清华机械工程控制基础课件第二章自动控制系统的数学模型.ppt

1、2020/9/6,机械工程,学时与学分：40/2.5,基本教学内容与学时安排 一绪论 4 学时 二自动控制系统的数学模型 6 学时 三时间响应分析 8 学时 四频率特性分析 8 学时 五系统的稳定性 8 学时 六系统的性能指标与校正 4 学时,2020/9/6,机械工程,二、自动控制系统的数学模型,2.0 基本概念 2.1 系统的微分方程 2.2 Laplace 变换及系统传递函数 2.3 系统的传递函数方框图及其简化 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 相似原理,2020/9/6,机械工程,2.0基本概念 1)建立数学模型的意义 (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量

2、地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。,2)系统数学模型的形式 （1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系统(或元件)动态特性； （2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合 。,2020/9/6,机械工程,3) 数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅就分析法进行讨论。 (1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。 (2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。,2020/9/6,机械工程,4)线性系统与非线

3、性系统,定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如2.0.1 如果系数 均为常数，则式(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。 若 是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。,2020/9/6,机械工程,若 中有系数依赖于 或它们的导函数，或者，在微分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统，下面模型 是非线性的

4、。 线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。 线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。 本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。这方面内容，本课程不作要求。,2020/9/6,机械工程,2.1系统的微分方程,一用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法 (1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统

5、的输入量，而被控制量则是输出量； (2)进行适当的简化，忽略次要因素； (3) 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程； (4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程； (5)标准化。整理所得微分方程， 输出量降幂排列输入量降幂排列 一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。,2020/9/6,机械工程,例1 图示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。 解：列写系统微分方程 输入:电压 输出:电压 中间

6、变量 简化 (3)根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：,1 部件的数学模型,2020/9/6,机械工程,电路分析的基本方法-克希荷夫定律,(1)克希荷夫第一定律(克希荷夫电流定律KCL)：在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代数和恒等于零，即流出结点的取+号，流入结点的取-号。N为支路数。 (2)克希荷夫第二定律(克希荷夫电压定律KVL)：在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方向一致的取+号，相反的取-号。N为支路数。,也写为基尔霍夫定律,2020/9/6,机械工程,(4)消去中间变量 式（2.1.1）就是系统的微分方程。,2020/

7、9/6,机械工程,注意,虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。 本例如果不考虑负载效应时，有： 第一级： 第二级： 消去中间变量得到： 显然与前面得到的结果不同。,2020/9/6,机械工程,例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中为电动机旋转时电枢两端

8、的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。,2020/9/6,机械工程,(1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变量 ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即 式中， 为反电势常数。这样（2.1.5）式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为,(2.1.5),(2.1.6),(2.1.7),2020/9/6,机械工程,式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数 （3）消除中间变量 将（

9、2.1.8）式代入（2.1.7）式得 上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。 应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得 令 ，则上式为 式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。,(2.1.8),(2.1.9),(2.1.10),(2.1.11),2020/9/6,机械工程,二微分方程的增量化表示,前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有 这就是系统的稳态。,（2.1.12）,（2.1.13）,

10、2020/9/6,机械工程,（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为： 则式（2.1.11）可记为： 考虑到 ，上式可变为 2.14 式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。,(2.1.14),2020/9/6,机械工程,控制系统微分方程的建立,线性定常微分方程的求解,初值定理： 终值定理:,例：,例：,2020/9/6,机械工程,三非线性微分方程的线性

11、化,某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。,2020/9/6,机械工程,(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系,(2.1.15),(2.1.16),(2.1.17),2020/9/6,机械工程,（3）线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有： 式中 则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.1

12、9）可以写为,(2.1.18),(2.1.19),(2.1.20),2020/9/6,机械工程,（4）消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：,(2.1.21),(2.1.22),2020/9/6,机械工程,图2.1.4 q,p,x三者线性关系,2020/9/6,机械工程,小偏差线性化时要注意以下几点： （1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零 （2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。

13、 （3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。 （4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。,2020/9/6,机械工程,2.2 系统传递函数,传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。 1.微分方程转化传统函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计算工作量。 2.传统函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计. 一. 定义 输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出 的Laplace变换 与输入 的Laplace变换 之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S

14、)。,2020/9/6,机械工程,数学说明：线性定常系统微分方程如下： 输入、输出的初始条件均为零时，作Laplace变换可得： 由定义可得： 将式（2.2.3）画成方框图，如图2.2.1所示。 图2.2.1 系统框图 则： ( 2.2.4),(2.2.1),(2.2.2),(2.2.3),2020/9/6,机械工程,二.零点、极点和放大系数,G(s)因式分解： K为常数 当 时，均能使G（s）=0,故称 为G(s)的零点。 当 时，均能使G（s）取极值： 故称 为G(s)的极点 1.G(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一致的，极点

