第2章 时域离散信号和系统的频域分析.ppt

1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,重点：,（1）序列的傅里叶变换DTFT； （2）Z变换； （3）利用Z变换分析系统和信号频域特性。,本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础,2.1 引言,信号和系统的分析方法有两种： 即时域分析方法和变换(频率)域分析方法。 在模拟信号和系统中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域

2、进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义， 而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的。,在时间域中，时域离散信号(序列)x(n)是序数n的函数，这里n可看成时间参量。时域离散系统的单位脉冲响应是系统在时间域的描述，线性常系数差分方程是时域离散系统输入输出之间关系的描述,2.2.1 序列的傅立叶变换的定义 正变换 FT或DTFT:,2.2 序列的傅立叶变换(DTF

3、T)的定义及性质,序列x(n)的傅里叶变换- X(ej)是 x(n)的频谱函数。可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。,频谱函数可用下式表示：,FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足式：,反变换IFT（Inverse Fourier Transform):,用e jn乘FT式两边， 并在-内对进行积分,推导：,x(n)和X(ej)是一对傅立叶变换对 FT存在的充分必要条件是： 如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，其傅立叶变换可用冲激函数的形式表示出来，如周期序列。,例 已知x(n)=(n)，利用傅立叶变换求它的频谱函数。 解 按照频谱

4、函数式 因为只有在n=0时，(n)=1，而对其他的n，(n)=0，因此将n=0带入上式中，可得到 说明: (n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数1。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。,(n)的幅度特性:,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解：,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,N=4时， 幅度与相位随变化曲线:,x(n)=RN(n) ,序列Fourier变换的MATLAB实现,function X,magX,angX = FourierTran(n,x,definition) if nargin3 definition = 600; en

5、d k = -definition:definition; w = (pi/definition)*k; X = x*(exp(-j).(n*w); magX = abs(X); angX =angle(X); figure(1) subplot(211) plot(w/pi,magX,r,LineWidth,2) xlabel(频率（单位）); ylabel(|X(e jomega)|) title(幅频特性) subplot(212) plot(w/pi,angX/pi,r,LineWidth,2) xlabel(频率（单位）); ylabel(弧度/) title(相频特性),% 计算离

6、散序列的Fourier变换，并画出幅频特性和相频特性图 % 调用格式:X,magX,angX = FourierTran(n,x) % 其中 % n - x(n)的序号向量 % x -时域序列x(n) % definiton - 图像分辨率(默认值每周期600点) % X -x(n)的Fourier变换X(ejw) % magX - X(ejw)的模 % angX - X(ejw)的幅角,2.2.2 序列的傅立叶变换的性质,1、FT的周期性 2、 FT的线性 3、 FT的时移和频移特性 4、 FT的对称性 5、时域卷积定理 6、频域卷积定理 7、帕斯维尔(Parseval)定理,1. DTFT

7、的周期性,由序列的傅立叶变换公式： M取整数，可以把频率分成两部分,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 X(ej)可以展成傅里叶级数， x(n)是其傅里叶级数系数。 由于FT的周期性，一般只分析之间或02 之间的FT,时域的离散导致频域的周期延拓,数字频率与模拟频率的区别与联系：1）=T，模拟频率的单位为rad/s，而数字频率的单位为rad，代表在一个采样间隔T上正弦序列相位的变化量。2） 、所代表的信号变化快慢有所不同：对模拟频率，越大，模拟正弦信号变化越快；而对数字频率，正弦序列对的变化呈现2周期性，当= 2M时，变化最慢，当= (2M+1)时，变化最快。所以将=0附近称为

8、数字低频，将= 附近称为数字高频.,举例：图 2.2.2 cosn的波形, =2M， M为整数，序列的直流分量,=（2M+1） ，一个时间波形变化愈快，意味着它包含的频率愈高，对于序列变化最快的波形,2. DTFT的线性,设 那么 式中a和b为常数。 满足比例叠加性,3. DTFT 的时移和频移特性,设 那么,傅立叶变换的时移性: 如果信号延时n0，那么它的傅立叶变换相应地增加相位移 -n0； 傅立叶变换的频移性: 如果信号的傅立叶变换在频率轴上位移0，那么时间域信号相应地增加相角0n。,例在例2.2.1中已求出x(n)=RN(n)的傅立叶变换为 试求y(n)=x(n-n0)=RN(n-n0)

