第三章 直线与方程教师用

1、第三章 直线与方程3.1.1直线的倾斜角与斜率知识要点一.直线的倾斜角（1）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.（2）直线的倾斜角的取值及范围：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为，则直线的倾斜角的取值范围是.【例题1】已知直线的倾斜角为，则下列结论正确的是（C ） 二.直线的斜率（1）定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.通常用表示，即，倾斜角为的直线没有斜率.（2）对倾斜角和斜率关系的理解：当倾斜角是时，直线的斜率不存在.但并不是该直线不存在，此时，该直线垂直于轴.所以的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.

2、【例题2】下列说法正确的是（ D ）一条直线和轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 直线的倾斜角的取值范围是第一或第二象限角 和轴平行的直线它的倾斜角是 每一条直线都存在倾斜角，但不是每条直线都存在斜率【例题3】下列说法正确的是（ D ）直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 直线的斜率为，则直线的倾斜角 若直线的倾斜角为，则 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率三.直线斜率的表示方法：两点式已知两点，如果，则的斜率为，如果，则其斜率不存在.【例题4】经过下列两点的斜率是否存在？如果存在，求其斜率（1） （2） （3） （4）【例题5】过点和的直线的斜率为1，则等于_1【例题6】求经过两点和的直线的

3、斜率的取值范围？基础练习一、选择题1、已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ C ） 或 或2、已知直线的斜率为，倾斜角是，直线的斜率为，倾斜角是，则（ D） 3、若直线的倾斜角为，则等于（ C） 不存在4、直线经过原点和点，则它的倾斜角是（ A） 或 5、直线过点，直线的倾斜角与的倾斜角互补，则直线的倾斜角是（ D ） 6、若三点，共线，那么下列成立的是（ C） 7、经过两点，的直线的倾斜角的正切值为（ C） 二、填空题1、如图，直线，的斜率分别是，则_2、直线过，两点，其中，则直线的倾斜角为_ 3、若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是_4、在轴上有一点，它与点连成的直

4、线的倾斜角为，则点的坐标是_5、直线的斜率，则直线的倾斜角的范围是_三、解答题1、已知，两点，直线过定点且与线段相交，求直线的斜率的取值范围？或2、若直线的斜率为函数的最小值，求直线的倾斜角和斜率？，-13、已知，若的斜率是斜率的2倍，求点坐标？或4、已知，三点在同一直线上，求实数的值？或2能力提升一、选择题1、直线过原点，且不过第三象限，那么倾斜角的取值范围是（ C） 2、设直线过原点，其倾斜角，将直线绕原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则的倾斜角为（ D） 当时为，当为3、直线过点，且不过第四象限，那么直线的倾斜角的取值范围是（ A） 4、顺次连接，四个点，所构成的图形是（ B）平行四边形

5、直角梯形 等腰梯形 以上都不对5、直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，若，则直线的斜率为（ B） 6、已知，关于轴对称，则它们的倾斜角与之间的关系是（ A） 二、填空题1、已知直线的倾斜角为，直线与关于轴对称，则直线的倾斜角为_2、若直角三角形三边长分别为，则三点，满足的关系是_三点共线3、已知实数、满足，当时，的取值范围为_三、解答题1、已知直线上的两点，求其斜率，若在直线上，求间应满足的关系，并求当时，的值？ 2、已知直线的倾斜角为，且是直线上的三个点，求和 0 -1或4 93、已知，当为何值时，直线的倾斜角为：（1）锐角 或（2）直角 （3）钝角 3.1.2两条直线平行与垂直的判定知识

6、要点一、两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有/注意上述两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，若斜率都不存在，则它们都垂直于轴【例题1】下列说法正确的有（ A ）若两直线斜率相等，则两直线平行若/，则若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交若两直线的斜率都不存在，则两直线平行1个 2个 3个 4个【例题2】已知直线的倾斜角为，直线经过点，判断直线，的位置关系. 平行或重合二、两条直线垂直当两条直线的斜率都存在是，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线也垂直【例题3】已知点，当为何值时，直线与直线互相垂直. -3【例题4】已

7、知直线经过点，直线经过点，如果，则等于_-6或5三、易错点：判断直线平行与垂直关系时对斜率的讨论【例题5】已知直线经过点，直线经过点，若，求的值. 0或5四、数学结合在直线的平行与垂直关系中的应用【例题6】一条光线从发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，求反射光线所在直线的斜率. -2【例题7】过的直线与线段相交，若，求直线的斜率的取值范围. 五、典型例题已知实数满足，当时，求的最大值与最小值. 2 课堂练习1、判断下列各题中的直线，是平行还是垂直（1）经过点，经过点，（2）的斜率是1，经过点（3）经过点，经过点2、当为何值时，过点的直线：（1）与过两点的直线垂直（2）与过两点的直线平行基础练习