15、即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。,2020/9/6,机械工程,放大系数是系统稳态时输出与输入之比。 当输入为单位阶跃函数 由终值定理可求得系统稳态输出为： G(0)分别由定义及分解式得： 放大系数为G(0) ，它由微分方程的常数项决定。 系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。,2020/9/6,机械工程,三典型环节的传递函数,典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。 下面介绍这些环节的传递函数及其推导：,2020/9/6,机

16、械工程,1比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节）,输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节 称为比例环节，其动力学方程为： K为环节的放大系数或增益。其传递函数为：,（2.2.5）,2020/9/6,机械工程,2、惯性环节（或一阶惯性环节） 动力学方程为一阶微分方程 的环节为惯性环节，其传递函数为： 式中，K为放大系数；T为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图2.2.4所示。,（2.2.6）,图2.2.4惯性环节,2020/9/6,机械工程,3微分环节,具有输出正比于输入的微分，即具有 的环节称为微分环节，显然，其传递函数为： 式中，T为微分环节的时间常数，微分环节的方框图如图2.2

17、.7所示,（2.2.7）,图2.2.7微分环节,2020/9/6,机械工程,4、积分环节,具有输出正比于输入对时间的积分，即具有 的环节称为积分环节，显然，其传递函数为： 式中，T为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图2.3.13所示。,图2.2.13 积分环节,（2.2.8）,2020/9/6,机械工程,5、振荡环节（或称二阶振荡环节）,振荡环节是二阶环节，其传递函数为： 或写成 为无阻尼固有频率；T为振荡环节的时间常数， 为阻尼比。方框图见图2.2.17。 阶跃输入时，输出有两种情况： （1）当01时，输出为一振荡过程，即为振荡环节； （2）当1时，输出为一指数上 升曲线而不振荡，最后

18、达到常值 输出。此时，二阶环节不是振荡环节， 而是两个一阶惯性环节的组合。 当T很小，较大时，由式（2.2.10）， 可知 可忽略不计， 故分母变为一阶，二阶环节近似为惯性环节。,图2.2.17,2020/9/6,机械工程,6、延时环节（或称迟延环节）,延时环节是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节。一般与其他环节同时共存，不单独存在。 延时环节的输入与输出之间有如下关系（ 为延迟时间）： 延时环节是线性环节：设延时作用相当于算子A，即 通过算子A的作用而变为 ，即： 从而有： 这表明算子A符合叠加原理是线性的，即延时环节是线性环节。,（2.2.11）,2020/9/6,机械工程,延时环

19、节传递函数： 延时环节与惯性环节区别： 惯性环节的输出需要延迟一段时间才接近于所要求的输出量，但它从输入开始时刻起就已有了输出； 延时环节在输入开始之后，延时时间内并无输出，延时时间之后，输出就完全等于输入；简言之，输出等于输入，只是在时间上延时了一段时间间隔。,(2.2.12),2020/9/6,机械工程,2.3 系统的传递函数方框图及其简化,一.传递函数方框图 一个系统可由若干个环节组成，将这些环节以方框表示，其间用相应的变量联系起来，就构成系统的方框图。它是系统的一种图解表示方法。如图2.3.1所示。 方框图表示有如下优点： （1）可以形象地表示系统的内部情况及各环节、各变量之间的关系；

20、 （2）可以由局部环节的方框联成整个系统的方框图，再将方框图简化，就易于写出整个系统的传递函数； （3）可以揭示和评价每个环节对系统的影响。,2020/9/6,机械工程,1.方框图结构要素,(1)函数方框 函数方框是传递函数的图解表示，。方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。所以，方框的输出应是方框中的传递函数乘以其输入，即,2020/9/6,机械工程,(2)相加点 相加点是信号之间代数求和运算的图解表示，如图232所示。 1.相加点处，输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和；2.“十”号或“一”号表示该输入信号代数运算中的符号；3.在相加点处加

21、减的信号必须是同种变量，且量纲相同；4.相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。,2020/9/6,机械工程,(3)分支点 分支点表示同一信号向不同方向的传递，如图233所示， 在分支点引出的信号：量纲相同，数值相等.,2020/9/6,机械工程,2.方框图的建立,建立系统方框图的步骤： (1)建立系统(或元件)的原始微分方程； (2)对微分方程进行Laplace变换，并根据各Laplace变换式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3)按照信号在系统中传递或变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起)，系统输入量置于左端，输出量置于右端。,2020/9/6,机械工程

