《给出了质量的定义》PPT课件.ppt

1、杨 勇,2.6,3.给出了质量的定义,质量是惯性的量度,4.牛顿公式的三性,矢量性,瞬时性,叠加性.,Fx=max,Fy=may,Fz=maz,Fn=man,Ft=mat,三.国际单位制,1.国际单位制(SI),基本单位,长度m,时间s,质量kg,电流A,温度K,物质的量mol,发光强度cd(坎德拉).,2.导出单位量纲式,A=LpMqTr,某物理量A,L,M,T:长度,质量,时间量纲; p,q,r :量纲指数,均为整数.,第二章 运动定律 与力学中的守恒定律,2.1.牛顿运动定律,1.惯性定律,2.力与加速度关系定律,3.作用力与反作用力定律,二.牛顿定律的物理内涵,1.给出了力的定义,力是

2、物体,运动状态变化的原因.,2.给出了惯性的定义,物体具,有保持原先静止或匀速运动 状态的本领.,一.牛顿三定律,2.6,3.给出了质量的定义,质量是惯性的量度,4.牛顿公式的三性,矢量性,瞬时性,叠加性.,Fx=max,Fy=may,Fz=maz,Fn=man,Ft=mat,三.国际单位制,1.国际单位制(SI),基本单位,长度m,时间s,质量kg,电流A,温度K,物质的量mol,发光强度cd(坎德拉).,2.导出单位量纲式,A=LpMqTr,某物理量A,L,M,T:长度,质量,时间量纲; p,q,r :量纲指数,均为整数.,3.方程两边量纲式必须相等,四.几种常见的力,1.自然界的基本相互

3、作用,万有引力,电磁力,强力,弱力.,2.几种常见的力,(1)万有引力,其中m1, m2为引力质量, 取国 际单位制时惯性质量与引力 质量相等.引力常数 G=6.671011Nm2/kg2,重力,(2)弹性力,弹性限度内,F=kx,张力(拉力)T,正压力(支撑力)N,mgGmM/Re2,gGM/Re2,3.方程两边量纲式必须相等,四.几种常见的力,1.自然界的基本相互作用,万有引力,电磁力,强力,弱力.,2.几种常见的力,(1)万有引力,其中m1, m2为引力质量, 取国 际单位制时惯性质量与引力 质量相等.引力常数 G=6.671011Nm2/kg2,重力,(2)弹性力,弹性限度内,F=kx

4、,张力(拉力)T,正压力(支撑力)N,mgGmM/Re2,gGM/Re2,2.7,(3)摩擦力,一般情况正比于正压力,滑动摩擦力,Fk=kN,静摩擦力Fs,Fsmax=sN,(4)流体阻力 (在流体内运动 时所受力,与速度方向相反),相对速度较小时 Fd=kv,相对速度较大时 Fd=kv2,速度更大时关系式比较复杂, 要通过实验测定.,例1. 在半径为R的光滑球面顶点处. 一质点从静止滑落, 求质点离开球面的位置.,2.7,(3)摩擦力,一般情况正比于正压力,滑动摩擦力,Fk=kN,静摩擦力Fs,Fsmax=sN,(4)流体阻力 (在流体内运动 时所受力,与速度方向相反),相对速度较小时 Fd

5、=kv,相对速度较大时 Fd=kv2,速度更大时关系式比较复杂, 要通过实验测定.,例1. 在半径为R的光滑球面顶点处. 一质点从静止滑落, 求质点离开球面的位置.,取自然坐标,离开球面前 任意时刻质点受力分析如图.,解:,法向,mgcosN=mv2/R,切向,mgsin =mat=mdv/dt,滑落处,N=0,有,gcos0=v2/R,gsin=dv/dt,=(dv/d)(d/dt),= (v/R)(dv/d),2Rg(1cos0)=v2=Rgcos0,cos0=2/3,h=(1cos0)R=R/3,滑落处距顶点的高度为R/3.,在非惯性系中应用牛顿 定 律而引进的假想力(虚拟力).,2.非

6、惯性系,3.惯性力,(1)平动惯性力,(2)转动惯性离心力,对惯性系,对转动系,=0,三.非惯性系中的力学,3.4,大？此后维持木箱匀速前进, F应需多大？(2)证明当角,为某值时,无论F多大的也不能推动木箱.此角多大？,解:,木箱受力分析,坐标如图,x向,Fcosf=ma,y向,NFsinmg=0,(1)当木箱被推动时,fmax=sN=s(Fsin+mg),Fcosfmax=s(Fsin+mg),Fs mg/(cosssin),当木箱继续匀速运动时,F=kmg/(cosksin),(2)当cosssin=0时,F,3.4,大？此后维持木箱匀速前进, F应需多大？(2) 证明当 角,为某值时,

7、无论F多大的也不能推动木箱.此角多大？,解:,木箱受力分析,坐标如图,x向,Fcosf=ma,y向,NFsinmg=0,(1)当木箱被推动时,fmax=sN=s(Fsin+mg),Fcosfmax=s(Fsin+mg),Fs mg/(cosssin),当木箱继续匀速运动时,F=kmg/(cosksin),(2)当cosssin=0时,F,所以当,cosssin0,tan 1/s,即 arctan(1/s )时, 不论F 多大都不能推动木箱.,例3.桌上有质量M=1.50kg 的板, 板上放质量m=2.45 kg 的物体,设物与板,板与桌面间摩擦系数为=0.25.要将板从物下抽出,至少需要多大的

