工程力学10弯曲应力.ppt

1、工程力学 第10章,弯曲应力,中国石油大学（北京）,2,弯曲应力,3,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,引言,4,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,引言,5,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲(Pure Bending):,引言,6,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一

2、、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,平面弯曲时梁横截面上的正应力,7,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。 （可由对称性及无限分割法证明）,3.推论,2.两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,8,4. 几何方程：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,9,（二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态,（三）静力学关系：,平面弯曲时梁横截面上的正应力,10,（对称面）, (3),平面弯曲时梁横截

3、面上的正应力,11,（四）最大正应力：, (5),回字框,z,x,I,M y,=,s,平面弯曲时梁横截面上的正应力,例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,13,求应力,平面弯曲时梁横截面上的正应力,14,求曲率半径,平面弯曲时梁横截面上的正应力,某圆轴的外伸部分系空心截面，载荷情况和几何尺寸，如图所示，几何尺寸单位为mm，A、B两点为铰支，求CD中点截面处的弯矩和最大正应力？,解：计算简图如下图所示,AC、CD、DB、B

4、E各段除端点外没有载荷，则弯矩在这四段为直线，A、E两点弯矩为零，只要求出C、D、B三点弯矩，就可求出最大弯矩，CD段弯矩为直线，所以CD中点弯矩就是C、D两点弯矩的平均值，为了求出C、D、B三点弯矩，先求支座反力。,求CD中点截面处的弯矩,17,截面C的弯矩最大，但是截面B的抗弯截面系数小，所以，最大弯矩可能发生在C点或者B点。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,18,一、 矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设： 剪应力与剪力平行；距中性轴等距离处，剪应力 相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d

5、 M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,梁横截面上的剪应力,19,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由剪应力互等,其中h为梁的深度,梁横截面上的剪应力,20,剪应力方向：与横截面上剪力方向相同； 剪应力大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；,梁横截面上的剪应力,21,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截

6、面宽度。,梁横截面上的剪应力,槽钢：,23,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和剪应力强度条件,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,24,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,25,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应

7、比值时，要校核剪应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,、校核强度：,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,26,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=3m,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,求最大应力并校核强度,应力之比,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm, y2=88mm

8、,Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,30,二、梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,31,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,32,梁的正应力和剪应力强

9、度条件 梁的合理截面,33,工字形截面与框形截面类似。,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,34,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2、根据材料特性选择截面形状,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,35,（二）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,36,几何方程与物理方程不变。,非对称截面梁的平面弯曲,37,依此确定正应力计算公式。,剪应力研究方法与公式形式不变。,弯

10、曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O）,非对称截面梁的平面弯曲,38,槽钢：,非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。,非对称截面梁的平面弯曲,弯曲中心的确定:,(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。,(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。,(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。,(4)求弯心的普遍方法：,40,作业 刘鸿文材料力学第四版 P165习题： 5.2;5.3;5.4;5.12;5.18;5.28,第10章 弯曲应力,41,本章结束,42,第10章 弯曲应力 公

11、式总结,1.弯曲正应力,弯曲正应力变化规律,中性层曲率,弯曲正应力,最大弯曲正应力,43,第10章 弯曲应力 公式总结,2矩形截面上梁的弯曲剪应力,其中，b为矩形截面宽度， 为欲求剪应力的点平行于底（也可能是顶）边的直线，与底（也可能是顶）所夹面积对矩形截面形心轴的静矩,3矩形截面梁的最大剪力发生在中性轴上,4.圆形截面梁的最大剪力发生在中性轴上,44,第10章 弯曲应力 公式总结,梁弯曲正应力强度条件,梁弯曲剪应力强度条件,第05章弯曲应力习题,5.2简支梁承受均布载荷作用，如图所示,若分别采用面积相等的实心和空心圆截面,且实心圆的直径为 ，空心管的外径内径分别为 ， ,分别计算它们的最大正

12、应力并做比较,解:先计算空心圆的内外径,因为空心圆与实心圆的面积相等,所以,在均布载荷作用下的简支梁,最大弯矩产生在梁的跨度中间截面上,最大应力发生在梁跨度中点处截面的上下边缘上 实心圆截面梁的最大正应力,空心圆截面梁的最大正应力,两种截面梁最大应力比较,在均布载荷作用下的简支梁,最大剪力产生在梁端点截面上,5.3某圆轴的外伸部分系空心圆截面,载荷工况如图所示,做该轴的弯矩图,并求轴的最大正应力,解: 1.求反力,2.关键点弯矩,3.弯矩图,4.惯性矩和抗弯截面系数,5.最大应力,5.4矩形截面悬臂梁如图所示,已知 ,确定此梁的截面尺寸,解：此梁的最大弯矩,惯性矩和抗弯截面系数,强度条件决定几何尺寸,5.5 已知20a工字梁的惯性矩 ，抗弯截面系数 ，支承情况和受力情况如图所示， ，求最大载荷,解 1.支座反力,2.关键点弯矩,3.弯矩图,强度条件决定载荷,5.12倒T形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示，材料的拉伸许用应力为 ，压缩许用应力为 ，截面对形心轴的惯性矩 ， ，试计算梁的许可载荷F，并求