9、的傅立叶变换。 解 令 n=n-n0, 即 n=n+n0 则,按照傅立叶变换的基本定义，可以得到:,4. DTFT 的对称性 1）概念 共轭: 复数x=a+jb， 式中a、 b是实常数，如果取它的共轭，则得到x*= a-jb 。 复序列x(n)=ejn=cos(n)+jsin (n)，取它的共轭，则得到x*(n)=e -jn=cos (n)-j sin (n)。 y(n)=jejn，取共轭则得到y*(n)=-je-jn。 对称： 序列x(n)如果服从公式: x(n)=x(-n)，则称x(n)是一个对称序列,2）共轭对称序列与共轭反对称序列（1）定义,如果序列满足 为共轭对称序列用xe(n) 表

10、示。 如果序列满足 为共轭反对称序列用xo(n) 表示。,（2）性质A 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数,证明：将xe(n)用实部和虚部表示： 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到： 对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：,B 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数,证明：将x0(n)用实部和虚部表示： 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到： 对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：,例 2.2.2 试分析x(n)=ejn的对称性。 解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性，将x(n)的n用-n代替，得到: x(-n)=e-jn 由于x(n)x(-n)，因此它不具有对称性。但

11、对上式再取共轭，得到: x*(-n)=ejn 将上式和原信号对比，得到x(n)=x*(-n)，因此该信号具有共轭对称性。 将信号用欧拉公式展开，则得到： x(n)=ejn=cos (n)+j sin (n),共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数,例 试分析y(n)=jejn的对称性。 解 先分析它是否是对称函数，将式中的n 用-n代替，得到: y(-n)=je-jn y(n)y(-n) 上式说明该函数不是对称函数。 如果再对y(-n)取共轭, 得到: y*(-n)= - jejn y(n)= -y*(-n) 上式说明y(n)是一个共轭反对称函数。 用欧拉公式展开，得到： y(n)= -si

12、n (n)+j cos (n),共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数,3）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示 （1）时域 证明：将上式中的n用-n代替，再取共轭，可得到下式： 利用上面的两个公式即可求得xe(n) 和xo(n)，即,（2）频域 用时间域信号说明的共轭对称概念，对频域函数也有相同的共轭对称的概念。 如果频域函数X(ej)服从： Xe(ej) =Xe*(e -j) 则称Xe(ej)是一个共轭对称函数。 如果频域函数X(ej)服从： Xo(ej)= -Xo*(e-j) 则称Xo(ej)为共轭反对称函数。 对于频域，同样有：,讨论两种情况： A、将序列分成实部xr(n

13、)和虚部xi(n) 将实部进行FT 其实部具有共轭对称性。 将虚部进行FT 其虚部具有共轭反对称性。 结论：实部对应的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。,B、将序列分成共轭对称xe(n) 部分与共轭反对称xo(n)部分 且有： 对上面两式取FT，得到 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应FT的实部， 序列的共轭反对称部分xo(n )对应FT的虚部。,FT,FT,小结：,实因果序列对称性的讨论： 因为h(n)是实序列， 其FT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数，

14、虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)= -HI(e-j),分成共轭对称部分与共轭反对称部分： h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,(2.2.27),-偶函数,(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.30),(2.2.31),h(n)是实序列,因此he(n)是偶函

15、数, ho(n)是奇函数,-奇函数,例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n),-偶函数,-奇函数,用MATLAB求共轭对称序列与共轭反对称序列,function xe, xo, m = eocompl(x,n) % 将复序列分解成共轭对称序列与共轭反对称序列 m = -fliplr(n); m1 = min(m,n); m2 = max(m,n); m = m1:m2; nm = n(1)-m(1); n1 = 1:length(n); x1 = zeros(1,length(m); x1(n1+nm)