8、水平力？,受力分 析与坐标如,解:,图. 板抽出 的条件为,aMam,m:,f=mg=mam,所以当,cosssin0,tan 1/s,即 arctan(1/s )时, 不论F 多大都不能推动木箱.,例3.桌上有质量M=1.50kg 的板, 板上放质量m=2.45 kg 的物体,设物与板,板与桌面间摩擦系数为=0.25.要将板从物下抽出,至少需要多大的水平力？,受力分 析与坐标如,解:,图. 板抽出 的条件为,aMam,m:,f=mg=mam,3.5,aMg,M:,Ff f=MaM,am=g,F(m+M)gmg=MaM,F=(2m+M)g+MaM,(2m+M)g+Mg,=2(m+M)g,至少需

9、要的水平力为,Fmin=2(m+M)g,=19.4(N),例4.两弹簧劲度系数分别为k1和k2. 证明: (1)当它们串联,解:,(1)串联受 力分析如图.,时总劲度 系数 k=k1k2/(k1+k2); (2)当它们并联 时总劲 度系数 k=k1+ k2.,3.5,aMg,M:,Ff f=MaM,am=g,F(m+M)gmg=MaM,F=(2m+M)g+MaM,(2m+M)g+Mg,=2(m+M)g,至少需要的水平力为,Fmin=2(m+M)g,=19.4(N),例4.两弹簧劲度系数分别为k1和k2. 证明: (1)当它们串联,解:,(1)串联受 力分析如图.,伸长量,x= x1+ x2,力

10、,F=F1=F2,kx=k1x1= k2x2,F=kx=k(x1+x2),=k(F/k1+F/k2),k(1/k1+1/k2)=1,k= k1k2/(k1+k2),(2)并联受力分析如图.,伸长量,x=x1=x2,力,F=F1+F2,kx=k1x1+ k2x2=(k1+ k2)x,k=k1+k2,时总劲度 系数 k=k1k2/(k1+k2); (2)当它们并联 时总劲 度系数 k=k1+ k2.,例5.光滑水平面上放置固定圆环带, 半径R, 一物贴着环内侧运动, 物与环带间滑动摩擦系数k,设物某时经A点速率为v0,求此后t 时刻物体速率及从A点开始所经路程.,伸长量,x= x1+ x2,力,F

11、=F1=F2,kx=k1x1= k2x2,F=kx=k(x1+x2),=k(F/k1+F/k2),k(1/k1+1/k2)=1,k= k1k2/(k1+k2),(2)并联受力分析如图.,伸长量,x=x1=x2,力,F=F1+F2,kx=k1x1+ k2x2=(k1+ k2)x,k=k1+k2,例5.光滑水平面上放置固定圆环带, 半径R, 一物贴着环内侧运动, 物与环带间滑动摩擦系数k,设物某时经A点速率为v0,求此后t 时刻物体速率及从A点开始所经路程.,物受重力与环带的正压,解:,3.6,力和摩擦力.取 自然坐标,法向,N=mv2/R,切向,k N=kmv2/R=mdv/dt,dv/v2=k

12、dt/R,1/v01/v=k t/R,v=Rv0/(R+kv0t),l= vdt,= Rv0/(R+kv0t)dt,=Rv0/(kv0)ln(R+kv0t),=(R/k)ln(1+kv0t/R),例6.图中定滑轮A, 动滑轮B,三 物 体质量为m1=200g,m2= 100g, m3=50g.求(1)每物的加速度;(2)两绳张力T1, T2.假定滑轮,绳的质量 及绳 伸长和,3.6,力和摩擦力.取 自然坐标,法向,N=mv2/R,切向,k N=kmv2/R=mdv/dt,dv/v2=kdt/R,1/v01/v=k t/R,v=Rv0/(R+kv0t),l= vdt,= Rv0/(R+kv0t)

13、dt,=Rv0/(kv0)ln(R+kv0t),=(R/k)ln(1+kv0t/R),例6.图中定滑轮A, 动滑轮B,三 物 体质量为m1=200g,m2= 100g, m3=50g.求(1)每物的加速度;(2)两绳张力T1, T2.假定滑轮,绳的质量 及绳 伸长和,受力如图.,解:,通过质量比较, m1向下, m2 相 对滑轮向下, m3 相对滑轮向 上. 取运动方向 为坐标正向.,摩擦力均忽略.,m2,m3以滑轮 B为参照系,因 B以a1向上,有,m1gT1=m1a1,m2gT2+m2a1=m2a,T2m3gm3a1=m3a,2T2T1=0,得,受力如图.,解:,通过质量比较, m1向下,

14、 m2 相 对滑轮向下, m3 相对滑轮向 上. 取运动方向 为坐标正向.,摩擦力均忽略.,m2,m3以滑轮 B为参照系,因 B以a1向上,有,m1gT1=m1a1,m2gT2+m2a1=m2a,T2m3gm3a1=m3a,2T2T1=0,得,3.7,有 a1=1.96m/s2, a=3.92m/s2,a2=aa1=1.96m/s2,a3=a+a1=5.88m/s2,T1=m1(ga1)=1.57N,T2=m2(g+a1a )=0.784N,例7.直九型直升飞机每 片旋翼长5.97米,若按宽度一定,厚度均匀的薄片计算, 求旋翼以 400r/min 的转速旋转时,其根部受拉力为重力的几倍.,解:

15、,运动应提供的向心力,在距根部r 处取微元长度 dr,使它作圆周,dF=dmr2=2Srdr,3.7,有 a1=1.96m/s2, a=3.92m/s2,a2=aa1=1.96m/s2,a3=a+a1=5.88m/s2,T1=m1(ga1)=1.57N,T2=m2(g+a1a )=0.784N,例7.直九型直升飞机每 片旋翼长5.97米,若按宽度一定,厚度均匀的薄片计算, 求旋翼以 400r/min 的转速旋转时,其根部受拉力为重力的几倍.,解:,运动应提供的向心力,在距根部r 处取微元长度 dr,使它作圆周,dF=dmr2=2Srdr,其中为旋翼质量密度, S 是 旋翼的横截面积. 旋翼质量

