导数在经济中的应用.ppt

1、1,解：,2,解：,2.2 导数在经济中的应用（1）边际分析,案例三边际成本,设成本函数为：,设初始产量为：,当产量由,产量的改变量为：,成本的改变量为：,成本对产量的平均变化率：,当产量的改变量很少的时候，即,时,则称该极限值为：,边际成本的解释：,当产量在,的基础上，再增加或减少一件产品时成本的变化量。,2、边际收益：,（解释：边际收益是当销量为x 的基础上，再增加（或减少） 一个单位产品时总收益增加（或减少）的数额。）,3、边际利润：,（解释：边际利润是当销量为x 的基础上，再增加（或减少） 一个单位产品时总利润增加（或减少）的数额。）,4、边际需求：,（解释：边际需求是当价格为p 时，

2、价格上涨（或下降）一个 单位时，需求量将减少（或增加）的数量。）,1、边际成本：,（解释：边际成本是当产量为x 的基础上，再增产（或减产） 一个单位产品时需增加（或减少）的成本。）,2.2.1 边际成本,案例2.1,设某产品Q单位的总成本为,求生产900单位时的总成本、平均成本及边际成本，,并解释边际成本的经济意义。,解：,当Q=900时：,总成本：,平均成本：,边际成本：,当产量为900单位时，再增加（或减产）一单位，需增加（或减少）1.5单位的成本。,案例2.2,2.2.2 边际收益,设某产品的价格函数为,其中P为价格，Q为销售量，求：,（1）销售量为15单位时的总收益、平均收益与边际收益

3、；,（2）销售量从15单位增加到20单位时收益的平均变化率。,解：,（1）总收益：,2.2.3 边际利润,案例2.3,某工厂进行了大量的统计分析后，得出总利润L(Q)与每月产量Q的关系为：,试确定每月产量分别为20t,25t时的边际利润，并解释经济意义。,解：,经济意义：,当每月产量为20t时，再增加一吨，利润将增加50元。,当每月产量为25t时，再增加一吨，利润不变。,结论：,并非产量越大，利润就越高！,2.2.4 边际需求,案例2.4,某商品的需求函数为,求P=4时的边际需求，并说明其经济意义。,解：,当P=4时的边际需求为：,经济意义：,当价格为4时，价格上涨（或下降）1单位，需求量将减

4、少（或增加）8单位。,2.2 导数在经济中的应用（2）最优化问题,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) 。,在开区间 I 内可导,2.4 函数单调性分析,引例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,令,得到的解称为驻点。,例如：对函数,令,得,称为函数f(x)的驻点。,二、 驻点（稳定点）,案例2.2（续）,设某产品的价格函数为,其中P为价格，Q为销售量，求：,（3）收益函数的增区间及减区间。,解：,由（1）可知总收益函数为：,令,驻点,结论：销售量为0到50时，总收益是随销售量的增加而增加，但 在销售量大于

5、50，总收益却随着销售量的增加而减少。,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,三、曲线（函数）的凹凸性与拐点,定理2.(凹凸性判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,引例2. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,四、函数的极值及

6、其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,点击图中任意处动画播放暂停,注意:,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在定义的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,（1）如果 ，则 在 取得极大值；,（2）如果 ，则 在 取得极小值。,且,则,极值第二判别法（常用）,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,四、 闭区间连续函数的最值,引例3. 求函数,在区间,上的最大值与最小值。,解：,驻点,将-2和1代入,（步骤1：求驻点）,（步骤2：求二阶导数）,（步骤3：判断极值）,（步骤4：求极值）,（步骤5：确定最值）,极大值,极小值,区间