8、一、选择题1、下列说法正确的是（ B）平行的两条直线的斜率一定存在且相等平行的两条直线的倾斜角一定相等垂直的两条直线的斜率之积为只有斜率相等的两条直线才一定平行2、经过点，经过点，当直线平行于直线时，则的值为（A ） 3、经过点的直线平行于斜率等于1的直线，则的值为（A ） 4 1或3 1或44、给定三点，则过点且与直线垂直的直线经过（ A ） 5、过点，的直线与过点，的直线的位置关系为（ A ）垂直 平行 重合 以上都不正确二、填空题1、若三点共线，则等于_2若点、在直线上，若直线，则的倾斜角为_3、已知点，且，则等于_4、将直线沿轴正方向平移2个单位长度，再沿轴负方向平移3个单位长度，又回

9、到原来的位置，则直线的斜率是_5、已知两点，点在轴上，且，则点坐标为_或三、解答题1、已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标. 2、已知，求点，使.3、已知四边形的顶点为,试判断四边形的形状. 矩形能力提升1、已知，求点坐标，使四边形为直角梯形（按逆时针方向排列） 或2、已知三点的坐标分别是，试确定点坐标，使四边形为平行四边形. 或或3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式、斜截式方程知识要点一、直线的点斜式方程（1）形式：（2）适用范围：直线的点斜式方程适用于斜率存在并过已知点的直线，即直线不垂直于轴.【例题1】根据条件写出下列各题中的直线方程（1）经过点，斜率为2（2）经过点，倾斜角为（3）经过

10、点与轴垂直（4）经过点与轴平行二、直线的斜截式方程（1）方程形式：（其中为直线在轴上的截距，即直线过点）（2）适用范围：斜率存在即不垂直于轴的直线【例题2】根据条件写出下列各题中的直线方程（1）斜率为2，在轴上的截距为5（2）倾斜角为，在轴上的截距为基础练习一、选择题1、已知直线的方程是，则（ C）直线经过点，斜率为 直线经过点，斜率为1 直线经过点，斜率为 直线经过点，斜率为12、方程表示（C ）过点的所有直线 过点的所有直线 过点且不垂直于轴的直线 过点且除去轴的直线3、直线：的倾斜角为，则直线在轴上的截距是（ B）1 3 4、直线与垂直，则等于（ D）2 1 0 5、经过点，倾斜角是直线

11、的倾斜角的2倍的直线是（ A） 二、填空题1、经过点，倾斜角为的直线方程为_2、直线在轴上的截距是3，则等于_63、过原点和点的直线方程是_4、与直线垂直且在轴上的截距为4的直线方程为_5、原点在直线上的射影为点，则直线的方程为_6、直线：，若直线在轴上的截距为6，则等于_三、解答题1、求过点，且平行于直线的直线的方程 直线：（1）若直线与关于轴对称，求的方程 （2）若直线与关于轴对称，求的方程 2、三角形的三个顶点，求三角形边上的高所在的直线方程.3、已知直线在轴上的截距为，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程 或能力提升一、选择题1、将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位

12、，所得到的直线方程为（ A） 2、以为端点的线段的垂直平分线方程是（ B） 3、过点且垂直于直线的直线方程为（ A） 4、直线，当变动时，所有直线都通过定点（ C） 5、直线一定经过（ A）第一、三象限 第二、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限6、直线不经过第三象限，则（ A） 二、填空题1、若，则直线必不通过第_象限 三2、直线绕点按顺时针方向旋转后所得的直线方程是_3、直线过原点，且平分平行四边形的面积，若，则直线的方程是_4、在直线上的射影为，则直线的方程为_5、已知，线段的垂直平分线的方程是_三、解答题1、求与两坐标轴围成的三角形周长为9且斜率为的直线方程 已知直线（1）求直线

13、恒过的定点 （2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围 2、已知直线方程为，当时，求此直线方程或当为何值时直线：与平行当为何值时直线：与垂直3.2.2直线的两点式、截距式、一般式方程知识要点一、直线的两点式方程（1）形式：（2）适用范围：直线的两点式方程适用于斜率存在且斜率不等于零的直线.【例题1】求经过下列两点的直线方程（1） （2） （3）【例题2】已知的三个顶点坐标，求三角形三边所在的直线方程.二、直线的截距式方程（1）形式：，其中分别是直线在轴上部位零的截距，即直线过和.（2）适用范围：不含有垂直坐标轴及过坐标原点的直线.【例题3】根据下列条件求出各题中的直线方程（1）在轴上的