16、 为 m=Sl,对所有微元应提供的向心力 求和, 就是旋翼根部所受的 拉力,F= S2rdr,=S2l2/2,=m2l/2,F/(mg)=2l/(2g)=534,所以旋翼根部所受的拉力是 旋翼所受重力的534倍.,其中为旋翼质量密度, S 是 旋翼的横截面积. 旋翼质量 为 m=Sl,对所有微元应提供的向心力 求和, 就是旋翼根部所受的 拉力,F= S2rdr,=S2l2/2,=m2l/2,F/(mg)=2l/(2g)=534,所以旋翼根部所受的拉力是 旋翼所受重力的534倍.,一.动量与冲量,1.动量,物体机械运动运动量,2.3动量 动量守恒定律,动量是矢量,2.冲量,力对时间积累,是矢量,

17、3.冲力,在极短时间内动量发,生极大变化的 力. 冲力往往 是变化的.,平均冲力,二.动量定理,(冲量原理),一.动量与冲量,1.动量,物体机械运动运动量,2.3动量 动量守恒定律,动量是矢量,2.冲量,力对时间积累,是矢量,3.冲力,在极短时间内动量发,生极大变化的 力. 冲力往往 是变化的.,平均冲力,二.动量定理,(冲量原理),合外力对时间的积累与物体 动量变化的关系.,1.单个质点的动量定理,合外力对时间的积累等于物 体动量的增加.,其分量式为,Ix= Fxdt,=pxp0 x=mvxmv0 x,Iy= Fydt,=pyp0y=mvymv0y,Iz= Fzdt,=pzp0z=mvzmv

18、0z,2.质点系的动量定理,合外力对时间的积累与物体 动量变化的关系.,1.单个质点的动量定理,合外力对时间的积累等于物 体动量的增加.,其分量式为,Ix= Fxdt,=pxp0 x=mvxmv0 x,Iy= Fydt,=pyp0y=mvymv0y,Iz= Fzdt,=pzp0z=mvzmv0z,2.质点系的动量定理,(1) 对第i 个质点应用单个质 点的动量定理,4.2,(2)求和,因,=0,令,有,物体系合外力的冲量等于物 体系动量的增加.,3.质心运动定理,(1)单个质点的牛顿第二定律,4.2,(2)求和,因,=0,令,有,物体系合外力的冲量等于物 体系动量的增加.,3.质心运动定理,(

19、1)单个质点的牛顿第二定律,(2)求和,因,令,有,(3)质心,令,mi=m,质心坐标(质元的平均坐标),(2)求和,因,令,有,(3)质心,令,mi=m,质心坐标(质元的平均坐标),4.3,xc= (mixi)/m,=( xdm)/m,yc= (mi yi)/m=( ydm)/m,zc= (mi zi)/m=( zdm)/m,(4)质心运动定理,三.动量守恒定律,条件:,结论:,=恒量,说明:,1. 系统动量守恒,但内部物体,4.3,xc= (mixi)/m,=( xdm)/m,yc= (mi yi)/m=( ydm)/m,zc= (mi zi)/m=( zdm)/m,(4)质心运动定理,三

20、.动量守恒定律,条件:,结论:,=恒量,说明:,1. 系统动量守恒,但内部物体,动量可以转移, 冲量是物体 动量转移的量度;,2.守恒是对全过程,不仅仅是 前后动量相等;,3.守恒的几种情况:,(1)合外力=0, 动量严格守恒;,(2)合外力内力,动量恒量;,(3)某方向合外力=0 (或合外力内力), 该方向动量(或近似)守恒.,2.5 角动量 角动量守恒定律,1.牛顿第二定律的延伸,因,动量可以转移, 冲量是物体 动量转移的量度;,2.守恒是对全过程,不仅仅是 前后动量相等;,3.守恒的几种情况:,(1)合外力=0, 动量严格守恒;,(2)合外力内力,动量恒量;,(3)某方向合外力=0 (或

21、合外力内力), 该方向动量(或近似)守恒.,2.5 角动量 角动量守恒定律,1.牛顿第二定律的延伸,因,4.4,有,所以,2.质点的角动量,大小,L=rpsin=r mvsin,方向,x y z,px p y pz,分量式,由矢量叉积,Lx=ypzzpy,Ly=zpxxpz,Lz=xpyypx,3.力矩,大小,M=rFsin,4.4,有,所以,2.质点的角动量,大小,L=rpsin=r mvsin,方向,x y z,px p y pz,分量式,由矢量叉积,Lx=ypzzpy,Ly=zpxxpz,Lz=xpyypx,3.力矩,大小,M=rFsin,方向,分量式,由矢量叉积得出,Mx=yFzzFy

22、,My=zFxxFz,Mz=xFyyFx,4.质点角动量定理,质点所受合外力矩等于其角 动量对时间的变化率.,5.质点角动量守恒定律,(1)角动量(冲量矩)原理,冲量矩=,(2)角动量守恒定律,条件,方向,分量式,由矢量叉积得出,Mx=yFzzFy,My=zFxxFz,Mz=xFyyFx,4.质点角动量定理,质点所受合外力矩等于其角 动量对时间的变化率.,5.质点角动量守恒定律,(1)角动量(冲量矩)原理,冲量矩=,(2)角动量守恒定律,条件,例1.一轻绳跨过定滑轮,两端各栓质量为M及m的物体,M m, M静止于地面上, 当m自由下落h后, 绳子被拉紧, 求绳子拉紧时两物的速度及M上升的高度.

