节点导纳矩阵计算

1、第一章 导纳矩阵的计算简介1.1变压器的型等值电路在电力系统潮流计算中，往往要计算节点导纳矩阵，而我们计算节点导纳矩阵采用节点电压法来实现，如在变压器构成的电力系统中，需要将变压器模型转变成变压器型等值电路（见图1-1），在利用电路知识列节点电压方程，从而导出所需的导纳矩阵。jik:1ji图1-1双绕组变压器的型等值电路（i，j为节点）而在电力系统潮流计算中一般采用标幺值进行计算，标幺值公式如下：如果采用标么值计算，元件参数都应归算到同一基准值时得标么值，才能在同一个等值电路上分析和计算。所以，变压器转变成型等值电路时，我们采用标幺值计算，使所求参数为变压器变比k的函数。而在一个已经归算好的电

2、力系统网中，若改变变压器的分接头来进行调压，这时变压器的等值电路参数也会相应得改变，此时采用型等值电路进行折算就显得较为方便。下面是变压器的型等值电路分析过程： 如不计励磁支路的影响，双绕组变压器可用其阻抗与一个理想变压器串联的电路表示，如图所示。理想变压器只有一个参数，那就是变比k=。现以变压器阻抗按实际变比归算到低压侧的情况为例，推导出双绕组变压器的型等值电路。流入和流出理想变压器的功率相等： (、分别为变压器高、低绕组的实际电压） （1-1） （1-2）联立（1-1）、（1-2）两个公式解得： （1-3） （1-4）根据电路原理节点1、2的节点电流方程具有如下形式： （1-5）将式（1-

3、3）、（1-4）与式（1-5）比较得(1-6): (1-6)因此可以的得到各支路导纳为 （1-7） 1.2 节点电压方程在电路中我们已经学过利用节点电压方程来求解某几条支路的电流，现以下图1-2-1与图1-2-2为例推导节点电压方程组。 图1-2-1节点电压法为例 图1-2-2用电流源代替电压源为例图1-2-1表示了一个具有两个电源和你一个等值负荷的系统。、为电源电势，、为电源的内部导纳，为负荷的等值导纳，、为各支路的导纳。如果以地为电压参考点，设节点1、2、3的电压为，根据基尔霍夫电流kcl法对节点1、2、3列节点电流方程得式（1-8）： （1-8）上式中左端为节点1、2、3流出的电流，右端

4、为注入个节点的电流。由上式可以得到一个等效的等值电路图1-2-2。图1-2-2中利用了电流源代替的电压源。在图1-2-2中可知的式（1-9）： （1-9） 为等值电流源向网络注入的电流。将与式（1-8）联立得式（1-10）： (1-10）上式中称为节点1、2、3的自导纳，称为相应节点之间的互导纳。 因此，在一般情况下，在电力网络中有n个节点，则可以按式（1-10）的形式列出n个节点方程式，也可用矩阵的形式表示。其中 分别为节点注入电流列向量及节点电压列向量；为节点导纳矩阵，其中对角元素为节点i的自导纳，非对角线为节点i与节点j之间的互导纳。 1.3 节点导纳矩阵节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导

5、纳的定义直接求取，也可根据电路知识中找出改网络的关联矩阵，在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我们主要讨论的是直接求解导纳矩阵。根据节点电压方程章节我们知道，在利用电子数字计算机计算电力系统运行情况是，多采用形式的节点方程式。其中阶数等于电力网络的节点数。从而可以得到n个节点时的节点导纳矩阵方程组（1-11）如下： (1-11） 由此可以得到n个节点导纳矩阵：它反映了网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电气特性的一种数学抽象。由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。 通过上面的讨论，可以看出节点导纳矩阵的有以下特点： （1）导纳矩阵的元素很容易根据网

6、络接线图和支路参数直观地求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。 （2）导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知。（3）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过34个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有34个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。导纳矩阵的对称性和稀疏性对于应用计算机求解电力系统问题有很大的影响。如果能充分地利用这两个特点，如在程序设计中储存导纳矩阵的对角元素和上三角元素（或下三角元素），排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省储存单元和

