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文档简介

1、2020/8/26 16:50,近世代数,第二章 群 论 6 置 换 群,2020/8/26 16:50,背景,在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决，即,他们在解决这一问题时引入了一种新的概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用. 也因此可以说，阿贝尔与伽罗瓦是近世代数的创始人.,“五次和五次以上代数方程的根式解问题”,被挪威青年数学家阿贝尔与法国青年数学家伽罗瓦彻底解决，从而推动了数学的发展，其重要意义是不言而喻的.,2020/8/26 16:50,一、置换群的基本概念,定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.,定义2：一个有

2、限集合的若干个置换做成的一个群叫 一个置换群.,例1：设,求 A 的全体置换.,定义3：一个包含 个元的的集合的全体置换做成 的群叫做,定理1： 次对称群 的阶是,次对换群（ ）,2020/8/26 16:50,二. 置换的表示方法,置换,我们用 来表示 的一个置换,当然也可以用,可表示成,2020/8/26 16:50,例1,设,求A的全体置换.,三次对称群为：,2020/8/26 16:50,三.置换的乘积,注：置换乘法不满足交换律, 是有限非交换群.,求,2020/8/26 16:50,四循环置换,前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.,设有8元置换,都不改变, 若将不发生

3、改变的文字都删掉,那么,上述置换可写成循环置换的形式:,2020/8/26 16:50,说明,循环置换是置换的另一种表达形式,表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如,”,.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例,这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:,所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置于首位.,“8元置换,2020/8/26 16:50,定义3,中的一个将,变到,，,变到,变回到,而其余元素（如果还有其他元素）不发生,变化的置换，叫做 k循环(置换)，记为,2020/8/26 16:50,例3.我们看,例1中的3元置换都是循环置换，且,2020/8/26 16:50,注：并不是每个置换都是循环置换.,设,和,都是循环置换,如果,是不相连的.,则称,与,不是循环置换，但,定义4,2020/8/26 16:50,定理2.,每个置换都可表成不相连循环置换之积.,证：,注：将置换写成不相连的循环置换之积是,表示置换的第二种方法.,2020/8/26 16:50,例：四次对称群,定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.,2020/8/26 16:50,作业：给出下列6元置换：,求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶,（4）,20

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