14、截距为，在轴上的截距为（2）在轴上的截距为1，在轴上的截距为【例题4】求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.三、直线的一般式方程（1）形式：（2）适用范围：适用于任何一条直线【例题5】根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式.（1）过点，斜率为（2）在轴、轴上的截距分别为和4【例题6】设直线的方程为，已知在轴上的截距为2，试确定的值.课堂练习一、选择题1、过两点的（5，0），（2, ）的直线的方程是 （ B ）A、 B、C、 D、2、在轴、轴上的截距分别是，4的直线方程是（B ）A、 B、C、 D、3、直线在轴上的截距是（ B ）A、 B、 C、 D、4、已知，则过点A（），B、（）的直

15、线的方程是（ A ）A、 B、 C、 D、5、直线和的位置关系式（ C ）A、平行 B、垂直C相交单不垂直 D、不能确定6、直线与两坐标轴围成的面积是（ D ）A、 B、C、 D、7、若果直线的倾斜角为，则有关系式（ B ）A、 B、C、 D、以上均不可能二、填空题1、已知直线过点（3，），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则的方程为_或2、过两点（5,7）和（1,3）的直线一般式方程为_,若点（a，12）在此直线上，a=_10三、解答题1、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程（1）斜率是，且经过点 （2）斜率是4，在轴上的截距为（3）经过；两点（4）在、轴上的截距分别为，2、过点（

16、，）作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.或基础练习一、选择题1、直线 与直线平行，则的值为（ D）2 2或 或2、已知直线与直线互相垂直，则实数的值为（ B）或2 或 1或2 1或3、直线过点且与直线垂直，则直线的方程是（ A） 4、过点（2,4）且在轴、轴上的截距相等的直线是（ B ）A、1条 B、2条 C、3条D、4条5、如果，且,那么直线不通过（ C ）A、第一象限 B、第二象限C、第三象限 D、第四象限6、若直线在x轴上的截距是3。，则m的值是（ D ）A、 B、6C、 D、7、方程表示的直线（ A ）A、恒过（，3） B、恒过（2,3）C、恒过（，3）或（2,

17、3） D、都是平行直线8、直线的斜率为，在轴上的截距为，则有（ C）A、 B、C、 D、9、直线在轴上的截距为（ A）A、 B、 C、 D、二、填空题1、若直线与直线平行，则等于_2、一直线过点（，4）并且在两坐标上的截距之和为12，这条直线方程是_或3、直线的倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程_4、过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_或三、解答题1、已知三角形的顶点是，求（1）三边所在的直线方程. （2）边上的中线所在的直线方程2、直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距地3倍，求直线的方程或3、已知直线与问两直线是否垂直，若垂直求的值 04、已知直线，问m为何止时：(1) ;

18、(2) 5、设直线的方程为，根据下列条件确定m的值.（1）在轴上的截距是 （2）斜率是 能力提升一、选择题1、三条直线， ，构成三角形，则的取值范围是（ A ） ， ，2、过点且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有（ C）1条 2条 3条 4条3、点与关于下列哪种图形对称（ A ） 点 4、把直线绕点逆时针旋转后，所得直线的方程是（ B） 5、若直线经过第一、二、三、象限，则（ D） 二、填空题1、若直线和直线没有公共点，则等于_或2、如果直线与直线关于轴对称，则直线的方程等于_3、若直线不经过第一象限，则的取值范围是_4、已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数的取值范围是_5、

19、直线经过连接的线段的中点，则_26、不论为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标是_ 三、解答题1、已知直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线的方程. 或或2、直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线的一般式方程. 或3、已知直线.（1）求证：不论为何值，直线总过第一象限（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围 4、当时，直线与和两坐标轴围成一个四边形，问为何值时，这个四边形的面积最小？并求这个数 5、设直线的方程为,根据下列条件分别确定m的值（1） 在x轴上的截距是；（2）斜率是1. 6、光线从点A(,4)射出，经x轴上的点 B反射后交轴与C点，再

20、经过C点从轴上反射恰好经过点D(,6),求直线AB,.BC,CD的方程。， 3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标3.3.2两点间的距离知识要点一、两直线的交点 设两直线的方程是，两直线是否有交点，就要看两直线组成的方程组是否有解，有以下三种情况：（1）若方程组无解，则两条直线平行，反之，亦成立（2）若方程组有无穷多解，则两直线重合，反之，亦成立（3）若方程组有且仅有一解，则两直线相交，反之，亦成立，方程组的解就是交点坐标.两直线，相交的条件是：二、两点间的距离设则【例题1】判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标（1） （2）（3）【例题2】求下列两点间的距离（1） （2） （3） 6【例题3】（1）求过直线和的交点且与直线平行的直线方程 （2）求经过直线和的交点且过坐标原点的直线方程【例题4】在直线上求一点，使点到两点的距离相等.P(0,1)【例题5】若直线和的交点在第一