23、,4.5,结论,解: 受力分析如图.,因N很快消失,有,(mgT)dt=m(Vv),(TMg)dt=MV,因t 短,TMgmg, 近似有,Tdt=m(Vv),Tdt=MV,例1.一轻绳跨过定滑轮,两端各栓质量为M及m的物体,M m, M静止于地面上, 当m自由下落h后, 绳子被拉紧, 求绳子拉紧时两物的速度及M上升的高度.,4.5,结论,解: 受力分析如图.,因N很快消失,有,(mgT)dt=m(Vv),(TMg)dt=MV,因t 短,TMgmg, 近似有,Tdt=m(Vv),Tdt=MV,有,m(Vv)+MV=0,V=mv/(m+M),而,=m /(m+M),绳被拉紧后,对M及m列方程,mg

24、T=ma,TMg=Ma,得,a=(mM)g/(m+M),0V2=2ah,h=V2/(2a),=hm2/(M2m2),得,v=,例2.小球在弹簧作用下振动. 弹性力F=kx,位移x=Acost,其中k,A, 是常量,求t=0到t= /(2)时间内弹簧给球冲量.,有,m(Vv)+MV=0,V=mv/(m+M),而,=m /(m+M),绳被拉紧后,对M及m列方程,mgT=ma,TMg=Ma,得,a=(mM)g/(m+M),0V2=2ah,h=V2/(2a),=hm2/(M2m2),得,v=,例2.小球在弹簧作用下振动. 弹性力F=kx,位移x=Acost,其中k,A, 是常量,求t=0到t= /(2

25、)时间内弹簧给球冲量.,I=kA/,4.6,解:,t=/(2), 有,方向沿x轴负向.,例3. 质量m=50g 的小球作圆运动, 速率v=20m/s, 求1/4 周,解:,用定义法解,期内向心力加 给它的冲量.,I=kA/,4.6,解:,t=/(2), 有,方向沿x轴负向.,例3. 质量m=50g 的小球作圆运动, 速率v=20m/s, 求1/4 周,解:,用定义法解,( ),期内向心力加 给它的冲量.,I= mv,tan=1,=225,用动量原理解,I= mv,tan=1,=225,同样可得,( ),I= mv,tan=1,=225,用动量原理解,I= mv,tan=1,=225,同样可得,

26、例4.某飞船绕地飞行时,宇航员(连衣物m=140kg)出舱走出飞船8m处. 他用长绳与船相连.求当他拉绳回舱时,船体(M=3500kg)移动的距离.,设宇航员相对飞船速率 v, 飞船相对地球速率V. 宇航 员,飞船系统动量守恒,有,4.7,解:,m(v+V)+MV=0,V=mv/(m+M),船体移动的距离,=0.308m,例5. 质量M的冲击摆静止于平衡点,质量m的子弹以v0水平射入冲击摆并 留 在 其内,lgsind = vdv,例4.某飞船绕地飞行时,宇航员(连衣物m=140kg)出舱走出飞船8m处. 他用长绳与船相连.求当他拉绳回舱时,船体(M=3500kg)移动的距离.,设宇航员相对飞

27、船速率 v, 飞船相对地球速率V. 宇航 员,飞船系统动量守恒,有,4.7,解:,m(v+V)+MV=0,V=mv/(m+M),船体移动的距离,=0.308m,例5. 质量M的冲击摆静止于平衡点,质量m的子弹以v0水平射入冲击摆并 留 在 其内,求摆线偏转最大角.,解:,子弹射入瞬间, 系统受重力和 摆 线张力(动量不守 恒,水平动量守恒) 过转轴,合外力矩 为零,角动量守恒.,lmv0=l(M+m)v,v=mv0/(M+m),摆动过程中, M+m受力如图.,依质点角动量定理,有,(M+m)lgsin=dl(M+m)v/dt,gsin=(dv/d)(v/l),gsin =dv/dt,=(dv/

28、d)(d/dt),v2/2=lg(cos1),lgsind = vdv,求摆线偏转最大角.,解:,子弹射入瞬间, 系统受重力和 摆 线张力(动量不守 恒,水平动量守恒) 过转轴,合外力矩 为零,角动量守恒.,lmv0=l(M+m)v,v=mv0/(M+m),摆动过程中, M+m受力如图.,依质点角动量定理,有,(M+m)lgsin=dl(M+m)v/dt,gsin=(dv/d)(v/l),gsin =dv/dt,=(dv/d)(d/dt),v2/2=lg(cos1),( ),dA,功是力对空间的积累, 力 方向上没有位移,力不作功;,4.8,cos=1v2/(2lg),=1m2v02/2lg(

29、M+m)2,摆线偏转的最大角度,=arccos1m2v02/2lg(M+m)2,2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律,一.功,力对空间的积累,1.定义,2.说明:,A=,= Fcosdl,= Fxdx+Fydy+Fzdz,(1),( ),功是力对空间的积累, 力 方向上没有位移,力不作功;,4.8,cos=1v2/(2lg),=1m2v02/2lg(M+m)2,摆线偏转的最大角度,=arccos1m2v02/2lg(M+m)2,2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律,一.功,力对空间的积累,1.定义,2.说明:,A=,= Fcosdl,= Fxdx+Fydy+Fzdz,(3),(1),(2)

30、,功是标量,无分量之说;,为正值,dA的正负在cos 中.,3.功率,P=dA/dt,4.合力的功,= Ai,等于分力功的代数和,(3),(2),功是标量,无分量之说;,为正值,dA的正负在cos 中.,3.功率,P=dA/dt,4.合力的功,= Ai,等于分力功的代数和,二.动能定理,1.合外力的功,=mv22/2mv12/2,2.动能,Ek=mv2/2,Ek0,状态量,与参照系有关.,三.保守力及其功,1.万有引力的功,3.动能定理,A= Ekb Eka,合外力功等于物体动能增加.,二.动能定理,1.合外力的功,=mv22/2mv12/2,2.动能,Ek=mv2/2,Ek0,状态量,与参照