22、,二.传递函数方框图的等效变换,实际自动控制系统：通常用多回路的方框图表示，如大环回路套小环回路，其方框图甚为复杂。为便于分析和计算，可基于下述的等效原则对方框图加以简化。,2020/9/6,机械工程,1串联环节的等效变换规则,串联：前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式称为环节的串联，如图238所示。串联后的传递函数为： 故环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积,2020/9/6,机械工程,2.并联环节的等效变换规则 各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种联接方式称为环节的并联，如图2.3.9所示。则有 环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和,2020/9

23、/6,机械工程,3方框图的反馈联接及其等效规则,如下图所示称为反馈联接，它也是闭环系统传递函数方框图的最基本形式。单输入作用的闭环系统，其传递函数方框图总可以简化成图2310所示的基本形式。,2020/9/6,机械工程,图2310中， 称为前向通道传递函数，它是输出 与偏差 之比，即 称为反馈回路传递函数，即 前向通道传递函数 与反馈回路传递函数 之乘积定义为系统的开环传递函数 ,它也是反馈信号 与偏差 之比，即,（2.3.1）,（2.3.2）,（2.3.3）,2020/9/6,机械工程,输出信号 与输入信号 又之比，定义为系统的闭环传递函数 ，即 可以推出: 对于负反馈系统 若反馈回路传递函

24、数H(S)=1,称为单位反馈。此时有,（2.3.4）,（2.3.5）,（2.3.6）,2020/9/6,机械工程,4分支点移动规则,若分支点由方框之后移到该方框之前，为了保持移动后分支信号不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的方框，如图2311(a)所示。 若分支点由方框之前移到该方框之后，为了保持移动后分支信号X3不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的倒数的方框，如图231l(b)所示。,2020/9/6,机械工程,5相加点移动规则,若相加点由方框之前移到该方框之后，为了保持总的输出信号X3不变，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的方框，如图231l(c)所示。 若相加点由方框之后移到

25、该方框之前，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框，如图231l(d)所示。,2020/9/6,机械工程,6分支点之间、相加点之间相互移动规则,分支点、相加点间的相互移动，均不改变原有的数学关系，因此，可以相互移动，如图2312(a)、(b)。但分支点相加点之间不能直接移动，因为它们并不等效。,2020/9/6,机械工程,7交换相加点和分支点,分支点与相加点间的相互移动，为了保持总的输出信号不变，每条分支均要考虑相加点。,2020/9/6,机械工程,化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回

26、路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。 例：如图2313所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方框图，并求系统传递函数。,图2.3.13 (a),2020/9/6,机械工程,化简过程可按如下步骤进行： (1)由(a)相加点前移得（b）;,图2.3.13 (b),2020/9/6,机械工程,(2)将（b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数,得（c）；,图2.3.13 (c),2020/9/6,机械工程,(3)再消去(c)中第二个闭环回路，使之成为单位反馈的单环回路，得(d)；,图2.3.13 (d),2020/9/6,机械工程,(4)去掉（d）中单位反馈回路，得到单一向前

27、传递函数，即原系统的闭环传递函数。,图2.3.13 (e),2020/9/6,机械工程,方框图的等效变换及简化途径不是唯一的,除了简化求解系统传递函数，含有多个局部反馈的闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解： 括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，反馈信号为“相加”时取负号；反馈信号为“相减”时取正号。,(2.3.7),2020/9/6,机械工程,依此可直接由(a)作出（e），要特别注意，在应用式（2.3.7）时，必须要具备以下两个条件： （1）整个方框图只有一条前向通道； （2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。,2020/9/6,机械工程,如图2.3.14（a）中，系统有两

28、个独立的局部反馈回路，其间没有公共的方框。不能若直接用式（2.3.7），应先将两局部反馈回路分别简化成两个方框，然后，将此两方框串联，得传递函数,2020/9/6,机械工程,在图2.3.14（b）中，系统的两个反馈回路间有公共的传递函数方框 ，因此，可直接用式(2.3.7)得出传递函数： 若系统不能满足使用式（2.3.7）的两个条件，可先将其方框图化成满足使用条件的形式，然后，再应用式（2.3.7）求出闭环传递函数。,2020/9/6,机械工程,24反馈控制系统的传递函数,控制系统一般会受到两类输人作用，一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想输入等；另一类则是扰动，或称干扰。给定输入通常加在控制装置的输人端，也就是系统的输入端；而干扰一般作用在被控对象上。为了消除干扰对系统输出的影响，一般采用反馈控制的方式，将系统设计成闭环系统。典型结构可用图2.4.1(a)所示的方框图表示。,图2.4.1(a) 反馈控制系统的典型框图,2020/9/6,机械工程,应用叠加原理可分别求出在输入信号和由扰动作用时，反馈控制系统的传递函数，即闭环传递函数。,输入信号作用下的闭环传递函数