《理学高数辅导》PPT课件.ppt

1、高 数 辅 导,高 等 数 学,函数与极限 导数 积分 级数,. 函数与极限 一. 函数 对应关系, 定义域, 值域, 初等函数, 复合函数, 反函数 例1 y= 定义域: x0 值域: 0y1 反函数: x=-ln(1-y2), 0y1,例2 f(x)= , g(x)=x2+1,f-1(x)= f(x) f(g(x)= , g(f(x)=,函数的特性,1有界性 上界 f(x)M 下界 f(x)M 有界 f(x)M 2单调性 3奇偶性 4周期性,二. 极 限,1. 定义 数列的极限 N 函数的极限 X (x-, x) , 左极限, 右极限,2. 无穷小量与无穷大量,无穷小量: lim(x)=0

2、 无穷大量: 极限不存在的一种情况 X(x)是无穷大量 当且仅当 1/X(x)是无穷小量 lim f(x)=A 当且仅当 (x)=f(x)-A是无穷小量,无穷小量的比较:,高阶无穷小 =o(): 低阶无穷小: 同阶无穷小: 等价无穷小:,例3 当x0时,x, sinx, 1-cosx, ex-1, ln(1+x) 都是无穷小 sinx x,ex-1 x,3. 两个重要极限,4. 性质,1数列收敛必有界 2如果lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则lim (f(x)+g(x)=A+B, lim (f(x)-g(x)=A-B, lim (f(x)g(x)=AB, lim (f(x)/g

3、(x)=A/B, B0,如果 且在x0的某个邻域0x-x0内g(x)a, 则,3收敛准则,夹逼准则 如果ynxnzn (n=1,2,) 且 ， 则 单调有界数列必有极限,三. 连续性和间断点,1. 连续性 1在x0处连续 左连续, 右连续 2初等函数在定义域内连续 3闭区间上连续函数的性质 必取到最大值和最小值 推论: 必有界 介值定理,2. 间断点,3种情况 1f(x0)没有定义 2 不存在 3,第一类间断点: 左,右极限存在 可去间断点: 存在, 但f(x0) (含f(x0)没有定义),例,x=0是第一类间断点,x=0是可去间断点 令,第二类间断点,无穷间断点 , 在x=0处 震荡间断点

4、, 在x=0处,. 导数,一. 定义 1. 导数 , 2. 高阶导数 , 可导必连续, 反之不真. 例如, y=x, 在x=0处连续, 但不可导.,二. 导数计算,基本初等函数的导数 ,2. 和、差、积、商的求导公式,3. 复合函数求导公式,设y=f(u), u=g(x), y=F(x)=f(g(x), 则,4. 反函数求导公式,设y=f(u)的反函数x=g(y) 则,5隐函数求导,设y=y(x)由F(x,y)=0确定，,例 ey+xy=1,解 eyy+ y + xy=0 y=,6. 参数方程求导,例1. (x2sinx)= 2xsinx+x2cosx,2. 3. (sin2x)=2cos2x

5、 4. (e-x)= -ex,例2 设xy=ex+y, 求,解 y+xy= ex+y (1+ y) y=,例3 设 求 ,解,三. 微分,dy= y的线性主部: y=Ax+o(x), A= 微分形式不变性 dy=,四. 中值定理与泰勒公式,1. 罗尔定理 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a)= f(b), 则存在ab, 使 =0 2. 拉格朗日定理 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 则 存在ab, 使,3. 泰勒公式,设f(x)在(a,b)内有n+1阶导数,x0(a,b), 则,麦克劳林公式,五. 应用,导数瞬时变化率 速度, 加速度, 密度等

6、1. y=f(x)在(x0, f(x0)的切线方程 y-f(x0)= (x-x0) 法线方程 y-f(x0)= (x-x0),例1. y=ex在(0, 1)处的切线方程和法线方程,解 切线方程: y-1=x, 即y=x+1 法线方程: y-1=-x, 即y+x=1,例2 曲线在t=/4处的切线方程和法线方程,解 切线方程 法线方程,2. 洛必达法则,型, 型的极限 例,3. 函数的单调性,蕴涵 f(x)单调增加 蕴涵 f(x)单调减少 但反过来可能 =,例 证明：当x0时，,证一 令 f(0)=0, 故当x0时，f(x)f(0)=0, 即,证二 取 f(x)=,4. 曲线的凹凸与拐点,凹的:

7、切线斜率单调增加 凸的: 切线斜率单调减少,蕴涵 凸的 蕴涵 凹的,拐点: 凸凹的分界点 拐点的必要条件:,5. 极值,极大值: 存在0, 对所有的00, 对所有的0f(x0) 必要条件: 设f(x)在x0处可导，若x0是极值点, 则 , 即x0是驻点.,充分条件1,且 在x0的两边异号, 则 x0是极值点. 当x从左到右通过x0时, 由正变负, 则x0是极大值点; 由负变正, 则x0是极小值点,充分条件2,若 且 , 则 x0是极值点. 当 时, x0是极大值点. 当 时, x0是极小值点.,6. 最大值与最小值,在a, b上取到最大值、最小值的可能点: 驻点, 不可导点, 边界点,7. 渐

8、近线,水平渐近线: 渐近线 y=A 垂直渐近线: 渐近线 y=x0 斜渐近线: y=ax+b, 其中,. 积分,一. 不定积分 1. 概念 原函数: 不定积分: 原函数的全体,2. 性质,3. 基本积分公式,4. 换元积分法,第一类换元积分法(凑微分法) 设 则,例,第二类换元积分法,例,5. 分部积分法,例,积分结果的验证,例 1.,二. 定积分,1. 定义 f(x)在a, b上有定义, 任取分点a=t0 t1tn=b, ti=ti-ti-1, iti-1, ti, i=1,2,n, =maxti, 当a=b时, 当ab时,2. 性质,1可积的充分条件: f(x)在a, b上有界且只有有限个

9、间断点. 2 3对区间的可加性,4若f(x)g(x), ab,则 推论1. 若在a, b上f(x)0, 则 推论2. 若在a, b上mf(x)M, 则,5积分中值定理,设f(x)在a, b上连续, 则存在ab使,3. 变上限定积分,如果f(x)在a, b上连续, 则 即是f(x)的一个原函数,例1.,2.,4. 牛-莱公式,设f(x)在a, b上连续, F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例,5. 换元积分法与分部积分法,例1,例2,三. 广义积分,1. 定义 无穷区间上的广义积分无穷积分,无界函数的广义积分瑕积分,例,当p1时收敛, 当p1时发散.,当p1时收敛, 当p1时发散.,四. 应

10、用,一般模式,1.面积,曲边梯形的面积 2. 旋转体的体积 由以y=f(x)0(axb)为顶的曲边梯形饶x轴旋转得到的旋转体的体积,例1 由 与y=x-4围成的区域 的面积,解1 解得 y=-2,4 交点: (2,-2), (8,4),解2,例2 椭园 绕x轴旋转得到的 旋转体体积,解,3. 曲线的弧长,曲线 y=f(x) (axb) 弧微分,参数方程,例 圆的周长,解:直角坐标方程 取第一象限,极坐标方程,4. 物理上的应用,路程 变力作功 物体的质量 水压力 引力.,. 级数,一. 常数项级数 1. 概念,例 当q1时,等比级数收敛.,当p1时, 收敛; 当p1时, 发散. 调和级数(p=

11、1) 发散.,正项级数: 所有un0,交错级数: un的符号正负相间 绝对收敛: 如果 收敛, 则称 绝对收敛. 条件收敛: 收敛, 但不绝对收敛. 例 条件收敛,2. 性质,1若 收敛, 则un0. 反之不真 2若 收敛, 则 收敛, 且,3在级数中去掉、加上或改变有限项, 收敛性不变.,4若级数收敛, 对项任意加括号, 仍收敛. 但反之不真, 如(1-1)+(1-1)+ 5绝对收敛必收敛.,3. 审敛法,(1) 正项级数 1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和有界. 2比较审敛法 设正项级数 , 且unvn, n=1,2,.若 收敛, 则 收敛; 若 发散, 则 发散.,3比值审敛法,设

12、 则当1(或)时, 发散; 当=1时, 不定. 4根值审敛法 设 则当1(或)时, 发散; 当=1时, 不定.,例1.,(3) 交错级数,莱布尼兹定理 如果 a. unun+1, n=1,2, b. un0 (n), 则交错级数u1-u2+u3- (-u1+u2-u3+)收敛 如 收敛,二. 幂级数,1. 函数项级数 收敛点, 发散点, 收敛域 和函数,2. 幂级数,收敛半径R: 当xR时发散. 收敛域: -R,R, (-R,R), 收敛区间: (-R,R) 当R=0时, 仅在x=0收敛, 当R=时, 在所有点收敛.,收敛半径的求法,例1 , 收敛区间: (-1, 1) 收敛域:,例2,收敛域: (-, +),3. 幂级数的运算,1四则运算 两个幂