31、系有关.,三.保守力及其功,1.万有引力的功,= (GmM/r2)cosdl,= (GmM/r2)cos()dl,= (GmM/r2)cosdl,= (GmM/r2)dr,=GmM/r,=GmM(1/rb1/ra ),或用,=xdx+ydy+zdz,=dx2/2+dy2/2+dz2/2,=d(x2+y2+z2)/2,=dr2/2,=rdr,得,=(GmM/r2)dr,3.动能定理,A= Ekb Eka,合外力功等于物体动能增加.,= (GmM/r2)cosdl,= (GmM/r2)cos()dl,= (GmM/r2)cosdl,= (GmM/r2)dr,=GmM/r,=GmM(1/rb1/ra

32、 ),或用,=xdx+ydy+zdz,=dx2/2+dy2/2+dz2/2,=d(x2+y2+z2)/2,=dr2/2,=rdr,得,=(GmM/r2)dr,2.重力的功,作功与路径 无关,只与始末位 置有关的力,5.2,=mg(ya yb),=mgy,3.弹性力的功,4.保守力Fc,定义,性质,l2,l1,= kxdx,=kx12/2kx22/2,= mgdy,2.重力的功,1.定义,作功与路径 无关,只与始末位 置有关的力,5.2,=mg(ya yb),=mgy,3.弹性力的功,4.保守力Fc,定义,性质,l2,l1,四.势能,= kxdx,=kx12/2kx22/2,= mgdy,=0,

33、保守力沿闭合路径作功为零.,由物体间相对位置决,定的作功本领.,Ep=,万有引力势能,以无穷远为势能零点.,=GmM(1/rb1/ra),Ep=GmM/r,重力势能,以坐标原点为势能零点,1.定义,四.势能,=0,保守力沿闭合路径作功为零.,由物体间相对位置决,定的作功本领.,Ep=,万有引力势能,以无穷远为势能零点.,=GmM(1/rb1/ra),Ep=GmM/r,重力势能,以坐标原点为势能零点,Ep=mgy,5.3,=mg(ya yb),弹性势能,以无伸长点为势能零点,Ep= Fcdl,=(kx12/2kx22/2),Ep=kx2/2,2.说明,(1)势能是属于物体系的; 是 物体相对位置

34、r(状态参量)的 函数,是状态量.,(2) 势能是相对的; 求势能必 须选取势能零点;零点不同, Ep表达式不同.势能零点的 选取以方便为准;,(3)势能是标量,无分量之说.,3.势能公式,5.3,=mg(ya yb),弹性势能,以无伸长点为势能零点,Ep= Fcdl,=(kx12/2kx22/2),Ep=kx2/2,2.说明,(1)势能是属于物体系的; 是 物体相对位置r(状态参量)的 函数,是状态量.,(2) 势能是相对的; 求势能必 须选取势能零点;零点不同, Ep表达式不同.势能零点的 选取以方便为准;,(3)势能是标量,无分量之说.,3.势能公式,=EpaEpb,=Ep1Ep2,保守

35、力功等于相关势能减少.,4.势能曲线,Epr,势能随相对位 置 r 变化的函 数关系曲线.,5.由势能求相关保守力,=Ep(Ep+dEp),=dEp,=EpaEpb,4.势能曲线,Epr,势能随相对位 置 r 变化的函 数关系曲线.,5.由势能求相关保守力,=Ep(Ep+dEp),=dEp,5.4,=Fcxdx+Fcydy+Fczdz,dEp=,五.功能原理,质点系中单个质点动能定理,(A外)i+ (A内)i=(Ek2)i(Ek1)i,质点系的动能定理,= (Ek2)i(Ek1)i,(A外)i+(A内)i,写成,A外+ A内=Ek2Ek1,5.4,=Fcxdx+Fcydy+Fczdz,dEp=

36、,五.功能原理,质点系中单个质点动能定理,(A外)i+ (A内)i=(Ek2)i(Ek1)i,质点系的动能定理,= (Ek2)i(Ek1)i,(A外)i+(A内)i,写成,A外+ A内=Ek2Ek1,A内= A保内+ A非保内,=Ep1Ep2 + A非保内,A外+A非保内=Ek2Ek1+Ep2Ep1,功能原理,机械能,E=Ek+Ep,A外+A非保内=E2E1,六.机械能守恒定律,条件,A外= 0,结论,E2=E1=恒量,A非保内= 0,(对全过程),七.能量守恒定律,自然界基本力无非保守力. 摩擦力虽是典型非保守力, 但它本质是电磁力. 把所有 能量考虑在内总能量守恒.,八.碰撞,1.恢复系数

37、,以对心完全弹性碰撞为例,A内= A保内+ A非保内,=Ep1Ep2 + A非保内,A外+A非保内=Ek2Ek1+Ep2Ep1,功能原理,机械能,E=Ek+Ep,A外+A非保内=E2E1,六.机械能守恒定律,条件,A外= 0,结论,E2=E1=恒量,A非保内= 0,(对全过程),七.能量守恒定律,自然界基本力无非保守力. 摩擦力虽是典型非保守力, 但它本质是电磁力. 把所有 能量考虑在内总能量守恒.,八.碰撞,1.恢复系数,以对心完全弹性碰撞为例,5.5,m1v10+m2v20=m1v1+m2v2,m1(v10 v1)=m2(v2 v20),m1(v102v12)=m2(v22v202),相除

