（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 第4讲 解三角形课件.ppt

1、第4讲解三角形,第4讲解三角形 1.已知a,b,c是锐角ABC中A,B,C的对边,若a=3,b=4,ABC的面积为3,则c=.,答案,解析S=absin C=6sin C=3,sin C=.又ABC是锐角三角形,则C= ,cos C=.由余弦定理可得c2=9+16-234=13,即c=.,2.(2018江苏南京期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b-c=a, 2sin B=3sin C,则cos A的值为 .,答案-,解析由正弦定理及2sin B=3sin C,可得b=c,代入b-c=a,得a=2c,由余弦定 理得cos A=-.,3.(2018江苏苏州期中)设ABC的

2、内角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为AB的中点,若b=acos C+csin A且CD=,则ABC面积的最大值是 .,答案+1,解析b=acos C+csin A,由正弦定理可得sin B=sin Acos C+sin Csin A,则sin(A+C)=sin Acos C+sin Csin A,所以cos Asin C=sin Csin A.C(0,),sin C0,tan A=1.又A(0,),A=.在ACD中,由余弦定理可得2=b2+c2-2b bc-bc,bc=4+2,当且仅当b=c时取等号,则ABC面积的 最大值是bcsin A=(4+2)=+1.,4.设a,b,c依次是ABC

3、的角A,B,C所对的边,若=1 007tan C,且a2+b2=mc2,则m= .,答案2 015,解析由=1 007tan C,得= =1 007, cos C=.又cos C=, 1 007c2=, a2+b2=2 015c2,m=2 015.,题型一正、余弦定理的应用,例1(2018江苏扬州调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知cos A=-,b=,c=. (1)求a; (2)求cos(B-A)的值.,解析(1)在ABC中,因为cos A=-,b=,c=,所以a2=b2+c2-2bccos A=2+5-2=9. 因为a为边长,所以a0,所以a=3. (2)在ABC中

4、,cos A=-,所以A, 所以sin A=. 又=,即=,所以sin B=. 又A,所以B,所以cos B=. 所以cos(B-A)=cos Bcos A+sin Bsin A=+=.,【方法归纳】(1)正、余弦定理在三角形边角互化中具有重要应用,注意正弦定理的变形在解题中的应用,如a=2Rsin A,sin B=(其中R是ABC外接圆 的半径),abc=sin Asin Bsin C等; (2)常见题型:已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求出C,由正弦定理求出a,b;已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求出c,再用正弦定理求较短边所对的角,然后利用A+B+

5、C=求出另一角;已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求出B,由A+B+C=求出C,再由正弦定理或余弦定理求出c,要注意解可能有多种情况;已知三边a,b,c,可用余弦定理求出A,B,C.,1-1(2018苏锡常镇四市调研)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若cos A=,sin C=. (1)求tan B; (2)若a2+b2=7,求c的值.,解析(1)在ABC中,由cos A=, 得sin A=. 又sin C=,所以sin Csin A,所以CA,所以C为锐角. 于是cos C=, 所以tan A=2,tan C=, 所以tan B=-tan(A+C

6、)=-=-=.,(2)由=,sin2B+cos2B=1,得sin B=.由=,得= .又a2+b2=7,解得所以c2=a2+b2-2abcos C=7-4=3,所以c=.,题型二三角函数与解三角形,例2(2018江苏海安高级中学月考)已知函数f(x)=2sincos x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2, f(C)=,若sin B=2sin A,求 a,b的值.,解析(1)f(x)=2sincos x =2cos x=sin xcos x-cos2x =sin 2x-=sin-, 当且仅当x=+k,kZ时, f(x)ma

7、x=,最小正周期T=.,(2)f(C)=sin-=,即sin=1,因为0C,所以-2C-,于 是2C-=,即C=.因为sin B=2sin A,所以由正弦定理得b=2a.由余弦定理得c2 =a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=12.联立解得,【方法归纳】解题步骤:(1)利用三角公式将解析式化为标准型;(2)结合三角函数的图象研究三角函数的性质;(3)利用正弦定理、余弦定理实现边角互化.,2-1(2018江苏泰州中学月考)已知f(x)=sin-cos x. (1)求f(x)在0,上的最小值; (2)已知a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,b=5,cos A=,且f(B)=1,求

8、边a 的长.,解析(1)f(x)=-cos x=sin x+cos x=sin, 0 x,x+, x+=,即x=时, f(x)min=-. (2)x+=2k+,kZ时, f(x)有最大值1, B是三角形内角,B=,sin B=. cos A=,sin A=.又=,b=5,a=8.,题型三平面向量与解三角形,例3(2018江苏盐城模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线. (1)若a=4,b=2,AD=1,求边c的长; (2)若=c2,求角B的大小.,解析(1)在ADC中,因为AD=1,AC=2,DC=BC=2,所以由余弦定理,得cos C=.,故在ABC中,由

9、余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=42+22-242=6,所以c=. (2)因为AD为边BC上的中线,所以=(+),所以 c2=(+)=+=c2+cbcos A,得c=bcos A. 则c=b,得b2=c2+a2,所以B=90.,【方法归纳】平面向量与解三角形的综合问题大致有两种类型:一是向量的线性运算、数量积运算与解三角形的综合,如本例,利用向量的线性运算法则、数量积的定义进行向量运算,得到边角混有的恒等式,再利用余弦定理、正弦定理进行边角统一;二是向量的坐标运算与解三角形的综合问题,利用向量共线定理的坐标表示、数量积的坐标运算将向量转化为三角函数,再利用三角公式、正弦定理、余弦定理等求解.,3-1(2018江苏南京模拟)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2cos x),x R.设f(x)=mn. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若f(A)=1,a=2,c=2,求ABC的 面积.,解析(1)f(x)=cos2x-sin