7、提高计算速度。节点导纳矩阵的形式可归纳如下：（1）导纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数。（2）导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连得不接地支路数。（3）导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等于相应节点之间的支路导纳之和。（4）导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等于相应节点之间的支路导纳的负值。而在电力系统中进行潮流计算时，往往要计算不同接线下的运行状况，例如改变变压器主抽头时，潮流分布也随之变化，以及改变其他设备参数进行计算潮流分布，此时就需要导出变化时的导纳矩阵就需要对所设计的程序进行参数设定，而不需要重复上述步骤去导出所求的导纳矩阵。1.4 节点导纳矩阵的修改q1:kzp

8、在电力系统计算中，往往要计算不同接线下的运行状况，例如，某电力线路或变压器投入前后的状况，以及某些元件参数变更前后的运行状况。由于改变一个支路的参数或它的投入、退出状况只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，可不必重新形成与新运行状况相对应的节点导纳矩阵，仅需要对原有的矩阵作某些修改。图1-4-1qp先讨论网络中含有非标准变比k的变压器支路时导纳矩阵元素的修改。当节点p，q间接有变压器支路时（见图1-4-1），当然可以用型等值电路，然后按照上述原则形成导纳矩阵。但在实际应用程序中，往往直接计算变压器支路对导纳矩阵的影响。根据图1-4-1可以写出节点p，q的自导纳和节点间的互导纳增量分别

9、如下：节点p的自导纳改变量： （1-12）节点q的自导纳改变量： （1-13）增加节点p，q间的互导纳： （1-14）在电力系统中，假定接线改变前的导纳矩阵元素为，接线改变后则应修改为。现就几种典型的接线方式变化，说明修改量的计算方法。（1）从网络的原有节点i引出一条导纳为的支路，同时增加一个节点j。由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素。新增的非对角线元素中，只有，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点i的自导纳应增加。（2）在网络的原有节点i，j之间增加一条导纳为的支路。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不便。因而只要对与节点i，j有关的元素分别增添以下的修改

10、增量即可，其余的元素都不必修改： （1-15） （3）在网络的原有节点i，j之间切除一条导纳为的支路。这种情况可以当作是在节点i，j间增加一条导纳为的支路来处理。因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为： （1-16）（4）原网络节点i，j之间的导纳由改为。这种情况可以当作首先在节点i，j间切除一条导纳为的支路，然后再在节点i，j间追加导纳为的支路，根据式（1-15）、（1-16）不难求出导纳矩阵相关元素的修正量。其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修正公式。应该指出，如果增加或切除的支路是变压器支路，则以上相关元素的修改应按式（1-12）、

11、（1-13）、（1-14）进行。1.5 导纳矩阵在潮流计算中的应用导纳矩阵在潮流计算中的应用起到重要的作用，前面我们介绍了根据系统网络的接线盒参数形成节点导纳矩阵的方法。尽管形成节点导纳矩阵的原理是简单的，但如果采用手算的方法，即使节点数不多的系统也仍然有相当大的工作量。因此只有应用计算机才能快速而准确地完成这些计算任务。本章节我们介绍形成系统节点导纳矩阵的实用程序。为了形成节点导纳矩阵，必须知道电力系统的接线图。从前面的讨论知道，网络接线由节点及连接两个节点的支路确定。实际上，只有输入了各支路两端的节点号，就相当输入了系统的接线图。在计算潮流分布时，我们必须先导出该网络的导纳矩阵，而进行潮流