16、 = x; x = x1; xe = 0.5*(x + fliplr(x).); xo = 0.5*(x - fliplr(x).);,5. 时域卷积定理,设 则 证明：,令 k=n-m ，则,定理说明： 在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的FT，再作逆变换。,频域卷积定理如果两个时域信号服从相乘的关系，它们分别的频域函数则服从卷积关系,设 则 证明：,交换积分和求和次序得到：,定理表明： 在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。,7. 帕斯维尔(Parseval)定理,帕斯维尔定理说明： 信号时域的总能量等于频域的总能量，这里频域总能量是指|X(ej)|2在

17、一个周期中的积分再乘以1/(2)。,证明：,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,习题 1,2.3 周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式,问题的提出： 因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此FT不存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入奇异函数() ，周期序列的FT可用公式表示。,2.3.1 周期序列的离散傅立叶级数 (DFS),设 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：,将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式,如何确定傅立叶级数的系数ak ？,基波分量：,K次谐波分量：,两边同乘 ，并对n在一个周期中求和,对式,确定傅立叶级数的系数ak：,

18、DFS变换对,也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示,物理意义： 周期序列 可分解成N次谐波： 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为（1/N） 。 基波分量的频率是2/N， 幅度是（1/N） 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,例 2.3.1 设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。,解： 按照DFS定义式,图 2.3.1 例2.3.1图,幅度特性,2.3.2 周期序列的傅立叶变换表

19、示式 1. 复指数序列的傅立叶变换表示法 模拟系统中 复指数函数 离散系统 复指数序列 上式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯一等于ej0n,按照反变换的定义 在 区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为,证明：,2. 一般周期序列的傅立叶变换式,对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数 类似复指数序列的FT，周期序列第k次谐波 的FT为： 因此 的FT为：,如果k在之间变化，上式可简化成,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的DTFT。 解： 将例2.3.1中得到的 代入下式中得到

20、,得：,图 2.3.3 例2.3.2图幅频特性,对比图2.3.1， 对于同一个周期信号， 其DFS和DTFT分别取模的形状是一样的， 不同的是DTFT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列的频谱分布用其DFS或者DTFT表示都可以， 但画图时应注意单位冲激函数的画法。,图 2.3.1 例2.3.1图,DTFT,DTFT,DFS,例 2.3.3 令 ， 2/0为有理数，求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开,(2.3.11),图 2.3.4 cos0n的FT,cos0n的FT： 是在=0处的单位冲激函数，强度为， 且以2为周期进行延拓。,2.4 时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换

21、之间的关系,模拟信号xa(t)的傅立叶变换用 Xa(j) 表示： 傅立叶变换对： 采样信号 的傅立叶变换用 表示 傅立叶变换对： （见教材p23） 序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与模拟信号的傅立叶变换之间的关系如何？数字频率、模拟频率的关系如何？,离散信号的傅立叶变换DTFT,模拟信号的傅立叶反变换为： 取t =nT时，则有 由于时域离散序列x(n)是采样信号 构成，所以有 1式与2式方程左边数值相同，由于方程右边的积分上下限不同，故无法得到 X(ej) 和 Xa(j) 之间的关系。,1式,2式,将上式变成无数个小区间之和，区间间隔为2 / T,又 =T= / fs，所以 比较

22、等式： 可得 结论：时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换Xa(j)以周期s=2/T 进行的周期延拓。,模拟频率与数字频率值对应定标关系：= T= / fs= 2f /fs 归一化频率f =f /fs 或 =/s ，=/2， 因为f 、 和 ， 都是无量纲， 刻度是一样的， f、 、 、 f 、 、 的定标值对应关系:模拟折叠频率 fs / 2对应数字频率满足采样定理: fc fs / 2不满足采样定理： = 或 f =0.5 fc附近引起混叠,【例】 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信

