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第二节 二重积分的计算,1,一、在直角坐标系下计算二重积分 二、用极坐标系计算二重积分,一、直角坐标计算下计算二重积分,(1)若D为 X 型区域,(2) 若D为Y 型区域,D,x,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例2. 计算二重积分,其中D 是直线,所围成的闭区域.,D既是x-型区域又是y-型区域，先对 后对 作累次积分或先对后对 后 作累次积分都行，不妨选择先对 后 作累次积分：,先对 x后对y作累次积分也可得到同样的结果. 从几何图形看，这个二重积分是以正方形为底，顶为平面 z=1-x/4-y/4的四棱柱体的体积.,解: D可表示为：,例3. 计算二重积分,其中D 是,解: D既是x-型区域又是y-型区域，先对 后对 作累次积分或先对后对 后 作累次积分都行，不妨选择先X对 后Y 作累次积分，把D 表示为：,6,二、利用极坐标计算二重积分,设极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、 轴的正半轴相重合，可利用直角坐标与极坐标之间的关系,1.极点不在区域内,2.极点在区域内,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试问 的变化范围是什么?,(1),(2),Examples,例4. 计算,其中,是环形区域,解: 在极坐标系下,所以,

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