刘金旺 5特征值与二次型

1、第一节向量的内积,第五章 特征值与二次型,第二节方阵的特征值和特征向量,第三节相似矩阵,第四节化二次型为标准型,第五节正定二次型,5.1 向量的内积,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,上述从线性无关向量组 导出 的经过称为施密特正交化过程。它不仅满足与等价，还满足：对于任何( ） 向量组 与等价.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回

2、,上一页,下一页,5. 2 方阵的特征值和特征向量,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,5.3 相似矩阵,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理8 设a为实对称矩阵，则必存在正交矩阵t，使,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,解 显然a=a。 故一定存在正交矩阵t，使t-1at为对角矩阵。,先求a的特征值,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,求

3、得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,返回,上一页,下一页,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,返回,上一页,下一页,以正交单位向量组 为列向量的矩阵t 就是所求的正交矩阵。,有,返回,上一页,下一页,5.4 化二次型为标准型,二次型写成对称形式,返回,上一页,下一页,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,（2）,使二次型只含平方项，也就是用（3）代入（1）,能使,返回,上一页,下一页,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。,由（2）式，利用矩阵二次型可表为,返回,上一页,下一页,记,返回,上一页,下一页,其中a为实对称矩阵。,任给一个二次型，就惟一地确定

4、一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵，也可以惟一地确定一个二次型。这样二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系，,则二次型可记为,返回,上一页,下一页,因此，我们把对称矩阵a叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵a的二次型，对称矩阵a的秩叫做二次型的秩。,返回,上一页,下一页,说明经可逆变换x=cy后,二次型f 的矩阵a变为对称矩阵cac,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性.即这种合同变换既不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性。,证 因a= a,故b=(ca c)= cac = cac = b即b为对称矩阵. 又因为b = cac,而c与c均为可逆矩阵,故a与

5、b等价,于是r(b)=r(a).,返回,上一页,下一页,要使二次型f 经可逆变换x=cy变成标准形,这就是要使,也就是要使cac成为对角矩阵。因此，我们的主要问 题就是：对于对称矩阵a，寻求可逆矩阵c，使cac 为对角阵。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,5.5 正定二次型,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,判别一个二次型是否正（负）定，可以从其标准形中正（负）平方项的个数来判别，也可以判别其对应的矩阵是否正（负）定，从而判别所讨论的二次型是否正（负