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1、1.3.2球的体积和表面积一学习目标:了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式);能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二重点、难点:重点:难点:三知识要点:1. 表面积: (R:球的半径). 2. 体积:.四自主探究:(一)例题精讲:【例1】有一种空心钢球,质量为,测得外径等于,求它的内径(钢的密度为,精确到)解:设空心球内径(直径)为,则钢球质量为, ,直径,即空心钢球的内径约为.【例2】表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积.解:设球半径为,正四棱柱底面边长为,则作轴截面如图,又,.【例3】(04年辽宁卷.10)设A、B、C、D是球面上的四个点,
2、且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是( ).ABCD【解】由已知可得,A、B、C、D在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3, 四边形为正方形. 小圆半径. 由得,解得. 球的体积. 所以选A.点评:解答球体中相关计算,一定要牢记球的截面性质,体积和表面积公式.【例4】推导球的表面积公式.解:设球的半径为,我们把球面任意分割为一些“小球面片”,它们的面积分别用表示,则球的表面积.以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积,这些“小锥体”可近似地看成棱锥,“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积,球的半径
3、近似地等于小棱锥的高.因此,第个小棱锥的体积,当“小锥体”的底面非常小时,“小锥体”的底面几乎是“平的”,于是球的体积为:,又,且, 可得.又 , 即为球的表面积公式点评:我们也可以类似以上极限分割,利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径作等分,经过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成层,每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”,这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状,它的体积近似于相应的圆柱的体积,从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割,然后求和.第7练 1.3.2球的体积和表面积五目标检测:(一
4、)基础达标1正方体的内切球和外接球的半径之比为( ). A. B. C. D. 2设正方体的全面积为,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ). A. B. C. D. 3已知,棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如下图所示,则(). A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的 C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2)是正确的4长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ). A. B. C. D. 都不对5一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的
5、3倍,圆锥的高与底面半径之比为( ). A. B. C. D. 6若三个球的表面积之比是,则它们的体积之比是 .7 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则这个球的表面积为 ,体积为 . (二)能力提高8已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且,求球的表面积.9半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为,求球的表面积和体积.(三)探究创新10祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高
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