12、计算时解非线性的节点电压方程的有关方法中，高斯-塞德尔迭代法和牛顿-拉夫逊迭代法是计算机潮流计算中常用的基本方法。这两种方法既可用以解线性方程组，也课用以解非线性方程组。高斯-塞德尔迭代法由于其简单而在早期的潮流计算程序中得以采用。但其后就逐渐被牛顿型算法所取代。目前这种方法多半与牛顿型算法配合使用以弥补后者的不足。牛顿-拉夫逊法的收敛性较好，但对初值的要求比较严格，是当前广泛采用的计算机潮流算法。运用计算机进行潮流计算，一般要完成以下几个步骤：建立数学模型、确立计算方法、制定计算机流程并编制程序、上机计算及对计算结果进行分析。因此我们可以知道导纳矩阵在潮流计算中是很重要的。本节只是对导纳矩阵

13、在潮流分布的计算机算法一些简单的描述，我们将在下一章对其进行详细讲解。第二章 导纳矩阵的计算机算法2.1 matlab软件的基本功能在进行电力系统潮流计算，应用计算机算法进行求解节点导纳矩阵时候，我们要用到matlab的知识，所以应当对matlab的基本指令有所了解，下面是matlab的一些基本功能：进入matlab之后，会看到一个matlab command window，称为命令窗，它是最主要的窗口，既是键入命令也是显示计算结果的地方。另外还有一个编程窗，专门用来编辑应用程序。还有一个主窗口，用来记录已使用过的历史命令和已打开的目录，方便使用者查找。如果绘图还会自动弹出一个绘图窗，专门用来

14、显示绘制的图形。matlab一般有3种进行计算的方法，第1种就如同使用计算器，直接输入数值和运算符，立即从屏幕上获得结果。第2种先对变量赋值，然后再输入由变量构成的表达式，也可立即获得结果。第3种，就是采用编程的方法来解决较复杂的，诸如含有判断、循环、迭代、递归等算法的较复杂的问题。上述方法中，第2和第3包括了数组和矩阵运算，只要定义了数组和矩阵变量，就可以如同普通代数运算一样直接用变量进行数学运算，十分方便。matlab提供的基本算术运算有：加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、幂次方（）。matlab的关系和逻辑运算符与其他软件基本相同，仅列表加以说明：符 号功 能符 号功 能=赋值运算

15、&逻辑与运算= =关系运算，相等|逻辑或运算不等于-逻辑非运算小于xor逻辑异或运算大于，分行符，结果不显示=大于等于；分行符，结果显示%注释标志矩阵转置.向量转量matlab可以将计算结果以不同的精度输出，列表说明如下：命 令说 明format short默认显示，保留小数点后4位format long有效数字16位format long e有效数字16位加3位指数format short e 有效数字5位加3位指数format bank保留两位小数位format +只给出正、负format rational以分数形式表示format hex16进制数format long g15位有效数f

16、ormat short g5位有效数matlab对使用变量名称的规定：（1）变量名称的英文大小写是有区别的（apple、apple、apple三个变量不同）。（2）变量的长度上限为19个字母。（3）变量名的第一个字母必须是英文，随后可以掺杂英文字、数字或是下划线。下表给出matlab所定义的特殊变量及其意义。变量名意 义help在线帮助，如help quitwho列出所有定义过的变量名称ans默认的用来表示计算结果的变量名eps极小值=2.2204e-16pip值inf无穷大的数nan非数值2.2 matlab软件的基本函数而在matlab其运算功能强大，重要原因之一就是它含有丰富的内建函数，

17、例如数学函数中的三角函数、复函数、多项式函数、数据分析函数的求平均值、最大最小值、排序等，以及逻辑选择函数如ifelse等，还有用来模拟随机发生事件的随机函数。虽然matlab提供了数百种内建函数，但也不是包罗万象，为了解决这个问题，matlab提供了十分方便的自定义函数（自建函数）的强大功能。l）常见数学函数matlab提供了许多内建函数，如对数函数、三角函数、多项式函数等。使用函数需注意，函数名要放在等式的右边，等式左边是计算这个函数的表达式。此外，函数可以嵌套，被当作另一个函数的自变量调用。一些常用的内建函数的格式和功能如下：round（x）按四舍五入，对x取整fix（x）将x值近似至最

