第二章1一阶逻辑基本概念.ppt

1、1,在命题逻辑中，把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理：,退出,2,所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则有 P，QR,3,然而，(PQ)R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的内部

2、成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑是无能为力的。,4,命题逻辑的局限性,单用一个字母表示一个命题，描述不深刻，揭示不出原子命题内部的含义； 命题演算对命题中量的概念无法表示。 有些简单的推理问题，在命题逻辑中无法解决；问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单命题之间，而是体现在构成简单命题的内部成分之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。 在研究某些推理时，对原子命题进一步分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基本内容。,5,2.1一阶逻辑基本概念 2.2一阶逻辑合式公式及解释 2.3一阶逻

3、辑等值式,第二章 一阶(谓词)逻辑,6,2.1一阶逻辑基本概念 （个体词、谓词和量词）,在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在一阶逻辑中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为个体词或客体，把谓语称为谓词。,7,例如：吴华是大学生，用P表示， 李明是大学生，用Q表示。 “是大学生”用A（x）表示：x是大学生，命题符号含有个体词变量。 a表示吴华，A（a）表示吴华是大学生。 b表示李明，A（b）表示李明是大学生。 相当于“是大学生”，用A（）来表示，这就是谓词。,8,例：张三比李四高， 用H

4、（x,y）表示x比y高。 a:张三b:李四 H（a,b）：张三比李四高 H（b,a）：李四比张三高 x,y,a,b表示个体，H（ ,）是谓词，这个谓词涉及了两个个体，是二元谓词。,9,.个体词、谓词和命题的谓词形式 定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体词；用以描述个体词的性质或个体词间关系的部分，称为谓词。 个体词，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示具体或特定的客体的个体词，称为个体常元，以a，b，c或带下标的ai，bi，ci表示；表示抽象或泛指的个体词，称为个体变元，以x，y，z或xi，yi，zi表示。,10,个体域：个体变项的

5、取值范围。 （分有限集合和无限集合） 全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。,11,谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体之间的关系。 表示具体性质或关系的谓词 ，称为谓词常元；表示抽象或泛指的性质或关系的谓词 ，称为谓词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，或其带上、下标来表示。,12,例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。 设S(x)：x是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。 又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京

6、和广州是三个个体，而“位于和之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。 设P(x,y,z)：x位于y和z之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。,13,注：区分：谓词与运算。 虽都是自变量取自个体域上的函数，但函数值不同，运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。,14,定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体常项(如a1，a2，an)表示成P(a1，a2，an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中，P(b,a

7、,c)是假。,15,.原子谓词公式 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常项被替换成个体变项，如x1,x2,xn，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。 定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变项(如x1，x2，xn)组成的P(x1，x2，xn)，称它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而个体变项的论述范围，称为个体域或论域。,16,当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，。特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。,17,n元谓词不是命题，只有其中的个体变项用特定个体或个体常项

8、替代时，才能成为一个命题。但个体变项在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。 例如，令S(x)：x是大学生。 若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真的； 若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是假的； 若x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)是真值是不确定的。,18,通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变项x的取值范围，并把P(x)称为特性谓词

9、。,19,.量词 利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题，例如S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工，那么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在一阶逻辑中，需要引入用以刻划“所有的”、“存在一些”等表示不同数量的词，即量词，其定义如下：,20,定义2.1.4 符号称为全称量词符，用来表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一个”、“一切”等词语；x称为全称量词，称x为指导变项。 符号称为存在量词符，用来表达“存在一些”、“至少有一个”、“对于一些”、“某个”等词语；x称为存在量词，x称为指导变项。,

10、21,*符号!称为存在唯一量词符，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为存在唯一量词，称x为指导变项。 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。,22,例 试用量词、谓词表示下列命题： 所有大学生都热爱祖国； 每个自然数都是实数； 一些大学生有远大理想； 有的自然数是素数。,23,解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有远大理想，P(x)：x是素数。 则例中各命题分别表示为： (x)(S(x)L(x) (x)(N(x)R(x) (

11、x)(S(x)I(x) (x)(N(x)P(x),24,在该例的解答中，由于命题中没有指明个体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。 注：量词与特性谓词的搭配还有一定规律，即全称量词后跟一个蕴含式，而特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。 说明：命题符号化之前，必须明确个体域的范围。,25,如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词，例如在、中令个体域为全体大学生，则可符号化为： (x)L(x) (x)I(x) 在和中的个体域为全部自然数，则可符号化为： (x)R(x) (x)P(x),26,思考： 如何将“没

12、有不吃饭的人.”在一阶逻辑中符号化？ 解：M(x):x是人. F(x):x吃饭. (1)(x)(M(x)F(x) (2)(x)(M(x)F(x),27,（5）所有的正数均可开方。 解： 1.若个体域为全体正实数R+，S（X）：X可以开方， 则命题符号化为：xS（x） 2.若个体域为全体实数集R，G（x , y）：xy， 则命题符号化为：x(G(x , 0） S(x) 3.若个体域为全总个体域D, R(x): x是实数，则符号化为： x(R(x)G(x , 0) S(x),28,注： 1)使用时，特性谓词后用 ，即(x)(A(x)B(x)表示对所有具有性质A的x，都具有性质B； 2)使用时，特性

13、谓词后用, 即(x)(A(x)B(x)表示存在着x，具有性质A且具有性质B； 在全总个体域讨论某类事物需引入特性谓词； 全称量词和存在量词的意义随个体域的不同而不同。,29,谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词中所有个体变项都量化了，则该谓词就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考虑命题的真值了。,这如同数学中的函数f(x)， 的值是不确定的，但 可确定其值。,30,含量词的谓词的真值规定 说明：不含量词的谓词公式G（x），它不是命题，而是命题函数，其真值依赖于x从个体域中取的个体词的不同而不同。 例：D表示某班全体学生，G（x）表示x是男生。 则G（李刚）是真，而G

14、（王芳）是假。 而 xG（x）与xG（x）是命题了，x仅是一个“指导变项” xG（x）与 yG（y）意义完全相同。 xG（x）：全班每个人均是男生。 xG（x）：全班存在一个人或（一部分人）是男生。 含量词的谓词公式的真值不再依赖于x的选取了。,31,（1） xG（x）的真值规定 xG（x）的命题是“对任意xD，均有G（x）” xG（x）的真值为1，当且仅当，对一切xD，G（x）真 值均为1； xG（x）的真值为0，当且仅当，存在x0D， G（x0）真 值为0。,32,（2） xG（x）的真值规定 xG（x）的命题是“存在一个x0D，使得G（x0）成立” xG（x）的真值为1，当且仅当存在x0D，G（x0）的真值为1。 xG（x）的真值为0，当且仅当，对一切xD，G（x）的真值为0。,33,注：对于一个谓词，如其每个变量均在量词的管辖下，则该谓词不是命题函数，而是命题了，它有确定的真值了。（闭式） 量化命题的真假与论域有关，可借助循环与搜索来思考。 (1)如果D是有限集,谓词公式中的量词可以用逻辑联结