数学归纳法第一课时.ppt

1、2.3 数学归纳法(第一课时),问题情境一,问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题 2: 如果an是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d,完全归纳法,不完全归纳法,模 拟 演 示,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,万百千的笑话,归

2、纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法,（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法,归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法,问题情境三,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,问题情境三,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）,数学归纳法,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数

3、有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做 数学归纳法,3.数学归纳法的应用：,（1）恒等式例1例2例3,（2）不等式,（3）三角方面,（4）整除性例4,（5）几何方面例5,（6）计算、猜想、证明,解：,猜想：,如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,证明,4、对于数列，已知，,求出数列前4项,你能得到什么猜想？,根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明：,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方

4、法,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。,已知数列,练习：1、如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立,(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时，结论也成立.,由(1)和(2)知,等

5、式对于任何nN*都成立。,利用假设,情境1.观察下列各等式，你发现了什么？,问题情境,思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？,数学建构,类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为：,(1)证明当n=1时猜想成立,(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.,完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第2个条件,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例 证明：,数学运用,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是

6、说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,上如证明对吗？为什么？,证明：当n=1时，左边,设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,思考：用数学归纳法证明:当,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,则，当n=k+1时,135（2n1）,正确解法：用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即

7、,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,（凑结论）,用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）、（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。,课堂练习,2、求证：1+2+3+n=,n(n+1 ),用数学归纳法证明：34n+252n+1能被14整除,证明：(i)当n1时，341+2521+17541416，

8、当n1时，34n+252n+1能被14整除,(ii)设nk(k1，kN*)时，34k+252k+1能被14整除,那么当nk1时,34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152,8134k+22552k+1,(2556)34k+22552k+1,25(34k+252k+1)5634k+2, (34k+252k+1)能被14整除，56能被14整除, 34n+252n+1能被14整除即nk1时，命题成立,根据(i)、(ii)可知, 34n+252n+1能被14整除,小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什

9、么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,练习3,纠错!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基

10、础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,（3）（纠错题）课本P87 T3 2nn2(nN*),证明 ：当n=1时，21

11、12,不等式显然成立。 假设当n=k时等式成立，即2kk2, 那么当n=k+1时，有 2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2. 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。,虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！,事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。,练习巩固,C,C,3. 用数学归纳法证明: 122334n(n1) ,练习巩固,4、用数学归纳法证明：,5求证:当nN*时，,3.用数学归纳法证明 122334n(n1) ,练习巩固,3.用数学归纳法证明 122334n(n1) ,练习巩固,练习巩固,4、用数学归纳法证明, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,提什么 好呢?,注意结论的形式,练习巩固,5求证:当nN*时，,证明:,