18、接近0的整数floor（x）将x值近似至最接近-的整数ceil（x）将x值近似至最接近的整数sign（x）检验x的符号，x0返回值为-1, x=0 返回值为0，x0返回值为1rem（x，y）求xy的余数exp（x）指数函数log（x）以e为底的对数函数即自然对数log10（x）以10为底的对数函数至于三角函数和双曲线函数的使用，和一般数学式相似，其语法也很简洁易懂。例如三角函数有：sin（x）、cos（x）、tan（x）、asin（x）、acos（x）、atan（x）、atan2（y，x）。常用到的双曲线函数有：sinh（x）、cosh（x）、tanh（x）、asinh（x）、acosh（x）

19、、atanh（x）。常见的复数相关函数有real（求实部）、imag（求虚部）、conj（求共轭）、abs（求复数的值）、angle（求复角）等，matlab是以i或j来代表虚部，若复数表示为x=abi，其共轭复数，复数大小，复数向量的夹角，复数实部，复数虚部，复数指数表示法。则这些函数所对应的matlab的命令为：a=real（x）,b=imag（x）, =conj（x）,r =abs（x）, =angle（x）, x=r*exp（i*angle（x）用极坐标图描述复数往往比一般的卡氏坐标更合适，polar命令专门绘制极坐标图，其命令格式为polar（theta, r）其中（theta, r

20、）分别表示极坐标上的角度及半径值r。以下例子说明了它的用法： t0：0.01：2*pi； 给出角度t的变化范围 rsin（2*t）.*cos（2*t）； 求出相应的半径r的值 polar（t，r） 做出极坐标图 title（polar plot of sin（2t）cos（2t）； 加上题头 grid 加上网格线令p（x）代表多项式。matlab以p=1 4 7 10来描述这个多项式，其中的数值是多项式的各阶项（从高到低）的系数，然后只要给出一组x的值，就可以用polyval函数来求此多项式的一组值，为了求上式p（x）的值，可执行以下命令： x=linspace（-1, 3）； 给出100个从

21、-1到3等分的x的值 p=1 4 -7 -10； 给出要求的多项式 v=polyval（p, x）； v为所求的与100个x值对应的多项式的值在matlab中，多项式的四则运算也很简单，加减直接用运算符相连，做乘除运算须借助conv和deconv两个函数。它们的格式是：乘法用conv（a, b），其中a、b是两个多项式系数的数组。除法用deconv函数，其格式是q，rdeconv（a，b），其中q，r分别代表商多项式及余数多项式。下面用几个范例，来说明两个多项式的加减乘除运算： a=1 2 3 4；b=1 4 9 16； 给出两个多项式a和b c=a+b； 求两个多项式的和的多项式 d=a-b

22、； 求两个多项式的差的多项式 econv（a，b） 求两个多项式的积的多项式q，r=deconv（a，b） 求两个多项式的商和余数的多项式令多项式等于零，则它变成一个方程，matlab采用数值法可以很方便地求解高阶方程，求解方程的函数是roots，它的格式是roots（p），若存在有复根，会用i或j来表示虚根。注意在输入方程的系数时，所缺项的系数一定要用零来补足，给出例子如下： p=1-12 0 25 116； 其中二阶项系数为零说明方程中缺二阶项 r=roots（p） r为所求的解，此例既有实数根也有复数根roots函数的逆函数是 poly，当已知方程的解r，可用此函数求出原方程，例如： r

23、=-2 -1； 已知某方程的根分别为-1，-2 pp=poly（r） 用poly函数可求得pp= (x2)(x1) = x2+3x+2polyder函数用来求多项式的微分，格式为polyde（p）。polyder（a, b）求多项式a, b乘积的微分；p，q= polyder（a, b）求多项式a，b商的微分，分母和分子分别保存在p，q中。residue函数完成两多项式相除，结果用部分分式展开来显示，例如： n=10*1，2； 被除的多项式是10*s+20 d=poly (-l，-3，-4)； 作为除数的多项式用根的方式表示，说明要分解成与根相关的分式 r，p，k=risidue（n，d） r