23、号x(n)求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解：,Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为。,以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 与xa(t)的关系式为：,傅里叶变换：,即以s=2fs为周期， 是Xa(j)的周期延拓,(2.4.9),将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT),x(n)的FT： 实际上只要将=/T=fs代入 中即可。,将fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公式为零时的值， =2k/2， 因此X(ej)用下式表示：,强度不同,如同拉氏变换对于连续时间信号与系统，Z

24、变换在离散时间信号与系统的分析中起着非常重要的作用。,对于连续时间信号xa(t ) ，其频谱为,= ,若积分不存在，则xa(t )的频谱不存在，无法分析信号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的例如阶跃、正（余）弦等。为分析这类信号，借助一衰减因子e-t,2.5 序列的Z变换 2.5.1. Z变换的定义, ,频谱(j),复频谱( s ),傅立叶变换,拉氏变换,推广,特例,定义,的拉氏变换,对于离散时间信号x(n) ，其频谱为,= ,若级数不收敛，则x(n)的频谱不存在。仿照连 续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子r-n,例如，分析阶跃序列u(n)的频谱, u(n),若,，则级数收敛, 但要

25、求,若,，则级数收敛，但要求,对于任意一个序列x(n),定义x(n)的Z 变换,z ,再如， ,其频谱不存在，而,可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅与数字频率 有关，且与r有关，构成了一个复频域 Z域，,Z变换：,序列的 Z变换，在讨论序列的频率特性同时要讨论r 的取值范围, 以保证 Z变换级数收敛。,1. 双边Z变换与单边Z变换的定义,(2.5.1),式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 在定义中，对n求和是在之间求和，称为双边Z变换。 单边Z变换的定义： 单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出

26、的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分析和变换。,(2.5.2),序列x(n)的Z变换定义为,使(2.5.3)式成立， z变量取值的域称为收敛域。,2. 收敛域(ROC ：region of convergence)的定义 (1) 收敛域的定义：Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即,(2.5.3), 若级数不收敛，Z变换无意义；, 若给定X(z) ，必须同时给定收敛域才能唯一地确定x(n)。,一般收敛域可用环状域表示： Rx-|z| Rx+,例1例2,但,为使X1(z)存在，要求 |z| Rx+,收敛域为环状， Rx+、Rx-分别为外、内半径

27、。,（2）序列与Z变换的收敛域的关系,为使X2(z)存在，要求 |z| Rx-,为使X (z)存在，要求 Rx-|z| Rx+,3. DTFT和ZT之间的关系序列的傅里叶变换定义式Z变换定义式DTFT和ZT之间的关系， 用下式表示：,(2.5.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 如果已知序列的Z变换， 可用(2.5.4)式， 很方便的求出序列的DTFT， 条件是收敛域中包含单位圆。,例 2.5.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表达式表明，

28、 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在。 如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明:一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。,4. Z变换的表示常用Z变换是有理式，可用两个多项式之比表示：,分子多项式P(z)的根是零点， 分母多项式Q(z)的根是极点。 在极点处Z变换不存在，收敛域中应无极点。 收敛域总以极点限定起边界。,2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(

29、n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它 序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。,有限长序列Z变换为：,设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛-收敛域是有限的Z平面。 如果n20， 则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：,n10时， 00时， 0z,例 2.5.2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0z。,由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z

30、)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在。 求RN(n)的DTFT，可将z=ej代入X(z)得到， 其结果和例题2.2.1中的结果(2.2.5)公式是相同的。,2. 右序列,右序列是在nn1时， 序列值不全为零， 而其它nn1， 序列值全为零。,如果n1-1 第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列,其收敛域为Rx-0,x(n)0 收敛域定为Rx- |z|。,例 2.5.3 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。圆外,3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn

31、2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为,如果n20： 第一项为正幂级数,其收敛域为0 |z| Rx+, Rx+是第一项最大的收敛半径。 第二项为有限长序列, 收敛域为0 |z| 将两收敛域相与, 其收敛域为 0|z| Rx+ 圆内,例 2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域,X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收敛域为|z|a|-圆内,4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx- ，其收敛域为Rx- |z| Rx+ ，这是一个环状域， 如果R

