Conjugate Symmetry,3.3.7 共轭与共轭对称性,若x(t)为实信号，x*(t)= x(t)，则频域共轭对称，即 实信号的频谱幅度、实部偶对称，相位、虚部奇对称，即,连续时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,3.3.7 Conjugation and Conjugate Symmetry,若x(t)为实信号，则 若x(t)为实偶信号，则其频谱也是实偶的，即 若x(t)为实奇信号，则其频谱是虚奇的，即 对于一般的实信号，有,3

36、.3.8 帕斯瓦尔定理,3.3.8 Parsevals Relation,意味着一个周期信号的平均功率既可以在时域计算，也可以 在频域计算,意味着一个非周期信号的能量既可以在时域计算，也可以 在频域计算,3.4对偶性,3.4Duality,变换对的对偶,若,则,3.4Duality,性质的对偶,若,则,例如: 利用时移特性有 对偶有,根据,得,频移性质,同理可由时域微分性质对偶出频域微分性质 由时域积分性质对偶出频域积分性质,3.5The Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time LTI Systems,3.5.1连续时间LTI系统的频率响应 3

37、.5.2由线性常系数微分方程表征的系统 3.5.3无失真传输 3.5.4理想滤波器,3.5.1The Frequency Response of Continuous-Time LTI Systems 2.5.2Systems Described by Linear Constant- Coefficient Differential Equations 2.5.3Undistorted Transmission 2.5.4Ideal Filters,3.5连续时间LTI系统的频域分析,3.5.1The Frequency Response of Continuous-Time LTI Sys

38、tems,3.5.1连续时间LTI系统的频率响应,H(jw)就是频率为w的复指数信号ejwt通过LTI系统时，系统对 输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应 对于稳定系统而言，h(t)与H(jw)是一一对应的，因而稳定的 LTI系统也可以由其频率响应完全表征 根据卷积特性，可以对LTI系统进行频域分析，其过程为 线性系统只会改变原有频率成分的相对大小，不会产生新的 频率成分 如果需要产生新的频率成分，则需要通过非线性系统,3.5.1The Frequency Response of Continuous-Time LTI Systems,互联系统的频率响应 级联 并联,3.5.1T

39、he Frequency Response of Continuous-Time LTI Systems,互联系统的频率响应 反馈联结,3.5.1The Frequency Response of Continuous-Time LTI Systems,频率响应H(jw)可以通过对h(t)求傅里叶变换求得，也可以由 表征LTI系统的线性常系数微分方程直接求得,3.5.2 Systems Described by Linear Constant- Coefficient Differential Equations,3.5.2由线性常系数微分方程表征的系统,工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入

40、输出关系可以由一个 线性常系数微分方程描述。一般形式为: 由于ejwt是一切LTI系统的特征函数，因此 ，当系统的输入为 x(t)=ejwt时，系统所产生的响应就是y(t)=H(jw)ejwt。可以在 x(t)=ejwt的情况下，求解线性常系数微分方程得到H(jw) 但是这种方法很少使用,3.5.2 Systems Described by Linear Constant- Coefficient Differential Equations,对线性常系数微分方程两边进行傅立叶变换有 根据 得,3.5.2 Systems Described by Linear Constant- Coefficient Differential Equations,可见由线性常系数微分方程描述的LTI 系统其频率特性H(jw) 是一个有理函数 对于由线性常系数微分方程描述的LTI系统，可以通过对H(jw) 做傅里叶反变换得到 对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行,3.5.2 Systems Described by Linear Constant- Coefficient Differential Equat