2017_18版高中数学第二章解三角形1.2余弦定理(一)课件北师大必修.pptx

1、第二章 解三角形,1.2余弦定理(一),1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一余弦定理的推导,当abc时，C60， a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2， 即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.,根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C. 试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？,答案,在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由

2、此证明思考1的猜想吗？,思考2,答案,a2b22abcos C,梳理,余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模. 另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理.,知识点二余弦定理的呈现形式,1.a2 ，b2 ，c2 . 2.cos ； cos ； cos .,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,A,B,C,知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题,思考1,每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三

3、角形.,观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,答案,思考2,每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.,观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,答案,梳理,余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.,题型探究,类型一余弦定理的证明,例1已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.,解答,则|c|2cc(ab)(ab) aabb2aba2b2 2|a|b|cos C. 所以c2a2b22abcos C.,反思与感悟,所

4、谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.,如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立 直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C.,跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？,解答,类型二用余弦定理解三角形,命题角度1已知两边及其夹角 例2在ABC中，已知b60

5、cm，c34 cm，A41，解三角形.(角度精确到1，边长精确到1 cm),解答,根据余弦定理，a2b2c22bccos A60234226034cos 41 1 676.78， 所以a41(cm).,因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C33， 所以B180(AC)180(4133)106.,反思与感悟,已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.,跟踪训练2在ABC中，已知a2，b ，C15，求A.,解答,由余弦定理，得c2a2b22abcos,因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.,命题角度2已知三边 例3在ABC中，已知

6、a134.6 cm，b87.8 cm，c161.7 cm，解三角形(角度精确到1).,解答,B3253. C180(AB)180(56203253)9047.,反思与感悟,已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ，cos B ，cos C求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.,跟踪训练3在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状.,解答,因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0).,所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.,当堂训练,1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，则三角形的另一边

7、长为 A.52 B. C.16 D.4,答案,解析,1,2,3,4,2.在ABC中，a7，b ，c ，则ABC的最小角为,1,2,3,4,abc，C为最小角且C为锐角，,答案,解析,设顶角为C，角A，B，C所对的角分别为a，b，c，周长为l，因为l5c，所以ab2c，,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,4.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为 ，那么b等于,答案,解析,1,2,3,4,ac6. b2a2c22accos B(ac)22accos B2ac， 又2bac，,规律与方法,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果