32、x+Rx- ，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。 解：,第一部分收敛域为|az|a|。 如果|a|1,两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1,其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。,当0a1时， x(n)的波形 X(z)的收敛域,序列,Z变换级数中,的,收敛域,项,项,有限长序列,1,2,右边序列,有,有,无,有,有,无,有,有,有,无,小结,Z变换级数中,的,收敛域,项,项,3,4,双边序列,有,有,有,无,有,有,左边序列,

33、序列,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点， 故： 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,举例1：,为 X(z) 的零点,a、b、c为 X(z)的极点,（1）,对应左边序列,（2）,（3）,对应双边序列,（4）,对应右边序列,解：,右边序列,左边序列,双边序列,(a),(b),举例：求下列序列 x(n) 的Z变换及其收敛域与零、极点分布,(a),(b),极点：,(N-1)阶，,零点：,解：,Z反变换为Z 变换的逆过程，给定 X(z) 及其收敛域，求

34、 x(n) 。,正变换：,z x(n)= X(z),反变换：,z -1X(z) = x(n),若,则,2.5.3 Z反变换,围线积分,1Z反变换公式,可利用留数定理计算围线积分,X(z)z n-1在 c 内的极点上的留数,X(z)z n-1,c 内,2Z反变换的几种常用方法 （1）留数法,-()收敛域中一条逆时针闭合曲线,X(z)z n-1在 c 内的极点上的留数, 一阶极点的留数,设 X(z)z n-1在 c 内有 N 个一阶极点,设 X(z)z n-1在 c内有一个 N阶极点 zk ,则 zk上的留数为, N阶极点的留数,对于N阶极点，需求N-1次导数； 如果c内有多阶极点， 而c外没有多

35、阶极点， 可以根据留数辅助定理改求围线c外的所有极点留数之和， 使问题简单化。,F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个， N=N1+N2， 用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：,(2.5.9),注意：上式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式 即要求： N-M-n+12 N-M-n1 (2.5.10) 如果(2.5.10)式满足, c圆内极点中有多阶极点， 而c圆外极点没有多阶的， 可以按

36、照(2.5.9)式， 改求c圆外极点留数之和， 最后加一个负号。,设被积函数用F(z)表示， 即,求,的反变换。,解：,时， X(z)z n-1在 c 内有,一个极点 a,时，,成为 X(z)z n-1的(-n)阶极点, a 仍,为极点,?,例：,例题中，,时，,在 z=0 处,有(n)阶极点,由例题可看到高阶极点留数的求解比较困难。 当 X(z)z n-1 满足一定条件时，有：当 X(z)z n-1 在 z=zk 处有二阶或二阶以上的极点时， X(z)z n-1 在 c 内的极点的留数 = X(z)z n-1 在 c 外的极点的留数,改求c 外的极点的留数：,或,例 2.5.6 已知X(z)

37、=(1-az-1)-1， |z|a， 求其逆Z变换x(n)。,为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点： 极点有： z=a; 当n0时，z=0 是一个n阶极点 当n0时，z=0 不是极点。 分成n0和n0两种情况求x(n)。 n0 时，,解：,n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数， 采用留数辅助定理求解， 检查(2.5.10)式是否满足，此处n0，只要N - M 0， (2.5.10)式就满足。 该题围线外无极点，n0, x(n)=0,图 2.5.4 例2.5.6中n0时F(z)极点分布,所以：X(n)=an,例 2.5.7已知 ，求其逆变换x(n)。 解： 该例题没有给定收敛域，为求出

38、唯一的原序列x(n)， 必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这样收敛域有三种选法， 它们是:,(1) |z|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z|a|， 对应的x(n)是左序列。,图 2.5.5 例2.5.7 X(z)极点分布图,下面按照收敛域的不同求其x(n)。 (1) 收敛域|z|a-1|,收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的x(n)。 当n0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此,最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。,