38、得,v10 +v1=v2 +v20,(v2v1)/(v10v20)=1,有,(m1)接近(m2)速度v10 v20, (m2)分离(m1)速度v2v1.,恢复系数,完全弹性碰撞,e=1,非弹性碰撞,0e1,完全非弹性碰撞,e=0,5.5,m1v10+m2v20=m1v1+m2v2,m1(v10 v1)=m2(v2 v20),m1(v102v12)=m2(v22v202),相除得,v10 +v1=v2 +v20,(v2v1)/(v10v20)=1,有,(m1)接近(m2)速度v10 v20, (m2)分离(m1)速度v2v1.,恢复系数,完全弹性碰撞,e=1,非弹性碰撞,0e1,完全非弹性碰撞,

39、e=0,例1.如图,弹簧原长AB,劲度系数k,下端固定在A点,上端与质量m的木块相连,木块总靠在一半径a的半圆柱光滑表面上.今沿半圆切向用力F拉木块使其缓慢移过角.求这过程中力F做的功.,解:,切向,Fmgcoska,=mat=0,F=mgcos+ka,例1.如图,弹簧原长AB,劲度系数k,下端固定在A点,上端与质量m的木块相连,木块总靠在一半径a的半圆柱光滑表面上.今沿半圆切向用力F拉木块使其缓慢移过角.求这过程中力F做的功.,解:,切向,Fmgcoska,=mat=0,F=mgcos+ka,5.6,解:,例2.长方形蓄水池,面积S=50 m2,储水深度h1=1.5m.假设水表面低于地面高度

40、h2=5m.求(1)将这池水全部抽到地面上抽水机做的功; (2) 设抽水机效率80,输入功率P=35kW,抽完这池水所需时间.,(1)某时刻水面距地y,将 dy的水抽出来作功为,dA=dmgy=gySdy,A= gSydy,=gS(h1+h2)2h22/2,=4.23106J,(2),t=A/(P)=151s,例3.竖直悬挂弹簧(劲度系数,为k)下端挂一物,平衡时弹簧有一伸长.若以物体平衡位置为y轴坐标原点,并以此作为弹性势能和重力势能零点. 试求当物体位置坐标为y时,求物体弹性势能,重力势能,及其总势能.,解:,平衡时,mg=kl,Ep弹=k(l+y)2/2,k(l)2/2,=ky2/2+k

41、yl,Ep重=mgy,Ep=Ep弹+Ep重,=ky2/2+kyl,mgy,=ky2/2,5.6,解:,例2.长方形蓄水池,面积S=50 m2,储水深度h1=1.5m.假设水表面低于地面高度h2=5m.求(1)将这池水全部抽到地面上抽水机做的功; (2) 设抽水机效率80,输入功率P=35kW,抽完这池水所需时间.,(1)某时刻水面距地y,将 dy的水抽出来作功为,dA=dmgy=gySdy,A= gSydy,=gS(h1+h2)2h22/2,=4.23106J,(2),t=A/(P)=151s,例3.竖直悬挂弹簧(劲度系数,为k)下端挂一物,平衡时弹簧有一伸长.若以物体平衡位置为y轴坐标原点,

42、并以此作为弹性势能和重力势能零点. 试求当物体位置坐标为y时,求物体弹性势能,重力势能,及其总势能.,解:,平衡时,mg=kl,Ep弹=k(l+y)2/2,k(l)2/2,=ky2/2+kyl,Ep重=mgy,Ep=Ep弹+Ep重,=ky2/2+kyl,mgy,=ky2/2,5.7,例4.质量m的物体,从质量M的圆弧槽顶由静止滑下.设圆弧槽半径R,张角/2(如图), 如忽略所有摩擦,求:(1)物体刚离开槽底端时,物体和槽的速度;(2)物体从A到B过程中,物体对槽做的功;(3)物体到达B时对槽的压力.,解:,(1) 物与槽 水平动量及机 械能守恒.,mv+MV=0,mgR=mv2/2+MV2/2

43、,v=2gRM/(M+m)1/2,V=2gRm2/(M+m)M1/2,(2)物对槽作功等于槽动能增,5.7,例4.质量m的物体,从质量M的圆弧槽顶由静止滑下.设圆弧槽半径R,张角/2(如图), 如忽略所有摩擦,求:(1)物体刚离开槽底端时,物体和槽的速度;(2)物体从A到B过程中,物体对槽做的功;(3)物体到达B时对槽的压力.,解:,(1) 物与槽 水平动量及机 械能守恒.,mv+MV=0,mgR=mv2/2+MV2/2,v=2gRM/(M+m)1/2,V=2gRm2/(M+m)M1/2,(2)物对槽作功等于槽动能增,加,Am对M=MV2/2=gRm2/(M+m),(3)物到槽底时, at=0

44、. 槽为惯 性系.物相对槽的速度为,v=vV,= +,N=mg+mv2/R =mg+m2gR(M+m)/(MR),=mg+m2g(M+m)/M,=(3+2m/M)mg,加,Am对M=MV2/2=gRm2/(M+m),(3)物到槽底时, at=0. 槽为惯 性系.物相对槽的速度为,v=vV,= +,N=mg+mv2/R =mg+m2gR(M+m)/(MR),=mg+m2g(M+m)/M,=(3+2m/M)mg,2.4刚体的定轴转动,一.质点系角动量定理,1.质点系的角动量,第i个质点,质点系,2.质点系受的力矩,其他质点给,令,考虑,2.4刚体的定轴转动,一.质点系角动量定理,1.质点系的角动量

45、,第i个质点,质点系,2.质点系受的力矩,其他质点给,令,考虑,有,=0,所以,质点系所受力矩等于外力矩 的矢量和,3.质点系的角动量定理,第i个质点,求和,得,合外力矩M 等于系统总角动 量L 对时间的变化率,二. 刚体定轴转动定律,6.2,取转轴为z 轴,原点为O,取质,元mi ,它绕Oi作圆运动,1.力矩在转轴上的投影,轴,垂直 z 轴,z轴,=0.,Miz=riFi,=riFisini,2.角动量在转轴上的投影,有,=0,所以,质点系所受力矩等于外力矩 的矢量和,3.质点系的角动量定理,第i个质点,求和,得,合外力矩M 等于系统总角动 量L 对时间的变化率,二. 刚体定轴转动定律,6.

