向量组的线性相关性.ppt

1、第四章 向量组的线性相关性,第一节 向量组及其线性组合,一、n 维向量,二、向量组与矩阵,三、向量组的线性组合,四、等价向量组,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、n 维向量1、概念,例如,2、n 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：,注意,1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；,3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,3、向量的线性运算,1) 加法：,2) 数乘：,

2、叫做 n 维向量空间,时 , n 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,1、若干个同维数的列向量组成的集合叫做列向量组,2、,二、向量组与矩阵,若干个同维数的行向量组成的集合叫做行向量组,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,4、反之，由有限个同维向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,5、线性方程组的向量表示,三、向量组的线性组合,1、,线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,2、,3、定理,四、等价向量组,向量组 A 与B 等价,向量组 能由向量组 线性表示,1、定义3,第二节 向量组的线性相关性,提问:“否则,线性无关”是什么意思?,1.定义4,一、线性相关、线性

3、无关,则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关,1) A含一个向量时:a=0,则A线性相关, a 0, A线性无关,3) A含三个向量时:,2) A含两个向量时:,向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,2.等价定义,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,注: A 线性相关未必 A 中任何向量可由其余向量线性表示.,a=(1,1,0),b=(-1,-1

4、,0),c=(0,0,1),则a,b,c 线性相关,但c 不可由a,b线性表示.,定理4,推论,解,例,解,例,分析,例: t为何值时,向量组 线性相关?,证,定理5,证明,5.几个简单结论:,说明,证明,第三节 向量组的秩,一、最大线性无关向量组,二、矩阵与向量组秩的关系,三、向量组秩的重要结论,、定义,一、最大线性无关向量组,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组 (简称最大无关组).,最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩,记为RA,最大无关组的等价定义:,(),(),2、,3、,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,1. 最大无关组的求法:,说明,具体求法 将矩阵 A 用初

5、等行变换化为行阶梯形矩阵 B , 即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列 , 其对应于A 所在的列向量就是一个最大无关组.,结论,三、向量组秩的重要结论,推论,第四节 线性方程组的解的结构,一、齐次线性方程组解的性质,二、基础解系及其求法,三、非齐次线性方程组解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成矩阵方程,若,称为方程组(1) 的,解向量，它也就是矩阵方程(2)的解,若记,齐次线性方程组解的性质,（1）若 为 的解，则,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,基础解系就是齐次线性方程组的解集的最大无关组.,定理7,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组,的通解为,例4 求解方程组,解,