24、为分子数组，p为分母常数项，k为余项r= -6.66675.00001.6667p= -4.0000-3.0000-1.0000k= 事实上就是完成以下的运算：上面介绍过用roots来求方程的解，但是如果方程式不是多项式的形态就不能用roots函数。而这类的方程多半是非线性方程式，其函数形态变化很大，此时可以用fzero函数来求解，它的基本原理就是找x的值，将此x值代人时，能使该函数值为零。求非线性方程式的根应按照以下步骤：（1）先定义方程式。注意必须将方程式转换成f（x）=0的形态，例如某方程式为sin（x）=3，则该方程式应表示为f（x）sin（x）3。（2）代人适当范围的x，求出相应的f

25、（x）值，然后将该函数图画出，以便了解该方程式的函数的走向和趋势。（3）选取图中可能的f（x）与x轴相交的x0，再调用fzero（function，x0），即可求出在x0附近可能存在的根，其中function是先前已定义的方程名。如果从函数分布图看出根不只一个，则需再代人一个x1，将下一个根求出。2）常用数据分析函数matlab提供了很多数据处理和分析的函数，常见的有：max（x）找出数组x中的最大值。max（x, y）找出数组x及y的最大值，产生一个由两个数组中最大的元素组成的新数组。y，i=max（x）将数组x中的最大值赋给y，其所在位置赋给i。min（x）找出数组x中的最小值。min（x

26、, y）找出数组x及y的最小值，产生一个由两个数组中最小的元素组成的新数组。y，i=min（x）将数组x中的最小值赋给y，其所在位置赋给i 。mean（x）求出数组x中的平均值。median（x）找出数组x的中位数。sum（x）计算数组x的总和。prod（x）计算数组x的连乘积。cumsum（x）产生新的数组，每一项都是原数组x中前项的累加和。cumprod（x）产生新的数组，每一项都是原数组x中前项的连乘积。例如： x1 2 3 4 5；sum（x） 将x中的各项求和，结果为15 prod（x） 将x中的各项连乘，结果是120 cumsum（x） 将x的每一项与它的前项累加后生成新的数组1

27、3 6 10 15 cumprod（x） 将x的每一项与它的前项连乘后生成新的数组1 2 6 24 120在分析各种工程问题时，常常需要模拟某种不可预见且不规则的现象，这时可以利用随机数（random number）来产生模拟随机特性的一批数据。随机数按其统计分布特性可分为：均匀（uniform）随机数和正态（normal）随机数。均匀随机数是指其数值平均地分布于某一区间，而正态随机数的数值则是呈现高斯（gaussian）分布，形状像一个中间高两边低的山丘。用matlab函数rand可产生在0，1区间平均分布的随机数，产生均匀随机数的函数是rand（n）和rand（m, n），前者产生n个随机

28、数，后者产生mn个随机数。将这些随机数代人数学模型中，可以模拟某种事件出现的概率。其中要注意seed（种子）这个选项，它用来设定随机数产生的起始值，有相同起始值的随机数，其后产生的随机数每次都相同。选择随机数种子函数的格式为rand（seed，n），n规定0。其中n0有特别的意义，此时它第一次产生的随机数的起始值为931316785；其他的n值就是欲使用的起始值。如果使用相同的起始值，则随机数的序列会一样，因为随机数是依据起始值进行计算的。如果所需的随机值不在0，1区间，只需对其进行线性处理即可。用matlab函数randn可产生正态随机数，由于正态随机数并非以上下限来定义，而是用数据的平均值

