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1、第3章 离散傅立叶变换,DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 循环卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样 FFT,3.1离散傅氏级数及其性质,傅立叶变换实质上是在以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的频谱之间建立某种变换关系，所以当自变量“时间”或“频率”周期性或取离散值时，就会形成不同形式的傅立叶变换对。 傅氏变换时间域和频率域的对应关系： 时间域 频率域 非周期和连续的非周期和连续的 周期的和连续的 离散非周期谱 离散，非周期的 周期的，连续的 周期，离散的 周期的，离散的,有限长序列的傅里叶分析,一、四种信号傅里叶表示,1. 周期为T0的连续时间周期信号,频谱特点： 离散非周

2、期谱,2. 连续时间非周期信号,频谱特点： 连续非周期谱,3. 离散非周期信号,频谱特点： 连续周期谱,4. 周期为N 的离散周期信号,频谱特点：周期为N的离散谱,周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 1) 可求 k 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。,离散傅里叶级数（DFS）,即：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ，叫旋转因子,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数正变换 IDFS离散傅里叶级数反变换,我们知道

3、周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：,离散傅里叶变换（DFT）,周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为：,有限长序列及其周期延拓,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示：,长度为N的有限长序

4、列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对。 DFS和DFT都是用N个值来定义的，它们之间没有本质区别，有限长序列隐含着周期性。是的主值，可看成是的周期延拓.,其中 N8。,1. 线性,需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT,2. 循环位移(Circular shift of a sequence),循环位移定义为,离散傅里叶变换的性质,分3步计算：,4,n,n,n,n,n,1,5,3,2,k=0,k=2,k=1,k=4,k=3,3. 对称性(symmetry),4. 循环卷积,1、

5、时域循环卷积定理的表述,2、循环卷积的计算 （1）x1(m)图形不变，x2(m)周期化为 （2）将周期序列 翻转形成 （3）对 移位形成 （4）取主值序列得 （5）将x1(m)与 相乘 （6）对m在0 N-1上求和，便得到,循环卷积,X2(-m)N,X2(1-m)N,X2(2-m)N,X2(3-m)N,三种卷积的联系和区别： 线性卷积 周期卷积 循环卷积,针对性和序列的长度不同,3.3 利用循环卷积计算线性卷积,1.如果L=2N-1,两者相等. 如果两个序列的长度不等:N,M 则L应该满足: L=M+N-1 例:计算两个N点的序列的线性卷积和2N点的循环卷积.,3.5 快速傅里叶变换(FFT)

6、,3.5.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIFFFT)。下面先介绍DIFFFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足,为自然数,按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列,其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即,(3.2.5),(3.2.6),由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 ，所以X(k)又可表示为,(3.2.7),(3.2.8),图4.2.1

7、 蝶形运算符号,图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),3.5.3 DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较 1.蝶形运算及运算量的比较 每级由N/2个蝶形组成,每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的. 复数乘次数为,复数加次数为,例如，N=210=1024时,P84表格,2.同址计算(原位) 每一级的蝶形的输入与输出在运算前后可以存储在同一地址的存储单元中,这种同址运算的优点是可以节省存储单元,减低对硬件的要求.,3. 序列的倒序或变址计算 DITFFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序

8、是很有规律的。由于N= ，所以顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2n1n0)表示。,图4.2.7 形成倒序的树状图(N=23),表4.2.1 顺序和倒序二进制数对照表,图4.2.8 倒序规律,3.5.4 频域抽取法FFT(DIFFFT) 在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT。 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,偶数,奇数,将X(k)分解成偶数组与奇数组，当k取偶数 (k=2r,r=0,1,N/2-1)时,当k取奇数(k=2r+1,r=0,1,N/2-1)时,(3.2.15),定义x1(

9、n)和x2(n)分别代入(3.2.14)和(3.2.15)式，可得,(3.2.16),图3.2.10 DIFFFT蝶形运算流图符号,图3.2.11 DIFFFT一次分解运算流图(N=8),图3.2.13 DIFFFT运算流图(N=8),3.7 FFT 的应用,用FFT对信号进行谱分析 用FFT计算线性卷积,3.7.2 用FFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为分析离散信号和系统的有力工具。 1. 谱分析中参数的选择 工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。,设连续信号xa(t)持续时间为tp， 最高频率为fo， xa(t)的傅里叶变换为： 对xa(t)以采样间隔T1/2fo(即fs=1/T2fo)采样得 xa(nT)。 设共采样N点， 并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得,显然，X (jf)仍是f的连续周期函数, xa(nT)和X (jf)如图3.4.5(b)所示。 对 X(jf)在区间0, fs上等间隔采