46、2,取转轴为z 轴,原点为O,取质,元mi ,它绕Oi作圆运动,1.力矩在转轴上的投影,轴,垂直 z 轴,z轴,=0.,Miz=riFi,=riFisini,2.角动量在转轴上的投影,vi=ri.,Liz=mirivi,=miriri,因,得,=miri2,Lz=miri2,=(miri2),3.转动惯量,I=Iz=miri2,=Iz,4.转动定律,Mz=dLz/dt,=d(Iz)/dt,=Izd/dt,=Iz,定轴转动,M=I,三.转动惯量计算,I=miri2,连续体,分离体,I =miri2,vi=ri.,Liz=mirivi,=miriri,因,得,=miri2,Lz=miri2,=(m

47、iri2),3.转动惯量,I=Iz=miri2,=Iz,4.转动定律,Mz=dLz/dt,=d(Iz)/dt,=Izd/dt,=Iz,定轴转动,M=I,三.转动惯量计算,I=miri2,连续体,分离体,6.3,线状物,I= r2dl,(=dm/dl),面状物,I= r2dS,(=dm/dS),体状物,I= r2dV,(=dm/dV),1.转动惯量的物理意义,转动物体惯性的量度,2.决定转动惯量的要素,(1)总质量;,(2)质量分布;,(3)转轴位置.,例1.求质量m半 径R的均匀圆环,对中心轴的转动惯量.,解:,取圆弧微元如图,dl=Rd,I= r2dl,6.3,线状物,I= r2dl,(=d

48、m/dl),面状物,I= r2dS,(=dm/dS),体状物,I= r2dV,(=dm/dV),1.转动惯量的物理意义,转动物体惯性的量度,2.决定转动惯量的要素,(1)总质量;,(2)质量分布;,(3)转轴位置.,例1.求质量m半 径R的均匀圆环,对中心轴的转动惯量.,解:,取圆弧微元如图,dl=Rd,=m/(2R),I= r2dl,I= R2Rd,=2R3,=mR2,或,=mR2,I=,=R2,例2.求质量m半径R厚h 的均匀圆盘对中心轴的转动惯量.,解:,取圆环微元如图,dm=2rhdr,=m/(R2h),dI=dmr2,=2r3hdr,I=dI,= 2r3hdr,=R4h/2,=mR2

49、/2,(当h很大, 圆盘成为圆柱; 当 h 很小, 圆盘成为薄圆盘, 但 它们对中心轴转动惯量 的表 达式相同),=m/(2R),I= R2Rd,=2R3,=mR2,或,=mR2,I=,=R2,例2.求质量m半径R厚h 的均匀圆盘对中心轴的转动惯量.,解:,取圆环微元如图,dm=2rhdr,=m/(R2h),dI=dmr2,=2r3hdr,I=dI,= 2r3hdr,=R4h/2,=mR2/2,(当h很大, 圆盘成为圆柱; 当 h 很小, 圆盘成为薄圆盘, 但 它们对中心轴转动惯量 的表 达式相同),6.4,例3.求长L,质量m均匀细棒的转动惯量. (1)O轴通过棒一端且与棒垂直;(2)O轴通

50、过棒中点且与棒垂直.,取轴为坐 标原点, 取长 度微元如图,解:,dm=dx,=m/L,dI=r2dm,=x2dx,(1)过棒的一端O,=L3/3,IO= x2dx,=mL2/3,(2)过棒的中点O,IO= x2dx,=x3/3,=L3/12,=mL2/12,3.平行移轴定理,IO=mL2/3,=mL2/12,+m(L/2)2,6.4,例3.求长L,质量m均匀细棒的转动惯量. (1)O轴通过棒一端且与棒垂直;(2)O轴通过棒中点且与棒垂直.,取轴为坐 标原点, 取长 度微元如图,解:,dm=dx,=m/L,dI=r2dm,=x2dx,(1)过棒的一端O,=L3/3,IO= x2dx,=mL2/

51、3,(2)过棒的中点O,IO= x2dx,=x3/3,=L3/12,=mL2/12,3.平行移轴定理,IO=mL2/3,=mL2/12,+m(L/2)2,I=Ic+md2,过质心轴与过所涉及点的轴 必须平行, d为两轴的距离.,规则物体的转动惯量通过计 算可求得, 但其它物体的转 动惯量只有通过测量得出.,四 刚体转动定律的应用,例4.唱机转盘绕过盘心的固定轴转动, 唱片放上去后受转盘摩擦力而随盘转动. 设唱片可看作半径R质量m的均匀圆盘,唱片转盘间滑动摩擦系数.k ,转盘原以角速度转动.求:(1)唱片刚放上去时受的摩擦力矩;(2) 唱片达到角速度需时间.,I=Ic+md2,过质心轴与过所涉及

52、点的轴 必须平行, d为两轴的距离.,规则物体的转动惯量通过计 算可求得, 但其它物体的转 动惯量只有通过测量得出.,四 刚体转动定律的应用,例4.唱机转盘绕过盘心的固定轴转动, 唱片放上去后受转盘摩擦力而随盘转动. 设唱片可看作半径R质量m的均匀圆盘,唱片转盘间滑动摩擦系数.k ,转盘原以角速度转动.求:(1)唱片刚放上去时受的摩擦力矩;(2) 唱片达到角速度需时间.,6.5,解:,(1)求摩擦力矩:,取圆环微元如图,dm=2rdr,=m/(R2),=2kgr2dr,dM=rdf,=rkdmg,M= 2kgr2dr,=2kgR3/3,=2kmgR/3,(2)求时间:,由转动定律,M=I,有,

