《高等数学》教学课件：第五节 导数的应用

1、第三章 一元函数的导数、微分及其应用,第一节 导数的概念 第二节 导数的运算 第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理 第五节 导数的应用,2020年9月15日星期二,2,一、罗必达法则,二、函数的单调性的判定,第五节,导数的应用,三、函数的极值,四、曲线的凹凸性,五、函数图形描绘,3,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,罗必达法则,一、罗必达法则,4,1、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(罗必达法则),5,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用罗必达法则 !,6,注.,1. 定理 1 中,换为,之一,2.,若,理1条件,则,条件 2) 作

2、相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,罗必达法则,7,例2. 求,解:,原式,8,例3. 求,解.,9,2、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(罗必达法则),10,注: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,11,例4. 求,解:,原式,例5. 求,解:,原式,12,3、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例6. 求,解: 原式,13,解: 原式,例7. 求,通分,取倒数,取对数,14,例8. 求,解:,通分,取倒数,取对数,15,内容小结,罗必达法则,16,二、函数的单调性的判定,若,定理 3. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证:

3、 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,17,例9. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,18,例10. 讨论函数 的单调性,解. 函数,在,内连续，,时，,当,当,时，,不存在.,在,内，,，函数,单调减少；,内，,，函数,单调增加.,在,19,例11. 证明,时, 成立不等式,证. 令,，则,时，,所以,上单调递增，又因为,所以,即,时，,.,20,1、函数的极值及其求法,定义1:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极

4、小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,三、函数的极值,21,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,22,定理 4 (极值的必要条件 ),设,在点,处具有导数，且在,处取得极值，那么,(证明略),23,定理 5 (极值的第一充分条件 ),且在空心邻域,内有导数,(证明略),24,例12. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,25,定理6 (

5、极值的第二充分条件 ),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,(证明略),26,例13. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,27,2、函数的最大值与最小值,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,28,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点

6、或最小值点 .,(小),29,例14. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,30,( k 为某一常数 ),例15. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为,问 D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,使货物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,距 A 处20 Km ,工厂修公路,31,例16. 设有一块边长为10m的正方形铁皮，从,解: 设小块边长为 m

7、，则方盒的底边长为( )m,令,四个角截去同样大小的正,方形小方块，做成一个无盖的方,盒子，小方块的边长为多少才能使盒子容积最大？,方盒容积,，,得函数 有,内的唯一驻点，又,所以,是函数在,内的唯一极大值点，,故当剪去的小方块的边长为,时，盒子的容积最大.,32,定义2 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,四、曲线的凹凸性,33,定理7.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶

8、导数,(证明略),34,例17. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,35,例18. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,36,例19. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,37,若,则曲线,有水平渐

9、近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例20. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,五、函数图形描绘,1、 曲线的渐近线,38,斜渐近线,若,39,例21. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,40,2、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,41,例22. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),42,例23. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),43,(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,44,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,45,思考与练习,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,46,拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,47,罗必达(1661 1704),法国数学家