39、(2) 收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况， 当n0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1),(3) 收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n0和n0两情况分别求x(n)。 n0时， c内极点z=a x(n)=ResF(z), a=an n0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1

40、=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0,解：,由ROC:|z|3可知x(n)-右边序列,例 已知 X(z) 及其收敛域，求 x(n),有二个极点z=3和z=1/3,可见， X(z)为 z 和 z-1的幂级数，各项的系数即为对应的序列值。 一般地， X(z)为有理分式形式，可通过长除把它展开为幂级数。在展开之前，首先应考察 X(z) 的收敛域，判断对应的是左边序列还是右边序列。 如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如果x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。,（2）幂级数法(长除法),1-az-1,例 2.5.8 已知 用长除法求其逆Z变换

41、x(n)。 解： 由收敛域判定这是一个右序列,用长除法将其展成负幂级数,降幂排列,例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。 解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成z正幂级数,-az-1 +1,升幂排列,求,的反变换，,（a）,（b）,例,求,的反变换，,例 已知 X(z) 及其收敛域，求 x(n),解： 由 ROC: |z| 可知x(n)左边序列升幂,(3)部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2

42、.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。 设X(z)只有N个一阶极点，可展成:,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(2.5.13),(2.5.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列,例2.5.10 已知 ，求逆Z变换,解:,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),解：,即,对应右边序列,对应左边序列,例求x(n),例：求,的,Z,反变换。,例题：部分分式法,解：,解得：,，,的极点为,，,，根据不同的

43、,ROC,得反变换。,（,1,）,得右边因果序列：,（,2,）,得双边序列：,（,3,）,得左边序列：,表2.5.1 常见序列Z变换 1,表2.5.1 常见序列Z变换 2,求：h(n),2.5.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n), Rx-R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。,*2. 序列的移位 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 则 ZTx(n-n0)= , R x-|z|R x+ (2.5.16),3. 乘以指数序列（Z域尺度变换） 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(

44、n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x- |z| |a|R x+ (2.5.17）,证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。,4. 序列乘以n （Z域微分性质） 设,则,(2.5.18),证明,5.复序列的共轭 设,则,证明,(2.5.19),*6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(2.5.20),证明:,因此,证明,因为x(n)是因果序列，,7. 终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(2.5.21),

45、序列的移位,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数求，因为,(2.5.22),因此 如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限,初值定理 确定因果序列的初始值x(0),终值定理 确定序列的收敛值x(),注意:使用这两个定理是有条件的： 初值定理是针对因果序列而言的； 终值定理则只允许X(z) 在 z=1 处有一个一阶极点（或没有极点），其它的极点都集中在单位圆内。,例题：,已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列的初值和终值,x(0)=0 x()=2,8. 序列卷积,则,设,证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共

46、收敛域。,线性移不变系统的分析方法：,z,线性移不变 h(n) H(z),时域,复频域,z,z,例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 解：求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。,(1)直接求解线性卷积,y(n)=h(n)*x(n),由收敛域判定y(n)=0, n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,将y(n)表示为,(2)Z变换法,9. 复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R

47、y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)则,W(z)的收敛域,(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(2.5.24),(2.5.25),(2.5.26),证明,由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到,因此,例2.5.12 已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|， 若 w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：,W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。,10.帕斯维尔(Parseval)定理,那么,v平面上，c所在的收敛域为,(2.5.28)式

48、还可以表示成下式：,(2.5.28),令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(2.5.24)式，得到,R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理,X证明,如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到,(2.5.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理(2.2.34)式是相同的。,序列,Z变换,收敛域,线性,移位,乘指数序列,X(z) 的微分,x(n) 的共轭,卷积,复卷积,Z变换特性表,序列,Z变换,收敛域ROC,初值,终值,

49、X(z)z n-1收敛于,parseval,ROC?,其中,已知,利用z 变换性质求y(n) 的z变换Y(z),例 有一个信号y(n) ，它与另两个信号x1(n) 和x2(n) 的关系是,解：,*2.5.5 利用Z变换的线性与移位特性求解差分方程,等式两边分别求Z变换,线性特性,移位特性,z -1,原理：N阶差分方程,系统函数,解题过程： 将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 设 N阶线性常系数差方程为,(2.5.30),1. 求稳态解,2. 求暂态解,式中,(2.5.31),(2.5.32),1. 求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解. Z变换