53、2kmgR/3=(mR2/2),=4kg/(3R)=d/dt,dt=3Rd/(4kg),t= 3Rd/(4kg),=3R/(4kg),例5.如图,两物质量各为m1和m2,可视作均匀圆盘的定滑轮质量m, 半径r. 己知m2与桌,6.5,解:,(1)求摩擦力矩:,取圆环微元如图,dm=2rdr,=m/(R2),=2kgr2dr,dM=rdf,=rkdmg,M= 2kgr2dr,=2kgR3/3,=2kmgR/3,(2)求时间:,由转动定律,M=I,有,2kmgR/3=(mR2/2),=4kg/(3R)=d/dt,dt=3Rd/(4kg),t= 3Rd/(4kg),=3R/(4kg),面滑动摩擦系数

54、k.求m1下落加速度和两绳张力.设绳和轮间无相对滑动,滑轮轴受摩擦力忽略不计.,解:,m1, m2, m 受切向力如图, 以运动方向为 坐标正向.,f=km2g,对m1,m1gT1=m1a,对m2,T2f=m2a,对m,(T1 T2)r =I,I=mr2/2,a=r,解得,例5.如图,两物质量各为m1和m2,可视作均匀圆盘的定滑轮质量m, 半径r. 己知m2与桌,面滑动摩擦系数k.求m1下落加速度和两绳张力.设绳和轮间无相对滑动,滑轮轴受摩擦力忽略不计.,解:,m1, m2, m 受切向力如图, 以运动方向为 坐标正向.,f=km2g,对m1,m1gT1=m1a,对m2,T2f=m2a,对m,

55、(T1 T2)r =I,I=mr2/2,a=r,解得,6.6,用转动定律解题的步骤：,(1) 选隔离体作受力分析;,(2) 取坐标,对转动物体用转 动定律列方程, 对平动物体 用牛顿定律列方程;,(3) 用角量和线量的关系将 两类方程联系起来;,(4) 解方程, 得 出字母表达 式的最后结果,再代入数值;,(5) 依要求进行讨论.,例6.如图,组合轮由半径各为R1,R2,质量各为M1,M2,的二均匀圆盘同轴固结而成,可绕水平固定轴自由转动.今在两盘上各绕细绳, 绳两端,6.6,用转动定律解题的步骤：,(1) 选隔离体作受力分析;,(2) 取坐标,对转动物体用转 动定律列方程, 对平动物体 用牛

56、顿定律列方程;,(3) 用角量和线量的关系将 两类方程联系起来;,(4) 解方程, 得 出字母表达 式的最后结果,再代入数值;,(5) 依要求进行讨论.,例6.如图,组合轮由半径各为R1,R2,质量各为M1,M2,的二均匀圆盘同轴固结而成,可绕水平固定轴自由转动.今在两盘上各绕细绳, 绳两端,各挂质量m1 ,m2 二物体.求重力使m2下落时轮的角加速度.,m1, m2 及定滑轮切向受 力如图, 以运动方向为坐标 正向.,m2gT2=m2a2,T1m1g=m1a1,T2R2T1R1=I,=a1/R1=a2/R2,I=M1R12/2+ +M2R22/2,解得m2下落时轮角加速度为,=,解:,各挂质

57、量m1 ,m2 二物体.求重力使m2下落时轮的角加速度.,m1, m2 及定滑轮切向受 力如图, 以运动方向为坐标 正向.,m2gT2=m2a2,T1m1g=m1a1,T2R2T1R1=I,=a1/R1=a2/R2,I=M1R12/2+ +M2R22/2,解得m2下落时轮角加速度为,=,解:,例1. 一均匀米尺,在0.6m刻度处被钉在墙上,且可在竖直面内自由转动.先用手使使米尺水平,然后释放.求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直时的角速度.,解:,米尺受重力 和支点处支撑力,米尺水平时的角 加速度,MG=mgd=I,因d=l/22l/5=l/10,有,I=Ic+md2,=ml2/12+m(l/

58、10)2=7ml2/75,=mgd/I=75g/70=10.5rad/s2,例1. 一均匀米尺,在0.6m刻度处被钉在墙上,且可在竖直面内自由转动.先用手使使米尺水平,然后释放.求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直时的角速度.,解:,米尺受重力 和支点处支撑力,米尺水平时的角 加速度,MG=mgd=I,因d=l/22l/5=l/10,有,I=Ic+md2,=ml2/12+m(l/10)2=7ml2/75,=mgd/I=75g/70=10.5rad/s2,米尺竖直时的角速度. 取任 意时刻(此时米尺下摆角),MG=mgrsin=mgdcos=I,=mgdcos/I=(75g/70)cos,=d/

59、dt=(d/d)(d/dt),=d/d,d=d,d= (75g/70)cosd,2=(15g/7)sin,=(15g/7)sin1/2,竖直=90,=(15g/7)1/2=4.58rad/s,=(75g/70)cosd,例2.如图,细杆长l, 质量m ,求转到角时的角加速度和角速度.,米尺竖直时的角速度. 取任 意时刻(此时米尺下摆角),MG=mgrsin=mgdcos=I,=mgdcos/I=(75g/70)cos,=d/dt=(d/d)(d/dt),=d/d,d=d,d= (75g/70)cosd,2=(15g/7)sin,=(15g/7)sin1/2,竖直=90,=(15g/7)1/2=4.58rad/s,=(75g/70)cosd,例2.如图,细杆长l, 质量m ,求转到角时的角加速度和角速度.,解:细杆受力如图,N 对转轴,7.2,MG =mglsin/2,O的力矩为零.由转动定律,=I=(ml2/3),=3gsin/(2l),=d/dt =(d/d)(d/dt) =d/d,d=d,d