第招 如何判断函数的奇偶性

1、第11招 如何判断函数的奇偶性？判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现.解法指导与经典范例（一） 判断函数奇偶性的方法1. 定义法这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x，以-x代换f(x)中的x得f(-x).(3)依据定义得出结论.注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0.（2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一)【例1】函数 （ ）.A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函

2、数 D0非奇非偶函数解解 当x0,而当x0时，-x0,【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b都满足：(1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.解（1）（1）=0.（2）f(x)是奇函数.证明如下：又2. 利用定义的等价命题来判断或：当注意：函数以对数形式或根式形式出现时，可考虑用等价命题来判断.（如例6证二、证三）【例4】1986.上海理一（15）函数 （ ）A是奇函数，不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数C.即不是奇函数，又不是偶函数 D.即是奇函数又是偶函数解一 =应选 A.解二 =lg1=0,是奇

3、函数.故选A3. 若函数图象易于作出，也可利用奇偶函数的图象特征来判断的图象关于原点对称；的图象关于y轴对称.注意：有时可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程.4. 利用奇、偶函数的运算性质来判断（1）奇偶偶奇【例5】1993.全国文理一（8）F（x）= ( ).A. 是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数解一 F-解二 设=5.由两个函数y=(u),u=g(x)复合而成的复合函数，只要y=f(u)与u=g(x)中有一个是偶函数，其复合函数y=就是偶函数；只有内、外函数均为奇函数时，复合函数才是奇函数.（例，见第35招例2）.（二） 函数奇偶性定义

4、和性质的逆用由于函数奇偶性的定义和性质其实是充要条件，因此当已知一个函数式奇函数或偶函数时，也可利用定义或性质来解题（如求函数解析式、函数值、参数取值等）.【例6】试证函数的图象关于原点对称.证一 当x=0时，而当因此函数f(x)的图象关于原点对称.证二 是奇函数.则f(x)的图象关于原点对称.说明：要判断一个定义域包含原点的函数f(x)是否为奇函数时，一定要先检验是否有f(0)=0.如果f(0)0，则f(x)肯定不是奇函数。如果f(0)=0.再检验x时是否有f(-x)=-f(x).【例7】2000.上海文、理一（8）设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间0,1上的图象为如图2-

5、6所示的线段AB，则在区间1,2上，f(x)=_.解一 依题意得：当x0解二 （数形结合法） 说明：要求哪一区间的解析式就把自变量x设在这一区间，再利用奇偶性，周期性等题设条件将其转换到已知函数解析式的那个区间山去解决.【例8】1996.全国文理一（15）设f(x)是 （ ）A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5解一 由已f(x)是=f(7.5)=-0.5.解二 （数形结合法） 的图象关于直线x=1轴对称.又当的图象如图2-8所示，于是f(7.5)=-0.5.解三 ，可见f(x)是周期函数，T=4是它的一个周期.自我检测111. 判断函数f(x)= 的奇偶性.2. 判断函数f(x)=的奇偶性.3.1990.广东文一卷（16）如果函数y=(a+1)x-(a-2)x是奇函数，那么a的值等于（ ）A.-2 B.-1 C.2 D.1 4.1994.上海试点校文二（16）已知f(x)(x则下列各点中，在y=f(x)图象上的点是 （ ）A.（5，f(-5)） B.(-5,-f(5) C.(-5,f(5) D.(5,-f(5)5.2002.上海春文理一（4）设f(x)是定义在R上的奇函数，若当f(-2)=_.6.已知f(x)=x是偶函数，求a