50、：,系统函数,2. 求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。,Z变换要用单边Z变换。 方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的.,(2.5.30),设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。,移位序列的单边Z变换,设,(2.5.33),由起始状态 y (k) (-mk-1) 决定,n-m=k,同理：,单边Z变换：,(2.5.34),零输入解,零状态解,例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。 解：将已知差分方程进行Z变换,式中

51、，,于是,收敛域为|z|max(|a|,|b|)，,零输入解,零状态解,补充：系统的零输入响应与零状态响应求解法 y (n)= yzi (n)+ yzs (n),1.求零输入响应,进行Z变换,-由起始状态 yzi(l) (-Nl1) 决定,yzi (n)=ZT-1Yzi(z),2.求零状态响应,起始状态 yzi(l)=0 (-Nl1),进行Z变换,因果序列x(l)=0,yzs (n)=ZT-1Yzs(z),-由激励 x (n) 决定,例题：已知差分方程-2y(n-2)-y(n-1)+y(n)= 2x(n-2)+x(n)， x(n)=u(n)， 起始状态 yzi(-2)= -0.5, yzi(-

52、1)=2;求y(n),6y(n-2)-5y(n-1)+y(n)= x(n-1)+x(n)， x(n)= u(n)起始状态 (1)yzi(-2)=yzi(-1)=0， (2) y(-2)=y(-1)=0 求y(n)。,例题：已知差分方程,2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.1频率响应函数与系统函数,1.频率响应函数与系统函数定义 频率响应函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),一般称H(e j)为系统的频率响应(传输函数)，它表征系统的频率特性。 |H(ej)| 称为幅频特性函数

53、()称为相频特性函数。,系统函数,对单位脉冲响应h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性,比较连续时间系统与离散时间系统,对于连续时间系统,定义输出信号与输入信号的拉氏变换之比为传递函数,对于离散时间系统,系统函数,系统函数为线性移不变离散时间系统的复频域表示 线性移不变离散时间系统几种不同的描述形式：,差分方程,单位脉冲响应,时域,频率响应H(ej)-,频域,系统函数H(z) 与以上三种形式均存在密切关系,H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性, 这也是H(ej)的物理意义所在: 若系统输入信号x(n)=ejn, 则系统输出信号为 即,

54、2.频率响应的物理意义,单频复指数信号ejn通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。,利用上面的结论可得到:,设h(n)为实序列，则H*(ej)=H(ej), |H(ej)|=|H(ej)|, ()=(), 故,当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n):,由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej)|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。 如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进

55、行加权处理。对感兴趣的频段，取|H(ej)|=1，其他频段|H(ej)|=0, 则Y(ej)=X(ej)H(ej), 就实现了对输入信号的滤波处理。,如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ej)与H(z)之间关系如下式：,(2.6.3),频率响应H(ej)为系统函数H(z)在 Z 平面的单位圆上取值,3. 传输函数与系统函数的关系,等式两边分别求Z变换并利用线性及移位特性：,式中:A 为常数，是系统的增益； zi为系统函数的零点， pj为系统函数的极点。,4 . 系统函数与差分方程的关系,因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛

56、域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定要求 ，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。 如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|， 0r1,2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,*例2.6.1 已知 分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。 (1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a,

57、对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。,图2.6.1 例2.6.1图示,例题：一个线性移不变离散时间系统的差分方程为：y(n) + 0.6y(n-1) - 0.16y(n-2) = x(n)+x(n-1)1）求系统的系统函数H(z)，计算系统的极零点，并画出极零点分布图；2）讨论H(z)的收敛域及系统的因果和稳定性，并求出其单位脉冲响应h(n) ；3）求稳定系统的频率响应；4） x(n)=u(n),求稳定系统对应的输出y(n).,