29、和方差来定义，因此在产生正态随机数时，需设定平均值和方差的大小。randn（n）和randn（m，n）是分别产生含nn和mn个正态随机数元素的矩阵的函数，其平均值为0，方差为l。如果需要产生的正态随机数值的平均值和方差并非0和1，可以采用以下步骤进行转换。假设要得到一组正态随机数，它的平均值为b方差为a，首先产生一组随机数r，再将其值乘以方差a，接着再加上平均值b，算式为xa*r+b，则x就是具有所需方差和平均值的随机数的矩阵。3）矩阵运算函数matlab的运算以数组（array）及矩阵（matrix）方式来进行，但二者运算性质明显不同，数组强调元素对元素的运算，所以在运算符前要加.，而矩阵则

30、采用线性代数的运算方式。请看下表：数组运算符号矩阵运算符号功能+加-减.*乘./左除.右除.次方若已有一矩阵a，则求它的逆矩阵和秩的函数分别为inv（a）和rank（a）。计算矩阵行列式的函数为det（a）。用dig（a）可建立对角矩阵或取矩阵的对角向量；rot90（a）可将矩阵旋转90度。通过以上对matlab基本指令的了解，我们就可以对所求的电力系统网络的节点导纳矩阵进行画编程框架图。2.3 程序编程框图在上一章节，我们对matlab的基本指令有了初步的了解，我们就可以画出程序编程框图，按照程序编程框图，我们可以通过matlab软件进行编程，实现我们所求的节点导纳矩阵。程序编程框（如图2-

31、3-1）：开 机输入节点数n支路数n1数组bk=1k1=b(k,1)k2=b(k,2)y(k1,k1)=y(k1,k1)+1/b(k,3)+b(k,4)/2；y(k1,k2)=y(k1,k2)-1/(b(k,3)*b(k,5)；y(k2,k1)=y(k1,k2);y(k2,k2)=y(k2,k2)+1/(b(k,3)*b(k,5)2)+b(k,4)/2;k=k+1nk=n1？ y输出结果图2-3-12.4 导纳矩阵程序及调试 节点导纳矩阵程序如下:n=input(请输入节点数：n=);n1=input(请输入支路数：n1=);b=input(请输入由支路参数形成的矩阵：b=);x=input(

32、请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵：x=);y=zeros(n);for i=1:n if x(i,2)=0; p=x(i,1); y(p,p)=1./x(i,2); end end for i=1:n1 if b(i,6)=0 p=b(i,1);q=b(i,2); else p=b(i,2);q=b(i,1); end y(p,q)=y(p,q)-1./(b(i,3)*b(i,5); y(q,p)=y(p,q); y(q,q)=y(q,q)+1./(b(i,3)*b(i,5)2)+b(i,4)./2; y(p,p)=y(p,p)+1./b(i,3)+b(i,4)./2; end disp(

33、导纳矩阵y=); disp(y)按照程序调试的如下结果：请输入节点数：n=6请输入支路数：n1=7请输入由支路参数形成的矩阵：b =1.0000 2.0000 0 + 0.3000i 0 1.0250 1.0000; 1.0000 4.0000 0.0970 + 0.4070i 0 1.0000 0 ;1.0000 6.0000 0.1230 + 0.5180i 0 1.0000 0 ;2.0000 5.0000 0.2820 + 0.6400i 0 1.0000 0 ;3.0000 5.0000 0.7230 + 1.0500i 0 1.0000 0 ;4.0000 3.0000 0 + 0

34、.1330i 0 1.1000 1.0000; 4.0000 6.0000 0.0800 + 0.3700i 0 1.0000 0 请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵：x=1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0导纳矩阵y=请输入节点数：n=5请输入支路数：n1=5b =1.0000 2.0000 0.04 + 0.2500i 0.5i 1 0; 1.0000 3.0000 0.1 + 0.35i 0 1.0000 0 ;2.0000 3.0000 0.08 + 0.3i 0.5i 1.0000 0 ;2.0000 4.0000 0 + 0.015i 0 1.05 1 ;3.0000 5.0000 0 + 0.03i 0 1.05 1 第三章 导纳矩阵的手算方法3.1 潮流计算的等值电路 某电力系统的等